高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.2 空间点、线、面的位置关系课件.ppt

第八章立体几何 8 2空间点 线 面的位置关系 高考数学 浙江专用 考点空间点 线 面的位置关系1 2016浙江 2 5分 已知互相垂直的平面 交于直线l 若直线m n满足m n 则 a m lb m nc n ld m n 五年高考 答案c对于a m与l可能平行或异面 故a错 对于b d m与n可能平行 相交或异面 故b d错 对于c 因为n l 所以n l 故c正确 故选c 评析本题考查了线面平行与垂直的性质及空间两条直线的位置关系 2 2015浙江文 4 5分 设 是两个不同的平面 l m是两条不同的直线 且l m a 若l 则 b 若 则l mc 若l 则 d 若 则l m 答案a对于选项a 由面面垂直的判定定理可知选项a正确 对于选项b 若 l m 则l与m可能平行 可能相交 也可能异面 所以选项b错误 对于选项c 当l平行于 与 的交线时 l 但此时 与 相交 所以选项c错误 对于选项d 若 则l与m可能平行 也可能异面 所以选项d错误 故选a 3 2013浙江 10 5分 在空间中 过点a作平面 的垂线 垂足为b 记b f a 设 是两个不同的平面 对空间任意一点p q1 f f p q2 f f p 恒有pq1 pq2 则 a 平面 与平面 垂直b 平面 与平面 所成的 锐 二面角为45 c 平面 与平面 平行d 平面 与平面 所成的 锐 二面角为60 答案a设p1 f p p2 f p 由条件中的新定义知 pp1 p1q1 pp2 p2q2 故pp1 p2q2 pp2 p1q1 pp1 p1q2 pp2 p2q1 可知点p p1 p2 q1 q2五点共面 记为平面 可得 当 时 pp2 pp1 此时四边形pp1q2p2为矩形 pp2 p2q2 故q1与q2重合 满足题意 故选a 4 2013浙江文 4 5分 设m n是两条不同的直线 是两个不同的平面 a 若m n 则m nb 若m m 则 c 若m n m 则n d 若m 则m 答案c设直线a b a b a m m a m b 又n m n a n b n 故选c 5 2016课标全国 11 5分 平面 过正方体abcd a1b1c1d1的顶点a 平面cb1d1 平面abcd m 平面abb1a1 n 则m n所成角的正弦值为 a b c d 答案a如图 延长b1a1至a2 使a2a1 b1a1 延长d1a1至a3 使a3a1 d1a1 连接aa2 aa3 a2a3 a1b a1d 易证aa2 a1b d1c aa3 a1d b1c 平面aa2a3 平面cb1d1 即平面aa2a3为平面 于是m a2a3 直线aa2即为直线n 显然有aa2 aa3 a2a3 于是m n所成的角为60 其正弦值为 选a 疑难突破本题的难点是明确直线m n的具体位置或它们相对正方体中的棱 对角线的相对位置关系 为此适当扩形是常用策略 向右 向前扩展 补形 两个全等的正方体 则m n或其平行线就展现出来了 6 2015广东 8 5分 若空间中n个不同的点两两距离都相等 则正整数n的取值 a 至多等于3b 至多等于4c 等于5d 大于5 答案b由正四面体的定义可知n 4能满足条件 当n 5时 可设其中三个点为a b c 由直线与平面垂直的性质及点到点的距离定义可知到a b c三点距离相等的点必在过 abc的重心且与平面abc垂直的直线上 从而易知到a b c的距离等于正三角形abc边长的点有两个 分别在平面abc的两侧 此时可知这两点间的距离大于正三角形的边长 从而不可能有5个点满足条件 当然也不可能有多于5个的点满足条件 故选b 评析本题利用正四面体知识可知n能等于4 对于n 5的情形 则要求学生有较强的空间想象力 适当地构造几何体的能力及推理能力 7 2015福建 7 5分 若l m是两条不同的直线 m垂直于平面 则 l m 是 l 的 a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 答案b因为l m m 所以l 或l 故充分性不成立 反之 l m 一定有l m 故必要性成立 选b 8 2014辽宁 4 5分 已知m n表示两条不同直线 表示平面 下列说法正确的是 a 若m n 则m nb 若m n 则m nc 若m m n 则n d 若m m n 则n 答案ba选项m n也可以相交或异面 c选项也可以n d选项也可以n 或n与 斜交 根据线面垂直的性质可知选b 9 2017课标全国 理 16 5分 a b为空间中两条互相垂直的直线 等腰直角三角形abc的直角边ac所在直线与a b都垂直 斜边ab以直线ac为旋转轴旋转 有下列结论 当直线ab与a成60 角时 ab与b成30 角 当直线ab与a成60 角时 ab与b成60 角 直线ab与a所成角的最小值为45 直线ab与a所成角的最大值为60 其中正确的是 填写所有正确结论的编号 答案 解析本题考查空间直线 平面间的位置关系 过点c作直线a1 a b1 b 则直线ac a1 b1两两垂直 不妨分别以a1 b1 ac所在直线为x y z轴建立空间直角坐标系 取n1 1 0 0 为a1的方向向量 n2 0 1 0 为b1的方向向量 令a 0 0 1 可设b cos sin 0 则 cos sin 1 当直线ab与a成60 角时 cos cos sin cos 即ab与b所成角也是60 cos 直线ab与a所成角的最小值为45 综上 和 是正确的 和 是错误的 故填 一题多解过点b作a1 a b1 b 当直线ab与a成60 角时 由题意 可知ab在由a1 b1确定的平面上的射影为bc 且bc与a1成45 角 又a b 故ab与b所成角也是60 错 正确 当直线a bc时 ab与a所成角最小 故最小角为45 正确 错误 综上 正确的是 错误的是 注 一条斜线与平面所成角的余弦值和其在平面内的射影与平面内一条直线所成角的余弦值的乘积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦值 10 2013课标全国 4 5分 已知m n为异面直线 m 平面 n 平面 直线l满足l m l n l l 则 a 且l b 且l c 与 相交 且交线垂直于ld 与 相交 且交线平行于l 以下为教师用书专用 答案d若 则m n 这与m n为异面直线矛盾 所以a不正确 将已知条件转化到正方体中 易知 与 不一定垂直 但 与 的交线一定平行于l 从而排除b c 故选d 评析本题考查了线面的位置关系 考查了空间想象能力 本题利用排除法求解效果比较好 11 2013广东 6 5分 设m n是两条不同的直线 是两个不同的平面 下列命题中正确的是 a 若 m n 则m nb 若 m n 则m nc 若m n m n 则 d 若m m n n 则 答案d若 m n 则m与n可能平行 故a错 若 m n 则m与n可能平行 也可能异面 故b错 若m n m n 则 与 可能相交 也可能平行 故c错 对于d项 由m m n 得n 又知n 故 所以d项正确 12 2013江西 8 5分 如图 正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 上 且ab cd 正方体的六个面所在的平面与直线ce ef相交的平面个数分别记为m n 那么m n a 8b 9c 10d 11 答案a如图 ce 平面abpq ce 平面a1b1p1q1 ce与正方体的其余四个面所在平面均相交 m 4 ef 平面bpp1b1 且ef 平面aqq1a1 ef与正方体的其余四个面所在平面均相交 n 4 故m n 8 选a 13 2013上海春招 9 3分 在如图所示的正方体abcd a1b1c1d1中 异面直线a1b与b1c所成角的大小为 答案 解析连接a1d bd 则a1d b1c 故 ba1d即为异面直线a1b与b1c所成角 又 a1db为正三角形 故所成的角为 14 2013上海春招 25 7分 如图 在正三棱锥abc a1b1c中 aa1 6 异面直线bc1与aa1所成角的大小为 求该三棱柱的体积 解析因为cc1 aa1 所以 bc1c为异面直线bc1与aa1所成的角 即 bc1c 在rt bc1c中 bc cc1 tan bc1c 6 2 从而s abc bc2 3 因此该三棱柱的体积为v s abc aa1 3 6 18 1 2017浙江宁波二模 5月 5 已知平面 和直线l1 l2 且 l2 则 l1 l2 是 l1 且l1 的 a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 三年模拟 一 选择题 a组2015 2017年高考模拟 基础题组 答案b由线面平行的性质定理知选项b正确 2 2017浙江镇海中学模拟卷四 9 如图 已知 abc是以b为直角顶点的直角三角形 d为平面abc外一点 且满足ad bc cd ab e是线段ab的中点 若点d在平面abc上的投影点m恰好落在线段be上 不含两端点 则的取值范围是 a 0 1 b 1 c 1 d 答案b如图 该问题可以看成是 已知矩形abcd e为ab的中点 现将 acd沿对角线ac翻折 点d在平面abc上的投影点m恰好落在线段be上 不含两端点 求的取值范围 不妨设bc 1 过点d作dg ac 与ac和ab分别交于点g和点f 则d在平面abc上的投影点m的轨迹在直线gf上 易知 adc与 fad相似 所以 即af 因为m落在线段be上 不含两端点 所以 af ab 即 ab 所以1 ab 又ad 1 所以的取值范围是 1 故选b 解题技巧对于立体几何中的动态问题 关键是抓住变化过程中不变的位置关系和数量关系 如该题在翻折的过程中 dg ac fg ac是一组不变关系 这是该题的突破口 这样我们就可以得到ac 平面dfg 由面面垂直的判定知 平面abc 平面dfg 因此点d在平面abc上的投影必在直线gf上 投影点即为gf和ab的交点f 3 2017浙江金华十校调研 10 如图 在三棱柱abc a1b1c1中 已知e f分别是线段ab1与ca1上的动点 异面直线ab1与ca1所成角为 记线段ef的中点m的轨迹为l 则 l 表示l的测度 在本题中当l表示曲线 平面图形 空间几何体时 l 分别对应其所表示的曲线 平面图形 空间几何体的长度 面积 体积 等于 a ab1 b c ab1 ca1 sin d 是三棱柱abc a1b1c1的体积 答案c分别取棱ac b1c b1a1 aa1的中点p q r s 易知点m的轨迹恰为平行四边形pqrs的内部 包括边界 所以 l 即为平行四边形pqrs的面积 因此 l pq qr sin ab1 ca1 sin 故选c 4 2017浙江温州2月模拟 8 如图 在三棱锥a bcd中 平面abc 平面bcd bac与 bcd均为等腰直角三角形 且 bac bcd 90 bc 2 点p是线段ab上的动点 不含端点 若线段cd上存在点q 不含端点 使得异面直线pq与ac成30 的角 则线段pa的长度的取值范围是 a b c d 答案b如图 将题图中的三棱锥补全为一个长方体 在平面abc内 过点p作ab的垂线交ce于点r 因为ac ab pr ab 所以ac pr 因而 rpq即为异面直线pq与ac所成的角 所以 rpq 设ap x 则cr x 在直角三角形pqr中 易求pr 所以rq 在直角三角形crq中 cq 0 2 故0 x2 解得x 故选b 一题多解以c为原点 cd cb分别为x轴 y轴建立空间直角坐标系 图略 则a 0 1 1 b 0 2 0 d 2 0 0 设q y 0 0 x x 0 1 1 0 x x 其中0 即 在y 0 2 上有解 即y2 2x2 0 4 所以0 x2 所以 x 即 故选b 5 2017浙江模拟训练冲刺卷五 5 三个半径为r的球和两个半径为r的球 满足条件 三个半径为r的球两两外切 且每个球都同时与半径为r的球外切 若半径为r的两个球也互相外切 则r与r的关系是 a r rb r 2rc r 3rd r 6r 答案d设三个半径为r的球的球心分别为a b c 两个半径为r的球的球心分别为p q 把球心两两相连得几何体p abc q 它是由两个全等的正三棱锥p abc q abc组成的 如图 在正三棱锥p abc中 底面边长为2r 侧棱长为r r 则它的高为po 又pq 2r 故po r 从而得 r 即r 6r 6 2016浙江模拟训练卷 一 3 下列命题为假的是 a 如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意一条直线 则两平面垂直b 如果一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面 则两平面平行c 如果两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直 则这两条直线互相垂直d 如果一条直线和一个平面平行 经过这条直线的平面和这个平面相交 那么这条直线和交线平行 答案c设直线l 平面 直线l垂直于平面 内的任意一条直线 则有l 由面面垂直的判定定理知 即a正确 如果平面 内的任一条直线都平行于平面 则在平面 内就有两相交直线平行于平面 从而平面 与平面 平行 即b正确 在正方体abcd a1b1c1d1中 ba1与bc1在底面abcd内的射影互相垂直 但ba1与bc1不垂直 即c错 d显然正确 故选c 7 2016浙江高考模拟冲刺 四 8 已知直角梯形abcd ab ad cd ad ab 2 ad cd 1 将 acd沿梯形的对角线ac所在的直线进行翻折 且点d不在平面abc内 则在翻折的过程中 a 存在某个位置 使得直线ac与直线bd垂直b 存在某个位置 使得直线ab与直线cd垂直c 存在某个位置 使得直线ad与直线bc垂直d 存在某个位置 使得平面abd与平面abc垂直 答案c由ab ad cd ad ab 2 ad cd 1 得ac bc 且ac bc 若ac bd ac bc 则ac 平面bcd ac cd 与ad cd不符 故a错 若ab cd cd ad cd 平面abd cd bd 当满足cd 1 bc 时 得bd 1 从而ad bd ab 与点d不在平面abc内不符 故b错 若ad bc cd ad ad 平面bcd ad bd 当满足bc cd时 由cd 1 bc 得bd 满足bd2 ad2 ab2 与ad bd相符 故c正确 若平面abd 平面abc 设ab的中点为o 连接oc od 由ac bc知oc ab 从而oc 平面abd oc ad 由ad cd 得ad 平面ocd 得ad od 显然矛盾 故d错 故选c 8 2017浙江名校协作体期初 15 如图 正方体abcd a1b1c1d1的棱长为3 在面对角线a1d上取点m cd1上取点n 使得mn 平面aa1c1c 当线段mn的长度取最小值时 三棱锥a1 mnd1的体积为 二 填空题 答案1 解析分别以da dc dd1所在的直线为x y z轴建立空间直角坐标系 图略 则有d 0 0 0 a1 3 0 3 c 0 3 0 d1 0 0 3 设 m 0 m 1 则m 3m 0 3m 设 n 0 n 1 则 n 得n 0 3 3n 3n 所以 3m 3n 3 3m 3n 又平面aa1c1c的法向量为a 1 1 0 且mn 平面aa1c1c 所以a 0 可得m n 1 此时 3 3 3 故当m n 时 线段mn的长度取最小值 此时m 1 0 1 n 0 1 2 故三棱锥a1 mnd1的体积为v 3 2 1 1 9 2015浙江名校 绍兴一中 交流卷五 11 长方体abcd a1b1c1d1的底面是边长为1的正方形 点e在侧棱aa1上 满足 c1eb 90 则异面直线be与c1b1所成的角为 侧棱aa1的长的最小值为 答案90 2 解析连接bc1 在长方体abcd a1b1c1d1中 cb 平面abb1a1 cbe 90 又c1b1 bc 异面直线be与c1b1所成的角为90 设aa1 x ae m m 0 所以be2 1 m2 e x m 2 2 b 1 x2 因为 c1eb 90 所以b e be2 即1 x2 x m 2 2 1 m2 即m2 mx 1 0 所以x m 2 10 2017浙江金华十校调研 19 已知四边形abcd为直角梯形 bcd 90 ad cb 且ad 3 bc 2cd 4 点e f分别在线段ad和bc上 fedc为正方形 将四边形abfe沿ef折起 使二面角b ef c的平面角为60 1 求证 ce 面a db 2 求直线a b 与平面fedc所成的角的正弦值 三 解答题 解析证明 1 取fb 的中点m 连接cm a m em 由已知得a e b m a m dc a b em a d cm 又 cm em m a b a d a 面cme 面a db 又ce 面cme ce 面a db 2 解法一 由 1 可知a b em 直线a b 与平面fedc所成的角即为直线em与平面fedc所成的角 过m作mn cf于点n 连接en 由题易知 efb 90 efc 90 ef 平面b fc ef mn mn 平面fedc men为直线a b 与平面fedc所成的角 m为fb 的中点 mf 1 由折叠知 b fc 60 mn 由 1 知em a b sin men 即直线a b 与平面fedc所成角的正弦值为 解法二 取de的中点o作为坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标系 则b 0 2 a 平面efcd的一个法向量为n 0 0 1 cos 即直线a b 与平面fedc所成角的正弦值为 11 2017浙江台州期末质量评估 19 如图 在边长为2的菱形abcd中 bad 60 o为ac的中点 点p为平面abcd外一点 且平面pac 平面abcd po 1 pa 2 1 求证 po 平面abcd 2 求直线pa与平面pbc所成角的正弦值 解析 1 证明 在边长为2的菱形abcd中 因为 bad 60 所以ao 又因为po 1 pa 2 所以po2 ao2 4 pa2 所以ao po 因为平面pac 平面abcd 平面pac 平面abcd ac po 平面pac 所以po 平面abcd 2 以o为原点 ob oc op所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 如图所示 由已知得a 0 0 b 1 0 0 c 0 0 p 0 0 1 设平面pbc的法向量为n x y z 因为 1 0 1 1 0 所以由得设x 则y 1 z 所以n 1 设直线pa与平面pbc所成角为 又因为 0 1 所以sin cos 所以直线pa与平面pbc所成角的正弦值为 1 2017浙江温州2月模拟 3 已知空间中两条不同的直线m n 两个不同的平面 下列命题正确的是 a 若m 且n 则m nb 若m 且m n 则n c 若m 且m 则 d 若m不垂直于 且n 则m不垂直于n 一 选择题 b组2015 2017年高考模拟 综合题组 答案c选项a 若m 且n 则两直线m n相交 异面 平行都有可能 因此排除a 选项b 若m 且m n 则n 因此排除b 选项c 若m 则存在直线m 使得m m 而m 所以有m 因此 正确 选项d 当m不垂直于 时 存在n 使得m n 因此排除d 故选c 2 2017浙江宁波二模 5月 10 如图 在直二面角a bd c中 abd cbd均是以bd为斜边的等腰直角三角形 取ad的中点e 将 abe沿be翻折到 a1be的位置 在 abe的翻折过程中 下列不可能成立的是 a bc与平面a1be内某直线平行b cd 平面a1bec bc与平面a1be内某直线垂直d bc a1b 答案d将 abe沿be进行翻折时 可知直线a1b的轨迹为圆锥曲面 当直线bc在平面a1be内时 在平面a1be内必定存在直线l和bc平行 也存在直线l 和bc垂直 因此选项a c正确 显然直线be cd异面 则过直线be有且仅有一个平面 与cd平行 所以 abe沿be进行翻折 当平面a1be与平面 重合时满足条件 因此选项b正确 对于选项d 因为 a1bc abe ebc abe ebd dbc 90 因此d不正确 综上 故选d 点拨本题考查了立体几何中的动态问题 很多的问题都可以将其理解为翻折 旋转 问题 在解题的过程中关键是要把握其中的不变量以及变化过程中几何量 点 线 面 的轨迹 3 2017浙江名校 绍兴一中 交流卷一 10 四棱锥p abcd中 ad 平面pab bc 平面pab 底面abcd为梯形 ad 4 bc 8 ab 6 apd cpb 则下列结论中正确的是 pb 2pa p点的轨迹是圆 p点的轨迹是抛物线的一部分 三角形pab的面积的最大值是12 a b c d 答案c因为ad 平面pab bc 平面pab 所以ad bc且ad pa cb pb 因为 apd cpb 所以tan apd tan cpb 所以 又ad 4 bc 8 因此pb 2pa 故 正确 在平面pab内 以ab的中点为原点 ab所在直线为x轴建立平面直角坐标系 则a 3 0 b 3 0 设p x y y 0 则 x 3 2 y2 4 x 3 2 y2 y 0 即 x 5 2 y2 16 y 0 故点p的轨迹为圆的一部分 故 不正确 因为ymax 4 所以 ab yp 6 4 12 故 正确 故选c 4 2017浙江宁波期末 10 在正方形abcd中 点e f分别为边bc ad的中点 将 abf沿bf所在的直线进行翻折 将 cde沿de所在的直线进行翻折 则在翻折的过程中 a 点a与点c在某一位置可能重合b 点a与点c的最大距离为abc 直线ab与直线cd可能垂直d 直线af与直线ce可能垂直 答案d若点a与点c在某一位置重合 则在 abe中 be ae ab 即有be ae ab 则be ae ab三边不构成三角形 故a错 在正方形abcd中 设ac与bf ed分别交于点m n 则am mn nc ab 在翻折的过程中 总有ac am mc am mn nc ab 故b错 因为bf de abf ced 所以在翻折的过程中 ab与ce不平行 过点b作bp ce 且bp ce 则直线bp ba是相交直线 由四边形becp为平行四边形得cp be 且cp be 从而有cp df 且cp df 所以四边形cdfp为平行四边形 故fp cd 故若ab cd 则fp ab 又cd ce 故fp pb 从而有fp 平面abp 所以fp ap 则在 fpa中 af fp 但af cd fp 矛盾 故c错 由上知若直线af与直线ce垂直 则af bp 又fp pb 从而有bp 平面apf 所以bp ap 故只需ap ab即可 即d正确 故选d 5 2017浙江镇海中学第一学期期中 7 如图 四边形abcd ab bd da 2 bc cd 现将 abd沿bd折起 当二面角a bd c的大小在时 直线ab与cd所成角的余弦值的取值范围是 a b c d 答案b取bd的中点为o 连接ao co 由ab da bc cd 知ao bd co bd 分别以ob oc所在直线为x y轴 过o作平面bcd的垂线 垂线所在的直线为z轴 建立空间直角坐标系 则b 1 0 0 c 0 1 0 d 1 0 0 设二面角a