拉普拉斯变换及反变换PPT课件.ppt

补充 拉普拉斯变换及反变换 拉氏变换对是求解常系数线性微分方程的工具 把线性时不变系统的时域模型简便地进行变换 经求解再还原为时间函数 概述 1 一 拉普拉斯变换 2 常用函数的拉普拉斯变换 3 拉普拉斯变换的基本性质 二 拉普拉斯反变换 内容 1 定义 2 定义 拉氏变换积分上限说明 一 拉普拉斯变换 F s f t f t 1 F s 表示为 0 3 f t t 0 称为原函数 属时域 原函数用小写字母表示 如f t i t u t F s 称为象函数 属复频域 象函数F s 用大写字母表示 如F s I s U s 称为复频率 f t F S L L 拉普拉斯变换对 记为 4 2 2常用函数的拉普拉斯变换 单位阶跃函数 F s 5 指数函数 F s 6 1 单位脉冲函数 7 单位斜坡函数 F s L f t 8 幂函数 9 10 常用函数的拉普拉斯变换表 t tn e at te at tne at e jwt u t t n t 1 sn 1 s 1 s2 11 12 例题求图示两个函数的拉氏变换式 解由于定义的拉氏变换积分上限是0 两个函数的拉氏变换式相同 当取上式的反变换时 只能表示出 区间的函数式 1 13 2 3拉普拉斯变换的基本性质 一 线性性质 14 二 微分定理 15 初态为r 0 及r 0 原始值为e 0 0 求r t 的象函数 解 设r t e t 均可进行拉氏变换即有E S L e t R S L r t 对方程两端进行拉氏变换 应用线性组合与微分定理可得 S2R s Sr 0 r 0 a1 SR s r 0 a0R s b1 SE s e 0 b0E s 整理合并得 S2 a1S a0 R S S a1 r 0 r 0 Sb1 b0 E s b1 0 例3某动态电路的输入 输出方程为 16 三 积分定理 例 17 四 时域平移 f t f t t0 平移 18 例1 例2 五 复频域平移 例3 19 六 初值定理和终值定理 初值定理若 f t F s 且f t 在t 0处无冲激 则 终值定理f t 及其导数f t 可进行拉氏变换 且 20 例1 例2 例3 21 例4 已知F s 解 由初值定理得 求f 0 和f 由终值定理得 22 例右图所示电路中 电压源为 试用时域卷积定理求零状态响应电流i t 七 时域卷积性 i t R L 解 1 写出系统动力学方程 2 作Laplace变换得 系统方框图 23 零状态响应电流 I s Ui s H s ui t H s 4 应用时域卷积定理 3 求系统传递函数 5 作Laplace反变换得 24 八 S域卷积性 九 尺度变换性 25 拉普拉斯变换的基本性质表 26 拉普拉斯变换的基本性质表 27 拉普拉斯变换的基本性质表 28 本讲小结 拉普拉斯变换定义 常用函数的拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的基本性质 29 30 1 利用 31 32 33 34 35 36 37 38 作业 1 写出拉普拉斯变换定义式 2 39 40 41 二 拉普拉斯反变换 1 由象函数求原函数 2 经数学处理后查拉普拉斯变换表 f t L 1 F s 42 象函数的一般形式 2 将F s 进行部分分式展开 43 等式两边同乘 s s1 44 例1 解 F S 45 例2 m n 用长除法 解 F S 46 k1 k2也是一对共轭复数 假设只有两个根 设 解 则 欧拉公式 47 例1 法一 部分分式法展开 求系数 48 法二 将F2 s 改写为 s 2 2 F S 49 等式两边同乘 50 例1 等式两边乘 得 51 例2 等式两边乘 52 53 54 4 一般多重根情况 55 练习1 求其原函数 56 s 57 练习2 因为m n 故采用 58 59 同理可求 60 练习3 61 62 t 0 63 练习4 64 65 66 2 5用拉氏变换法求解常微分方程 n 作Laplace变换 67 68 例1 1 t 0 0 t 0 69 70 71 例如图所示电路中 电压源为 求零状态响应电流i t i t R L 1 写出系统动力学方程 2 作L