山东省齐鲁名校高三数学上学期第一次调研试卷 理（含解析）.doc

山东省齐鲁名校2015届高三上学 期第一次调研数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设集合a=x|x1|2，b=x|log2x2，则ab=（）abd（，4）2（5分）函数y=ln（1）的定义域为（）a（0，1）b（1，+）c（，0）（1，+）d（，1）3（5分）设an是等比数列，m，n，s，tn*，则“m+n=s+t”是“aman=asat”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件4（5分）已知平面上三点a、b、c满足=3，=4，=5，则的值等于（）a25b24c25d245（5分）由曲线y=，直线y=x2及y轴所围成的图形的面积为（）ab4cd66（5分）函数y=的图象可能是（）abcd7（5分）若正数x，y满足3x+y=5xy，则4x+3y的最小值是（）a2b3c4d58（5分）下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（）ay=by=tanxcy=dy=x3（1x1）9（5分）某公司招收男职员x名，女职员y名，须满足约束条件 则10x+10y的最大值是（）a80b85c90d10010（5分）函数y=x2ax在（0，+）上是增函数，则实数a的最大值为（）a3b4c5d6二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11（5分）设an是正项数列，a1=2，an+12an2=2，则an=12（5分）化简=13（5分）侧棱长都为的四棱锥的底面是以2为边长的正方形，其俯视图如图所示，则该四棱锥正视图的面积为14（5分）设函数f（x）=，若函数y=f（x）k存在两个零点，则实数k的取值范围是15（5分）对于函数f（x），若存在常数a0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=f（2ax），则称f（x）为准奇函数给定下列函数：f（x）=f（x）=（x1）2f（x）=x3f（x）=cosx其中所有准奇函数的序号是三、解答题：本大题共6小题，共75分.16（12分）设向量=（sinx，cosx，=（sinx，sinx），xr，函数f（x）=（+2）（1）求f（x）在上的最大值和最小值；（2）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后，再将得到的图象上的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，计算g（1）+g（2）+g（3）+g17（12分）已知abc中，a、b、c分别为内角a、b、c的对边已知：2（sin2asin2c）=（ab）sinb，abc的外接圆半径为，（1）求角c和边c；（2）求abc面积s的最大值并判断取得最大值时三角形的形状18（12分）如图，在梯形abcd中，abcd，ad=dc=cb=1，abc=60，四边形acfe为矩形，平面acfe平面abcd，cf=1（）求证：bc平面acfe；（）点m在线段ef上运动，设平面mab与平面fcb所成二面角的平面角为（90），试求cos的取值范围19（12分）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：x+8（0x120）已知甲、乙两地相距100千米（）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？20（13分）在数列an中，a1+a2+an=n2（1）在数列an的通项公式；（2）求数列的前n项和sn；（3）求数列的前n项和tn21（14分）设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b0（1）当b=1时，求曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）当nn*，且n2时证明不等式：ln+山东省齐鲁名校2015届高三上学期第一次调研数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设集合a=x|x1|2，b=x|log2x2，则ab=（）abd（，4）考点：并集及其运算 专题：集合分析：分别求解绝对值的不等式和对数不等式化简集合a，b，然后直接利用并集运算得答案解答：解：a=x|x1|2=x|2x12=x|1x3，b=x|log2x2=x|0x4，则ab=专题：函数的性质及应用分析：根据对数函数的性质，要使函数有意义，则需真数大于零且分母不为0解答：解：要使函数有意义，x应满足，解得0x1则定义域为（0，1）故选：a点评：本题主要考查对数函数的定义域，基本求法是真数大于零且分母不为0要注意定义域要写成集合或区间的形式3（5分）设an是等比数列，m，n，s，tn*，则“m+n=s+t”是“aman=asat”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：等差数列与等比数列；简易逻辑分析：根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可解答：解：设等比数列的公比为q，则由通项公式可得aman=，asat=，若m+n=s+t，则aman=asat成立，即充分性成立，当q=1时，若aman=asat，则m+n=s+t不一定成立，即必要性不成立，故“m+n=s+t”是“aman=asat”充分不必要条件，故选：a点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据对比数列的性质是解决本题的关键4（5分）已知平面上三点a、b、c满足=3，=4，=5，则的值等于（）a25b24c25d24考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：通过勾股定理判断出b=90，利用向量垂直的充要条件求出 =0，利用向量的运算法则及向量的运算律求出值解答：解：由=3，=4，=5，可得+=，abbc，=0则=0+（+）=25，故选：c点评：本题考查勾股定理、向量垂直的充要条件、向量的运算法则、向量的运算律，属于中档题5（5分）由曲线y=，直线y=x2及y轴所围成的图形的面积为（）ab4cd6考点：定积分在求面积中的应用 专题：计算题分析：利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解解答：解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x2及y轴所围成的图形的面积为：s=故选c点评：本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题6（5分）函数y=的图象可能是（）abcd考点：函数的图象 专题：函数的性质及应用分析：当x0时，当x0时，作出函数图象为b解答：解：函数y=的定义域为（，0）（0，+）关于原点对称当x0时，当x0时，此时函数图象与当x0时函数的图象关于原点对称故选b点评：本题考查了函数奇偶性的概念、判断及性质，考查了分段函数的图象及图象变换的能力7（5分）若正数x，y满足3x+y=5xy，则4x+3y的最小值是（）a2b3c4d5考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：已知式子变形可得+=1，进而可得4x+3y=（4x+3y）（+）=+，由基本不等式求最值可得解答：解：正数x，y满足3x+y=5xy，=+=1，4x+3y=（4x+3y）（+）=+2=5当且仅当=即x=且y=1时取等号，4x+3y的最小值是5故选：d点评：本题考查基本不等式求最值，1的代换是解决问题的关键，属基础题8（5分）下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（）ay=by=tanxcy=dy=x3（1x1）考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明 专题：函数的性质及应用分析：根据函数奇偶性 单调性的性质分别进行判断即可解答：解：af（x）=f（x），则函数为减函数，f（x）=1，则函数f（x）为减函数，满足条件by=tanx在定义域上不是单调函数，cy=在定义域上不是单调函数，d定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，故选：a点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质9（5分）某公司招收男职员x名，女职员y名，须满足约束条件 则10x+10y的最大值是（）a80b85c90d100考点：简单线性规划 专题：数形结合；不等式的解法及应用分析：由约束条件作出可行域，联立方程组求得b点坐标，得到使目标函数z=10x+10y取得最大值的整解，则答案可求解答：解：由约束条件作出可行域如图，由题意可知，x，yn*，联立，解得：b（）可行域内使10x+10y的值最大的整解为（5，4），10x+10y的最大值为90故选：c点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，解答此题的关键在于找到符合条件的整解，是中档题10（5分）函数y=x2ax在（0，+）上是增函数，则实数a的最大值为（）a3b4c5d6考点：利用导数研究函数的单调性 专题：计算题；导数的综合应用分析：函数y=x2ax在（0，+）上是增函数可化为y=xa+0在（0，+）上恒成立，从而化为最值问题解答：解：函数y=x2ax在（0，+）上是增函数，y=xa+0在（0，+）上恒成立，即ax+在（0，+）上恒成立，即a（x+）min，x（0，+）；设h（x）=x+，则令h（x）=1=0，得x=3；当x3时，h（x）0，x3时，h（x）0；故（x+）min=h（3）=4；故a4；故实数a的最大值为4故选b点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于中档题二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11（5分）设an是正项数列，a1=2，an+12an2=2，则an=考点：数列递推式 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：由已知条件推导出an2是首项为4，公差为2的等差数列，由此能求出an解答：解：a1=2，an+12an2=2，an2是首项为4，公差为2的等差数列，an2=4+2（n1）=2n+2，an是正项数列，an=故答案为：点评：本题考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用12（5分）化简=1考点：三角函数的恒等变换及化简求值 专题：三角函数的求值分析：先把切转化成弦，进而利用诱导公式，两角和公式和二倍角公式对原式进行化简整理，求得答案解答：解：tan70cos10（tan201）=cot20cos10（1）=2cot20cos10（sin20cos20）=2cos10（sin20cos30cos20sin30）=2sin（10）=1故答案为：1点评：本题主要考查了三角函数恒等变换及化简求值在运用诱导公式的时候注意三角函数正负值的变换13（5分）侧棱长都为的四棱锥的底面是以2为边长的正方形，其俯视图如图所示，则该四棱锥正视图的面积为1考点：简单空间图形的三视图 专题：空间位置关系与距离分析：根据正四棱锥的俯视图，可得到正四棱锥的直观图，然后根据正视图的定义得到正四棱锥的正视图，然后求面积即可解答：解：由正四棱锥的俯视图，可得到正四棱锥的直观图如图：则该正四棱锥的正视图为三角形pef，（e，f分别为adbc的中点）正四棱锥的底面棱长为2，侧棱长都为pb=pc=，ef=ab=2，pf=，po=1，该正四棱锥的正视图的面积为21=1故答案为：1点评：本题主要考查三视图的应用，利用俯视图得到正四棱锥的直观图是解决本题的关键，比较基础14（5分）设函数f（x）=，若函数y=f（x）k存在两个零点，则实数k的取值范围是（0，1考点：函数零点的判定定理 专题：作图题分析：问题等价于函数y=f（x）与y=k的图象有两个公共点，作出函数的图象可得结论解答：解：函数y=f（x）k存在两个零点，函数y=f（x）与y=k的图象有两个公共点，在同一个坐标系中作出它们的图象，由图象可知：实数k的取值范围是（0，1，故答案为：（0，1点评：本题考查函数的零点，数形结合是解决问题的关键，属基础题15（5分）对于函数f（x），若存在常数a0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=f（2ax），则称f（x）为准奇函数给定下列函数：f（x）=f（x）=（x1）2f（x）=x3f（x）=cosx其中所有准奇函数的序号是考点：抽象函数及其应用 专题：函数的性质及应用分析：判断对于函数f（x）为准奇函数的主要标准是：若存在常数a0，函数f（x）的图象关于（a，0）对称，则称f（x）为准奇函数解答：解：对于函数f（x），若存在常数a0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=f（2ax）知，函数f（x）的图象关于（a，0）对称，对于f（x）=，函数f（x）的图象关于（1，0）对称，对于f（x）=（x1）2，函数无对称中心，对于f（x）=x3，函数f（x）关于（0，0）对称，对于f（x）=cosx，函数f（x）的图象关于（k+，0）对称，故答案为：点评：本题考查新定义的理解和应用，函数f（x）的图象关于（a，0）对称，则称f（x）为准奇函数是关键，属于基础题三、解答题：本大题共6小题，共75分.16（12分）设向量=（sinx，cosx，=（sinx，sinx），xr，函数f（x）=（+2）（1）求f（x）在上的最大值和最小值；（2）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后，再将得到的图象上的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，计算g（1）+g（2）+g（3）+g考点：平面向量数量积的运算；对数的运算性质；三角函数中的恒等变换应用 专题：三角函数的图像与性质；平面向量及应用分析：（1）利用向量的坐标表示出f（x）的解析式，利用两角和公式对函数解析式化简整理，最后利用正弦函数的有界性确定最值（2）由三角函数的图象变换求出g（x）的解析式，发现g（1）+g（2）+g（3）+g的周期再求值解答：解：因为=（sinx，cosx），=（sinx，sinx），xr，所以函数f（x）=（+2）=（sinx，cosx）（3sinx，cosx+2sinx）=3sin2x+cos2x+2cosxsinx=2+2sin（x），所以（1）f（x）在上的最大值为4和最小值1；（2）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后，再将得到的图象上的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，则g（x）=2+2sin，其周期为：4，所以g（1）+g（2）+g（3）+g=20152=4030点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象和性质，考查了学生对基础知识的掌握程度17（12分）已知abc中，a、b、c分别为内角a、b、c的对边已知：2（sin2asin2c）=（ab）sinb，abc的外接圆半径为，（1）求角c和边c；（2）求abc面积s的最大值并判断取得最大值时三角形的形状考点：余弦定理；正弦定理 专题：三角函数的求值；解三角形分析：（1）首先利用正弦定理解出c的大小，在求出c边长（2）利用第一步的结论，主要对关系式进行恒等变形，再求最值，同时求出三角形的形状解答：解：（1）利用正弦定理化简已知的等式得：2（a2c2）=b（ab），整理得：a2c2=abb2，即a2+b2c2=ab，c2=a2+b22abcosc，即a2+b2c2=2abcosc，2abcosc=ab，即cosc=所以：c=由c=2rsinc=2=（2）由（1）得：a+b=利用正弦定理得：a=所以：=2sinasinb=2sina（=当2a=时，此时a=，由于a=c=所以：b=所以：abc为等边三角形点评：本题考查的知识要点：三角恒等变换，正弦定理的应用，三角形面积的应用属于基础题型18（12分）如图，在梯形abcd中，abcd，ad=dc=cb=1，abc=60，四边形acfe为矩形，平面acfe平面abcd，cf=1（）求证：bc平面acfe；（）点m在线段ef上运动，设平面mab与平面fcb所成二面角的平面角为（90），试求cos的取值范围考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法 专题：计算题；证明题分析：（1）证明线面垂直可以利用面面垂直进行证明，即若两个平面垂直并且其中一个平面内的一条直线a与两个平面的交线操作时则直线a与另一个平面垂直，即可证明线面垂直（2）建立空间坐标系，根据坐标表示出两个平面的法向量，结合向量的有关运算求出二面角的余弦的表达式，再利用函数的有关知识求出余弦的范围解答：解：（i）证明：在梯形abcd中，abcd，ad=dc=cb=1，abc=60，ab=2ac2=ab2+bc22abbccos60=3ab2=ac2+bc2bcac平面acfe平面abcd，平面acfe平面abcd=ac，bc平面abcdbc平面acfe（ii）由（i）可建立分别以直线ca，cb，cf为x轴，y轴，z轴的如图所示空间直角坐标系，令，则，b（0，1，0），m（，0，1）设为平面mab的一个法向量，由得取x=1，则，是平面fcb的一个法向量当=0时，cos有最小值，当时，cos有最大值点评：解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，以便于找到线面之间的平行、垂直关系，并且对建立坐标系也有一定的帮助，利用向量法解决空间角空间距离是最好的方法19（12分）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：x+8（0x120）已知甲、乙两地相距100千米（）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？考点：利用导数研究函数的极值；函数模型的选择与应用 专题：计算题；应用题分析：（i）把用的时间求出，在乘以每小时的耗油量y即可（ii）求出耗油量为h（x）与速度为x的关系式，再利用导函数求出h（x）的极小值判断出就是最小值即可解答：解：（i）当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，要耗油（升）答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升（ii）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h（x）升，依题意得，令h（x）=0，得x=80当x（0，80）时，h（x）0，h（x）是减函数；当x（80，120）时，h（x）0，h（x）是增函数当x=80时，h（x）取到极小值h（80）=11.25因为h（x）在（0，120上只有一个极值，所以它是最小值答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升点评：本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力20（13分）在数列an中，a1+a2+an=n2（1）在数列an的通项公式；（2）求数列的前n项和sn；（3）求数列的前n项和tn考点：数列的求和 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：（1）构造数列，利用作差法即可在数列an的通项公式；（2）利用错位相减法即可求数列的前n项和sn；（3）利用裂项法进行求解即可解答：解：（1）a1+a2+an=n2，当n2时，a1+a2+an1=（n1）2，两式相减得an=n2（n1）2=2n1，当n=1时，a1=1，满足an=2n1，则数列an的通项公式为an=2n1；（2）=，则前n项和sn=+，则sn=+，两式相减得sn=+=+2=+=+1（）n1，则sn=3（）n2（3）=，则数列的前n项和tn=+=点评：本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，要求数列掌握错位相减法以及裂项求和法21（14分）