高考数学一轮复习 第二十三章 选修系列 23.1 几何证明选讲课件.ppt

高考数学 江苏省专用 第二十三章选修系列 23 1几何证明选讲 1 2017江苏 21a 10分 选修4 1 几何证明选讲 如图 ab为半圆o的直径 直线pc切半圆o于点c ap pc p为垂足 求证 1 pac cab 2 ac2 ap ab a组自主命题 江苏卷题组 五年高考 证明本小题主要考查圆与相似三角形等基础知识 考查推理论证能力 1 因为pc切半圆o于点c 所以 pca cba 因为ab为半圆o的直径 所以 acb 90 因为ap pc 所以 apc 90 因此 pac cab 2 由 1 知 apc acb 故 即ac2 ap ab 2 2016江苏 21a 10分 选修4 1 几何证明选讲 如图 在 abc中 abc 90 bd ac d为垂足 e是bc的中点 求证 edc abd 证明在 adb和 abc中 因为 abc 90 bd ac a为公共角 所以 adb abc 于是 abd c 在rt bdc中 因为e是bc的中点 所以ed ec 从而 edc c 所以 edc abd 3 2015江苏 21a 10分 0 582 选修4 1 几何证明选讲 如图 在 abc中 ab ac abc的外接圆 o的弦ae交bc于点d 求证 abd aeb 证明因为ab ac 所以 abd c 又因为 c e 所以 abd e 又 bae为公共角 可知 abd aeb 4 2014江苏 21a 10分 0 60 如图 ab是圆o的直径 c d是圆o上位于ab异侧的两点 证明 ocb d 证明因为b c是圆o上的两点 所以ob oc 故 ocb b 又因为c d是圆o上位于ab异侧的两点 故 b d为同弧所对的两个圆周角 所以 b d 因此 ocb d 5 2013江苏 21a 10分 0 479 选修4 1 几何证明选讲 如图 ab和bc分别与圆o相切于点d c ac经过圆心o 且bc 2oc 求证 ac 2ad 证明连接od 因为ab和bc分别与圆o相切于点d c 所以 ado acb 90 又因为 a a 所以rt ado rt acb 所以 又bc 2oc 2od 故ac 2ad 考点几何证明1 2016课标全国 22 10分 选修4 1 几何证明选讲如图 oab是等腰三角形 aob 120 以o为圆心 oa为半径作圆 1 证明 直线ab与 o相切 2 点c d在 o上 且a b c d四点共圆 证明 ab cd b组统一命题 省 区 市 卷题组 证明 1 设e是ab的中点 连接oe 因为oa ob aob 120 所以oe ab aoe 60 2分 在rt aoe中 oe ao 即o到直线ab的距离等于 o半径 所以直线ab与 o相切 5分 2 因为oa 2od 所以o不是a b c d四点所在圆的圆心 设o 是a b c d四点所在圆的圆心 作直线oo 7分 由已知得o在线段ab的垂直平分线上 又o 在线段ab的垂直平分线上 所以oo ab 同理可证 oo cd 所以ab cd 10分 评析本题考查了直线和圆的位置关系 考查了四点共圆的充要条件 充分利用圆的性质是求解的关键 2 2016课标全国 22 10分 选修4 1 几何证明选讲如图 在正方形abcd中 e g分别在边da dc上 不与端点重合 且de dg 过d点作df ce 垂足为f 1 证明 b c g f四点共圆 2 若ab 1 e为da的中点 求四边形bcgf的面积 解析 1 证明 因为df ec 所以 def cdf 则有 gdf def fcb 所以 dgf cbf 由此可得 dgf cbf 因此 cgf cbf 180 所以b c g f四点共圆 5分 2 由b c g f四点共圆 cg cb知fg fb 连接gb 由g为rt dfc斜边cd的中点 知gf gc 故rt bcg rt bfg 因此 四边形bcgf的面积s是 gcb面积s gcb的2倍 即s 2s gcb 2 1 10分 评析本题考查了三角形相似和四点共圆的判定方法 3 2015课标 22 10分 0 384 选修4 1 几何证明选讲 如图 ab是 o的直径 ac是 o的切线 bc交 o于点e 1 若d为ac的中点 证明 de是 o的切线 2 若oa ce 求 acb的大小 解析 1 证明 连接ae 由已知得 ae bc ac ab 在rt aec中 由已知得 de dc 故 dec dce 连接oe 则 obe oeb 又 acb abc 90 所以 dec oeb 90 故 oed 90 de是 o的切线 5分 2 设ce 1 ae x 由已知得ab 2 be 由射影定理可得 ae2 ce be 所以x2 即x4 x2 12 0 可得x 所以 acb 60 10分 4 2015陕西 22 10分 选修4 1 几何证明选讲 如图 ab切 o于点b 直线ao交 o于d e两点 bc de 垂足为c 1 证明 cbd dba 2 若ad 3dc bc 求 o的直径 解析 1 证明 因为de为 o直径 则 bed edb 90 又bc de 所以 cbd edb 90 从而 cbd bed 又ab切 o于点b 得 dba bed 所以 cbd dba 2 由 1 知bd平分 cba 则 3 又bc 从而ab 3 所以ac 4 所以ad 3 由切割线定理得ab2 ad ae 即ae 6 故de ae ad 3 即 o直径为3 5 2015湖南 16 1 6分 选修4 1 几何证明选讲 如图 在 o中 相交于点e的两弦ab cd的中点分别是m n 直线mo与直线cd相交于点f 证明 1 men nom 180 2 fe fn fm fo 证明 1 如图所示 因为m n分别是弦ab cd的中点 所以om ab on cd 即 ome 90 eno 90 因此 ome eno 180 又四边形的内角和等于360 故 men nom 180 2 由 1 知 o m e n四点共圆 故由割线定理即得fe fn fm fo 6 2015课标 22 10分 选修4 1 几何证明选讲 如图 o为等腰三角形abc内一点 o与 abc的底边bc交于m n两点 与底边上的高ad交于点g 且与ab ac分别相切于e f两点 1 证明 ef bc 2 若ag等于 o的半径 且ae mn 2 求四边形ebcf的面积 解析 1 证明 由于 abc是等腰三角形 ad bc 所以ad是 cab的平分线 又因为 o分别与ab ac相切于点e f 所以ae af 故ad ef 从而ef bc 2 由 1 知 ae af ad ef 故ad是ef的垂直平分线 又ef为 o的弦 所以o在ad上 连接oe om 则oe ae 由ag等于 o的半径得ao 2oe 所以 oae 30 因此 abc和 aef都是等边三角形 因为ae 2 所以ao 4 oe 2 因为om oe 2 dm mn 所以od 1 于是ad 5 ab 所以四边形ebcf的面积为 2 2 1 2016天津 13 5分 如图 ab是圆的直径 弦cd与ab相交于点e be 2ae 2 bd ed 则线段ce的长为 c组教师专用题组 答案 解析连接ac bc 由同弧所对的圆周角相等知 dba ace 又易知 dba deb aec 故而有 aec ace 所以ac ae be 2ae 2 ac ae 1 ab 3 易知 acb为直角三角形 acb 90 ac 1 ab 3 则cosa 在 ace中 由余弦定理易得ce 评析本题考查了圆的性质和余弦定理的应用 利用已知条件得到 aec ace是求解的关键 2 2015重庆 14 5分 如图 圆o的弦ab cd相交于点e 过点a作圆o的切线与dc的延长线交于点p 若pa 6 ae 9 pc 3 ce ed 2 1 则be 答案2 解析由切割线定理得pa2 pc pd 得pd 12 cd pd pc 12 3 9 即ce ed 9 ce ed 2 1 ce 6 ed 3 由相交弦定理得ae eb ce ed 即9eb 6 3 得eb 2 3 2015湖北 15 5分 选修4 1 几何证明选讲 如图 pa是圆的切线 a为切点 pbc是圆的割线 且bc 3pb 则 答案 解析由切割线定理得pa2 pb pc bc 3pb pc 4pb 则pa2 4pb2 pa 2pb 又 pab pca apb cpa pab pca 则 4 2015广东 15 5分 几何证明选讲选做题 如图 已知ab是圆o的直径 ab 4 ec是圆o的切线 切点为c bc 1 过圆心o作bc的平行线 分别交ec和ac于点d和点p 则od 答案8 解析易得ac 由op bc 且o为ab的中点可知cp ac op bc cpo acb 90 所以 cpd 90 因为ec是切线 所以 dcp cba 从而 cpd bca 故 所以dp 故od dp op 8 6 2014湖北 15 5分 如图 p为 o外一点 过p点作 o的两条切线 切点分别为a b 过pa的中点q作割线交 o于c d两点 若qc 1 cd 3 则pb 答案4 解析由切割线定理得qa2 qc qd 1 1 3 4 qa 2 q为pa的中点 pa 2qa 4 故pb pa 4 7 2013广东理 15 5分 如图 ab是圆o的直径 点c在圆o上 延长bc到d使bc cd 过c作圆o的切线交ad于e 若ab 6 ed 2 则bc 答案2 解析如图 设ad与圆o交于点n 过o作om an于点m 则m为an的中点 连接oc ce是圆o的切线 oc ce o c分别是ab和bd的中点 oc ad 且ad 2oc 6 ce ad 故四边形ocem为矩形 me oc 3 ce om ed 2 me 3 am 1 在rt amo中 易得om 2 故ce 2 在rt ced中 cd 2 故bc 2 评析本题考查圆的性质 垂径定理及勾股定理 考查学生推理论证能力和运算求解能力 垂径定理的应用是求解本题的关键 8 2013课标全国 理 22 10分 如图 cd为 abc外接圆的切线 ab的延长线交直线cd于点d e f分别为弦ab与弦ac上的点 且bc ae dc af b e f c四点共圆 1 证明 ca是 abc外接圆的直径 2 若db be ea 求过b e f c四点的圆的面积与 abc外接圆面积的比值 解析 1 因为cd为 abc外接圆的切线 所以 dcb a 由题设知 故 cdb aef 所以 dbc efa 因为b e f c四点共圆 所以 cfe dbc 故 efa cfe 90 所以 cba 90 因此ca是 abc外接圆的直径 2 连接ce 因为 cbe 90 所以过b e f c四点的圆的直径为ce 由db be 得ce dc 又bc2 db ba 2db2 所以ca2 4db2 bc2 6db2 而dc2 db da 3db2 故过b e f c四点的圆的面积与 abc外接圆面积的比值为 9 2014重庆 14 5分 过圆外一点p作圆的切线pa a为切点 再作割线pbc依次交圆于b c 若pa 6 ac 8 bc 9 则ab 答案4 解析设pb x 由切割线定理得x x 9 62 解得x 3或x 12 舍去 又易知 pab pca 于是 ab 4 10 2013重庆理 14 5分 如图 在 abc中 c 90 a 60 ab 20 过c作 abc的外接圆的切线cd bd cd bd与外接圆交于点e 则de的长为 答案5 解析设外接圆的圆心为o 由题意知ab是直径 所以o为ab的中点 连接oe 在rt abc中 abc 30 又由cd与圆相切 得 bcd 60 又由bd cd 得 cbd 30 所以 obd 60 所以 obe是等边三角形 be 10 又可算得bd 15 则de 15 10 5 11 2015天津改编 5 5分 如图 在圆o中 m n是弦ab的三等分点 弦cd ce分别经过点m n 若cm 2 md 4 cn 3 则线段ne的长为 答案 解析令ab 3a a 0 因为cm md am mb 即2 4 2a2 所以a 2 又因为cn ne an nb 即3ne 4 2 所以ne 12 2014广东 15 5分 如图 在平行四边形abcd中 点e在ab上且eb 2ae ac与de交于点f 则 答案9 解析依题意得 cdf aef 由eb 2ae可知ae cd 1 3 故 9 13 2013湖南理 11 5分 如图 在半径为的 o中 弦ab cd相交于点p pa pb 2 pd 1 则圆心o到弦cd的距离为 答案 解析由相交弦定理可知 pa pb pc pd 所以pc 4 故cd 5 取cd的中点m 连接om oc 在rt omc中 om 由垂径定理可知om即为圆心o到弦cd的距离 其大小为 解答题 共70分 1 2017南京 盐城高三第一次模拟考试 21 如图 ab是半圆o的直径 点p为半圆o外一点 pa pb分别交半圆o于点d c 若ad 2 pd 4 pc 3 求bd的长 三年模拟 a组2015 2017年高考模拟 基础题组 时间 40分钟分值 70分 解析由切割线定理得 pd pa pc pb 则4 2 4 3 3 bc 解得bc 5 因为ab是半圆o的直径 所以 adb 故 pdb 在rt pdb中 bd 4 2 2017江苏扬州 泰州 南通 淮安 宿迁 徐州六市联考 21 如图 已知 abc内接于 o 连接ao并延长交 o于点d acb adc 求证 ad bc 2ac cd 证明连接oc 因为 acb adc abc adc 所以 acb abc 因为oc od 所以 ocd adc 所以 acb ocd 所以 abc odc 所以 即oc bc ac dc 因为oc ad 所以ad bc 2ac dc 3 2017江苏淮安 宿迁 连云港 徐州上学期期中 如图 ab是圆o的直径 弦bd ca的延长线相交于点e 过e作ba的延长线的垂线 垂足为f 连接df 求证 ab2 be bd ae ac 证明连接ad bc 因为ab为圆o的直径 所以 adb 90 因为ef ab 所以 afe 90 则a d e f四点共圆 所以bd be ba bf 易证 abc aef 所以 即ab af ae ac 所以be bd ae ac ba bf ab af ab bf af ab2 4 2017江苏苏州暑假自主学习测试 如图 abc是圆o的内接三角形 pa是圆o的切线 a为切点 pb交ac于点e 交圆o于点d 若pe pa abc 60 且pd 1 pb 9 求ec的长 解析易知 pae abc 60 因为pa pe 所以 pae为等边三角形 由切割线定理得pa2 pd pb 9 所以ae ep pa 3 ed ep pd 2 eb pb pe 6 由相交弦定理得ec ea eb ed 12 所以ec 12 3 4 5 2016江苏南京六校联考 10 如图 ab是 o的一条切线 切点为b 直线ade cfd cge都是 o的割线 已知ac ab 求证 fg ac 证明 ab为切线 ae为割线 ab2 ad ae 又 ac ab ad ae ac2 又 eac cad adc ace adc ace 又 adc egf egf ace gf ac 6 2015南京 盐城一模 如图 已知点p为rt abc的斜边ab的延长线上一点 且pc与rt abc的外接圆相切 过点c作ab的垂线 垂足为d 若pa 18 pc 6 求线段cd的长 解析由切割线定理 得pc2 pa pb 解得pb 2 所以ab 16 所以rt abc的外接圆半径r 8 记rt abc外接圆的圆心为o 连接oc 则oc pc 在rt poc中 由面积法得oc pc po cd 解得cd 7 2015江苏南通三模 如图 bc为圆o的直径 a为圆o上一点 过点a作圆o的切线交bc的延长线于点p ah pb于h 求证 pa ah pc hb 证明连接ac ab 因为bc为圆o的直径 故ac ab 又ah pb 故ah2 ch hb 即 因为pa为圆o的切线 故 pac b 在rt abc中 b acb 90 在rt ach中 cah acb 90 所以 hac b 所以 pac cah 所以 即 所以 即pa ah pc hb b组2015 2017年高考模拟 综合题组 时间 40分钟分值 70分 解答题 共70分 1 2017苏锡常镇四市高三教学情况调研 一 21 如图 圆o的直径ab 6 c为圆周上一点 bc 3 过c作圆o的切线l 过a作l的垂线ad ad分别与直线l 圆o交于点d e 求 dac的大小和线段ae的长 解析连接oc 由于l是圆o的切线 故oc l 因为ad l 所以ad oc 因为ab是圆o的直径 ab 6 bc 3 所以 abc bco 60 则 dac aco 90 60 30 ac ab cos30 3 则dc acsin30 da accos30 由切割线定理知 dc2 da de 所以de 所以ae 3 2 2017南京 盐城高三第二次模拟考试 21 如图 abc的顶点a c在圆o上 b在圆外 线段ab与圆o交于点m 1 若bc是圆o的切线 如图1 且ab 8 bc 4 求线段am的长度 2 若线段bc与圆o交于另一点n 如图2 且ab 2ac 求证 bn 2mn 图1图2 解析 1 因为bc是圆o的切线 所以由切割线定理得bc2 bm ba 设am t 因为ab 8 bc 4 所以42 8 t 8 解得t 6 即线段am的长度为6 2 证明 因为四边形amnc为圆内接四边形 所以 a mnb 又 b b 所以 bmn bca 所以 因为ab 2ac 所以bn 2mn 思路分析 1 因为bc是圆o的切线 所以由切割线定理可得bc2 bm ba 进而求得am的长度 2 证得 bmn bca 列出比例关系式 即可证明 3 2017苏北三市第三次模拟考试 21 如图 圆o的弦ab mn交于点c 且a为弧mn的中点 点d在弧bm上 若 acn 3 adb 求 adb的度数 解析连接an dn am 因为 amn adn nab ndb 所以 anm nab adn ndb 即 bcn