(精)函数的表示、定义域与值域——复习归纳__第二讲_(教师用).doc

戴氏教育营门口总校 电话：87779328 87779372 高中数学（班型：五人精品班） 第2讲 龚老师DSE金牌化学专题系列 精典专题系列第2讲 函数的表示、定义域、值域一、导入：冷笑话冷血杀手二、知识点回顾：1函数与映射的概念函数映射两集合A、BA、B是两个非空 A、B是两个非空 对应关系f：AB按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的 一个数x，在集合B中有 的数f(x)和它对应按某一个确定的对应关系f，对于集合A中的 一个元素x在集合B中有 的元素y与之对应记法yf(x)，xA对应f：AB是一个映射 2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量， 叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值， 叫做函数的值域显然，值域是集合B的子集(2)函数的三要素： 、 和 3相等函数 如果两个函数的 相同，并且 完全一致，则这两个函数为相等函数4函数的表示方法表示函数的常用方法有： 、 和 5分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因 不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数，分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 ，其值域等于各段函数的值域的 ，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数6常见基本初等函数的定义域(1)分式函数中分母 (2)偶次根式函数被开方式 .(3)一次函数、二次函数的定义域均为 .(4)yax(a0且a1)，ysinx，ycosx，定义域均为 .(5)ylogax(a0且a1)的定义域为 (6)ytanx的定义域为 (7)函数f(x)x0的定义域为 (8)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约7基本初等函数的值域(1)ykxb(k0)的值域是 .(2)yax2bxc(a0)的值域是：当a0时，值域为 ；当a0且a1)的值域是 (5)ylogax(a0且a1)的值域是 .(6)ysinx，ycosx的值域是 (7)ytanx的值域是 .三、专题训练：专题一求函数的解析式(1)已知f(x3)x21，求f(x)；(2)已知f(x)x2，求f(x1)；(3)已知f(x)是一次函数，且ff(x)4x3，求f(x)自主解答(1)法一：(换元法)设x3t，则xt3，f(x3)f(t)(t3)21t26t10，f(x)x26x10.法二：(配凑法)f(x3)x21x26x96x8(x3)26x8(x3)26(x3)10，f(x)x26x10.(2)法一：(换元法)设xt(t2或t2)，则(x)2t2，x2t22，f(t)t22，f(x)x22，f(x1)(x1)22x22x12x22x1(x1或x3)法二：(配凑法)f(x)x2(x)22，f(x)x22，故f(x1)(x1)22x22x1(x1或x3)(3)(待定系数法)f(x)是一次函数，故设f(x)kxb(k0)，ff(x)f(kxb)k(kxb)bk2xkbb.又ff(x)4x3，k2xkbb4x3，故解得或f(x)2x1或f(x)2x3.思考：求f(x).解：2f(x)f()3x，把中的x换成，得2f()f(x)，2，得3f(x)6x，f(x)2x.变式训练：(1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x1)2f(x1)2x17，求f(x)的解析式； (2)已知f(1)x2，求f(x)的解析式解：(1)设f(x)axb(a0)，则3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2bax5ab，即ax5ab2x17不论x为何值都成立解得f(x)2x7.(2)法一：设t1，则x(t1)2(t1)代入原式有f(t)(t1)22(t1)t22t12t2t21.f(x)x21(x1)法二：x2()2211(1)21，f(1)(1)21(11)，即f(x)x21(x1)专题二分段函数问题(1)已知f(x)且f(a)3，求a的值(2)已知f(x)2x1，g(x)x21，求fg(x)和gf(x)的表达式自主解答(1)当a1时，f(a)a2，由a23，得a1，与a1相矛盾，应舍去当1a2时，f(a)2a，由2a3，得a，满足1a2.当a2时，f(a)，由3，得a，又a2，a.综上可知，a的值为或.(2)f(x)2x1，g(x)x21，fg(x)f(x21)2(x21)12x21，gf(x)g(2x1)(2x1)214x24x.思考：若将例3(1)中“f(a)3”改为“f(1)3”，如何求a的值？解：当a212时，2(a21)3，即a2a当a212时，3，即a21，a. 综上可知a或a.变式训练：甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km，甲10时出发前往乙家如图所示，表示甲从家出发到乙家为止经过的路程y(km)与时间x(分)的关系试写出yf(x)的函数解析式解：当x0,30时，设yk1xb1，由已知得，解得，yx.当x(30,40)时，y2；当x40,60时，设yk2xb2，由已知得，解得，yx2.综上，f(x)专题三求函数的定义域求下列函数的定义域(1)y； (2)y.自主解答(1)要使函数有意义，应有即解得所以函数的定义域是x|1x1或1x2(2)要使函数有意义，应有，即，1x1函数的定义域为x|1x1变式训练：求函数y的定义域解：分母不为0，对数的真数为正，偶次被开方数非负由题意得：，函数的定义域为：(0,2)(2，23,2)(2，4)专题四求函数的值域【例4】求下列函数的值域，并指出函数有无最值(1) y；(2)yx；(3)yx.自主解答(1)法一：y1，1x21，02，111，即y(1,1函数有最大值为1，无最小值法二：由y，得x2，x20，0，解得10时，x2 4，当且仅当x2时“”成立；当x0恒成立，yx在(0，)和(，0)上均为增函数，函数的值域为(，)，既没有最大值也没有最小值变式训练：求下列函数的值域(1)y；(2)y；(3)ylog3xlogx31.解：(1)y，0.函数的值域为y|y，yR(2)y1x2x1(x)20，y1时，t0，y2 11，当且仅当t即log3x1，x3时，等号成立，当0x1时，t0，g(x)ax2在2,2上是增函数，g(x)2a2,2a2，任给x12,2，f(x1)，2，若存在x02,2，使得g(x0)f(x1)成立，则，2，2a2,2a2，a；若a0，则对于正数b，f(x)的定义域为Dx|ax2bx0(，0，)，但f(x)的值域A0，)，故DA，即a0不符合条件；若a0时，由f(x)x，得x2.方程f(x)x有3个解法二：由f(4)f(0)且f(2)2，可得f(x)x2bxc的对称轴是x2，且顶点为(2，2)，于是可得到f(x)的简图(如图所示)方程f(x)x的解的个数就是函数图象yf(x)与yx的图象的交点的个数，所以有3个解4.(2010重庆高考)函数y的值域是()A0，) B0,4C0,4) D(0,4)解析：由已知得0164x16,04，即函数y的值域是0,4)5.若函数f(x)x22xm在2，)上的最小值为2，则实数m的值为()A3 B2C1 D1解析：f(x)(x1)2m1在2，)上为单调递增函数，且f(x)在2，)上的最小值为2，f(2)2m2.6已知函数f(x)满足2f(x)f()，则f(x)的最小值是()A2 B2C3 D4解析：由2f(x)f() 令式中的x变为可得2f()f(x)3x2 由可解得f(x)x2，由于x20，因此由基本不等式可得f(x)x222，当x2时取等号，因此其最小值为2.二、填空题(共3小题，每小题10分，满分30分)7函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x2)，若f(1)5，则f(f(5)_.解析：由f(x2)得f(x4)f(x)，所以f(5)f(1)5，则f(f(5)f(5)f(1).8.若函数f(x)的定义域为R，则实数m的取值范围是_解析：若m0，则f(x)的定义域为R；若m0，则16m212m0，得0m0，即x.故所求函数的定义域为x|x(2)要使函数有意义，必须即x1且x2.故所求函数的定义域为x|1x2(3)要使函数有意义，必须满足即1x3且x2.故所求函数的定义域为x|1x2或2x311(1)已知二次函数f(x)ax2bxc(a2x的解集为(1,3)若方程f(x)6a0有两个相等的实根，求f(x)的解析式；(2)设f(x)是R上的函数，且满足f(0)1，并且对任意实数x，y，有f(xy)f(x)y(2xy1)，求f(x)解：(1)不等式f(x)2x的解集为(1,3)，x1和x3是方程ax2(b2)xc0(a0)的两根，b4a2，c3a，又方程f(x)6a0有两个相等的实根b24a(c6a)0，4(2a1)24a9a0.(5a1)(1a)0，a或a1(舍)a，b，c，f(x)x2x.(2)令x0得f(0y)f(0)y(y1)，即f(y)1y(y1)，再令yx，得f(x)1(x)(x1)1x(x1)，所以f(x)x2x1.六、拓展训练:(2010天津高考)设函数g(x)x22(xR)，f(x)则f(x)的值域是 ()A，0(1，) B0，)C，) D，0(2，)规范解答令xg(x)，即x2x20，解得x1或x2.令xg(x)，而x2x20，解得1x2.故函数f(x)当x1或x2时，函数f(x)f(1)2；当1x2时，函数f()f(x)f(1)，即f(x)0.故函数f(x)的值域是，0(2，) 7、 反思总结： 当堂过手训练（快练五分钟，稳准建奇功！）1、(2010陕西高考)已知函数f(x)若f(f(0)4a，则实数a_.解析：因为f(0)3022，f(f(0)f(2)42a4a，所以a2.2、函数y的定义域为 ()A4,1 B4,0)C(0,1 D4,0)(0,1解析：由得4x0或0x1.3、函数f(x)x22xc在2,2上的最大值是 ()Af(2) Bf(1)Cf(1) Df(2)解析：因为二次函数f(x)的对称