高考数学一轮复习 第九章 导数及其应用 9.2 利用导数研究函数的单调性和极大（小）值课件.ppt

高考数学 江苏省专用 9 2利用导数研究函数的单调性和极大 小 值 1 2017江苏 11 5分 已知函数f x x3 2x ex 其中e是自然对数的底数 若f a 1 f 2a2 0 则实数a的取值范围是 a组自主命题 江苏卷题组 五年高考 答案 解析本题考查用导数研究函数单调性 函数单调性的应用 易知函数f x 的定义域关于原点对称 f x x3 2x ex f x x 3 2 x e x x3 2x ex f x f x 为奇函数 又f x 3x2 2 ex 3x2 2 2 3x2 0 当且仅当x 0时 取 从而f x 在r上单调递增 所以f a 1 f 2a2 0 f a 1 f 2a2 2a2 a 1 解得 1 a 方法小结函数不等式的求解思路 1 转化为f x f g x 2 结合单调性转化为 x g x 或 x g x 2 2017江苏 20 16分 已知函数f x x3 ax2 bx 1 a 0 b r 有极值 且导函数f x 的极值点是f x 的零点 极值点是指函数取极值时对应的自变量的值 1 求b关于a的函数关系式 并写出定义域 2 证明 b2 3a 3 若f x f x 这两个函数的所有极值之和不小于 求a的取值范围 解析本小题主要考查利用导数研究初等函数的单调性 极值及零点问题 考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力 1 由f x x3 ax2 bx 1 得f x 3x2 2ax b 3 b 当x 时 f x 有极小值b 因为f x 的极值点是f x 的零点 所以f 1 0 又a 0 故b 因为f x 有极值 故f x 0有实根 从而b 27 a3 0 即a 3 当a 3时 f x 0 x 1 故f x 在r上是增函数 f x 没有极值 当a 3时 f x 0有两个相异的实根x1 x2 列表如下 故f x 的极值点是x1 x2 从而a 3 因此b 定义域为 3 2 证明 由 1 知 设g t 则g t 当t 时 g t 0 从而g t 在上单调递增 因为a 3 所以a 3 故g a g 3 即 因此b2 3a 3 由 1 知 f x 的极值点是x1 x2 且x1 x2 a 从而f x1 f x2 a bx1 1 a bx2 1 3 2ax1 b 3 2ax2 b a b x1 x2 2 2 0 记f x f x 所有极值之和为h a 因为f x 的极值为b a2 所以h a a2 a 3 因为h a a 0 于是h a 在 3 上单调递减 因为h 6 于是h a h 6 故a 6 因此a的取值范围为 3 6 易错警示 1 函数f x 的极值点x0满足f x0 0 函数f x 的零点x0满足f x0 0 而f x 的极值点x0应满足f x0 0 2 求函数的关系式必须确定函数的定义域 3 2015江苏 19 16分 0 298 已知函数f x x3 ax2 b a b r 1 试讨论f x 的单调性 2 若b c a 实数c是与a无关的常数 当函数f x 有三个不同的零点时 a的取值范围恰好是 3 求c的值 解析 1 f x 3x2 2ax 令f x 0 解得x1 0 x2 当a 0时 因为f x 3x2 0 x 0 所以函数f x 在 上单调递增 当a 0时 若x 0 则f x 0 若x 则f x 0 若x 则f x 0时 a3 a c 0或当a 0时 a3 a c 0 设g a a3 a c 因为函数f x 有三个零点时 a的取值范围恰好是 3 则在 3 上 g a 0均恒成立 从而g 3 c 1 0 且g c 1 0 因此c 1 此时 f x x3 ax2 1 a x 1 x2 a 1 x 1 a 因函数f x 有三个零点 故x2 a 1 x 1 a 0有两个异于 1的不等实根 所以 a 1 2 4 1 a a2 2a 3 0 且 1 2 a 1 1 a 0 解得a 3 综上 c 1 4 2014江苏 19 16分 0 31 已知函数f x ex e x 其中e是自然对数的底数 1 证明 f x 是r上的偶函数 2 若关于x的不等式mf x e x m 1在 0 上恒成立 求实数m的取值范围 3 已知正数a满足 存在x0 1 使得f x0 a 3x0 成立 试比较ea 1与ae 1的大小 并证明你的结论 解析 1 证明 因为对任意x r 都有f x e x e x e x ex f x 所以f x 是r上的偶函数 2 由条件知m ex e x 1 e x 1在 0 上恒成立 令t ex x 0 则t 1 所以m 对任意t 1成立 因为t 1 1 2 1 3 所以 当且仅当t 2 即x ln2时等号成立 因此实数m的取值范围是 3 令函数g x ex a x3 3x 则g x ex 3a x2 1 当x 1时 ex 0 x2 1 0 又a 0 故g x 0 所以g x 是 1 上的单调增函数 因此g x 在 1 上的最小值是g 1 e e 1 2a 由于存在x0 1 使 a 3x0 令函数h x x e 1 lnx 1 则h x 1 令h x 0 得x e 1 当x 0 e 1 时 h x 0 故h x 是 e 1 上的单调增函数 所以h x 在 0 上的最小值是h e 1 注意到h 1 h e 0 所以当x 1 e 1 0 e 1 时 h e 1 h x h e 0 即a 1 e 1 lna 故ea 1 ae 1 综上所述 当a 时 ea 1ae 1 考点一利用导数研究函数的单调性1 2017山东文改编 10 5分 若函数exf x e 2 71828 是自然对数的底数 在f x 的定义域上单调递增 则称函数f x 具有m性质 下列函数中具有m性质的是 f x 2 x f x x2 f x 3 x f x cosx b组统一命题 省 区 市 卷题组 答案 解析本题考查利用导数研究函数的单调性 当f x 2 x时 ex f x ex 2 x 令y 则y 1 ln2 ex 0 2x 0 ln20 当f x 2 x时 ex f x 在f x 的定义域上单调递增 故具有m性质 易知 不具有m性质 故填 方法小结利用导数研究函数f x 的单调性的一般步骤 1 求f x 的导数f x 2 令f x 0 或f x 0 得区间i 3 判断单调性 当x i时 f x 单调增 或减 2 2016课标全国 改编 12 5分 若函数f x x sin2x asinx在 单调递增 则a的取值范围是 答案 解析f x 1 cos2x acosx 1 2cos2x 1 acosx cos2x acosx f x 在r上单调递增 则f x 0在r上恒成立 令cosx t t 1 1 则 t2 at 0在 1 1 上恒成立 即4t2 3at 5 0在 1 1 上恒成立 令g t 4t2 3at 5 则解得 a 疑难突破由函数的单调性求参数范围 利用导数将问题转化为恒成立问题 再利用二次函数来解决 3 2017课标全国 文 21 12分 设函数f x 1 x2 ex 1 讨论f x 的单调性 2 当x 0时 f x ax 1 求a的取值范围 解析本题考查函数的单调性 恒成立问题 1 f x 1 2x x2 ex 令f x 0 得x 1 或x 1 当x 1 时 f x 0 当x 1 时 f x 0 因此h x 在 0 单调递减 而h 0 1 故h x 1 所以f x x 1 h x x 1 ax 1 当00 x 0 所以g x 在 0 单调递增 而g 0 0 故ex x 1 当0 1 x 1 x 2 1 x 1 x 2 ax 1 x 1 a x x2 取x0 则x0 0 1 1 x0 1 x0 2 ax0 1 0 故f x0 ax0 1 当a 0时 取x0 则x0 0 1 f x0 1 x0 1 x0 2 1 ax0 1 综上 a的取值范围是 1 解题思路 1 求f x 令f x 0 求出f x 的单调增区间 令f x ax0 1 从而说明命题不成立 当a 0时 举反例x0 说明不等式不成立 疑难突破 1 求单调区间的一般步骤 求定义域 求f x 令f x 0 求出f x 的增区间 令f x 0 求出f x 的减区间 写出结论 注意单调区间不能用 连接 2 恒成立问题的三种常见解法 分离参数 化为最值问题求解 如a x max或a x min 构造函数 分类讨论 如f x g x 即f x f x g x 求f x min 0 转变主元 选取适当的主元可使问题简化 4 2017山东文 20 13分 已知函数f x x3 ax2 a r 1 当a 2时 求曲线y f x 在点 3 f 3 处的切线方程 2 设函数g x f x x a cosx sinx 讨论g x 的单调性并判断有无极值 有极值时求出极值 解析本题考查导数的几何意义 用导数研究函数的单调性 用导数求函数的极值 最值 1 由题意f x x2 ax 所以当a 2时 f 3 0 f x x2 2x 所以f 3 3 因此 曲线y f x 在点 3 f 3 处的切线方程是y 3 x 3 即3x y 9 0 2 因为g x f x x a cosx sinx 所以g x f x cosx x a sinx cosx x x a x a sinx x a x sinx 令h x x sinx 则h x 1 cosx 0 所以h x 在r上单调递增 因为h 0 0 所以当x 0时 h x 0 当x 0时 h x 0 当a 0时 g x x a x sinx 当x a 时 x a0 g x 单调递增 当x a 0 时 x a 0 g x 0 g x 0 g x 单调递增 所以当x a时g x 取到极大值 极大值是g a a3 sina 当x 0时g x 取到极小值 极小值是g 0 a 当a 0时 g x x x sinx 当x 时 g x 0 g x 单调递增 所以g x 在 上单调递增 g x 无极大值也无极小值 当a 0时 g x x a x sinx 当x 0 时 x a0 g x 单调递增 当x 0 a 时 x a0 g x 0 g x 单调递增 所以当x 0时g x 取到极大值 极大值是g 0 a 当x a时g x 取到极小值 极小值是g a a3 sina 综上所述 当a0时 函数g x 在 0 和 a 上单调递增 在 0 a 上单调递减 函数既有极大值 又有极小值 极大值是g 0 a 极小值是g a a3 sina 5 2016课标全国 21 12分 已知函数f x x 2 ex a x 1 2 1 讨论f x 的单调性 2 若f x 有两个零点 求a的取值范围 解析 1 f x x 1 ex 2a x 1 x 1 ex 2a i 设a 0 则当x 1 时 f x 0 所以f x 在 1 单调递减 在 1 单调递增 2分 ii 设a 则ln 2a 0 当x ln 2a 1 时 f x 1 故当x 1 ln 2a 时 f x 0 当x 1 ln 2a 时 f x 0 则由 1 知 f x 在 1 单调递减 在 1 单调递增 又f 1 e f 2 a 取b满足b b 2 a b 1 2 a 0 所以f x 有两个零点 8分 ii 设a 0 则f x x 2 ex 所以f x 只有一个零点 9分 iii 设a 0 若a 则由 1 知 f x 在 1 单调递增 又当x 1时f x 0 故f x 不存在两个零点 10分 若a 则由 1 知 f x 在 1 ln 2a 单调递减 在 ln 2a 单调递增 又当x 1时f x 0 故f x 不存在两个零点 11分 综上 a的取值范围为 0 12分 疑难突破 1 分类讨论时临界点的选取是关键 易忽略a 的情形 2 在讨论a 0函数零点的个数时 注意利用不等式的放缩 6 2016课标全国 理 21 12分 1 讨论函数f x ex的单调性 并证明当x 0时 x 2 ex x 2 0 2 证明 当a 0 1 时 函数g x x 0 有最小值 设g x 的最小值为h a 求函数h a 的值域 解析 1 f x 的定义域为 2 2 2分 f x 0 且仅当x 0时 f x 0 所以f x 在 2 2 单调递增 因此当x 0 时 f x f 0 1 所以 x 2 ex x 2 x 2 ex x 2 0 4分 2 证明 g x f x a 5分 由 1 知 f x a单调递增 对任意a 0 1 f 0 a a 1xa时 f x a 0 g x 0 g x 单调递增 7分 因此g x 在x xa处取得最小值 最小值为g xa 8分 于是h a 由 0 得y 单调递增 所以 由xa 0 2 得 h a 10分 因为y 单调递增 对任意 存在唯一的xa 0 2 a f xa 0 1 使得h a 所以h a 的值域是 综上 当a 0 1 时 g x 有最小值h a h a 的值域是 12分 7 2016北京 20 13分 设函数f x x3 ax2 bx c 1 求曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程 2 设a b 4 若函数f x 有三个不同零点 求c的取值范围 3 求证 a2 3b 0是f x 有三个不同零点的必要而不充分条件 解析 1 由f x x3 ax2 bx c 得f x 3x2 2ax b 因为f 0 c f 0 b 所以曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程为y bx c 3分 2 当a b 4时 f x x3 4x2 4x c 所以f x 3x2 8x 4 令f x 0 得3x2 8x 4 0 解得x 2或x 4分 f x 与f x 在区间 上的情况如下 6分 所以 当c 0且c 0 x 此时函数f x 在区间 上单调递增 所以f x 不可能有三个不同零点 9分 当 4a2 12b 0时 f x 3x2 2ax b只有一个零点 记作x0 当x x0 时 f x 0 f x 在区间 x0 上单调递增 当x x0 时 f x 0 f x 在区间 x0 上单调递增 所以f x 不可能有三个不同零点 综上所述 若函数f x 有三个不同零点 则必有 4a2 12b 0 故a2 3b 0是f x 有三个不同零点的必要条件 11分 当a b 4 c 0时 a2 3b 0 f x x3 4x2 4x x x 2 2只有两个不同零点 所以a2 3b 0不是f x 有三个不同零点的充分条件 12分 因此a2 3b 0是f x 有三个不同零点的必要而不充分条件 13分 8 2016四川理 21 14分 设函数f x ax2 a lnx 其中a r 1 讨论f x 的单调性 2 确定a的所有可能取值 使得f x e1 x在区间 1 内恒成立 e 2 718 为自然对数的底数 解析 1 f x 2ax x 0 当a 0时 f x 0时 由f x 0 有x 此时 当x 时 f x 0 f x 单调递增 2 令g x s x ex 1 x 则s x ex 1 1 而当x 1时 s x 0 所以s x 在区间 1 内单调递增 又由s 1 0 有s x 0 从而当x 1时 g x 0 当a 0 x 1时 f x a x2 1 lnx 0 故当f x g x 在区间 1 内恒成立时 必有a 0 当01 由 1 有f0 所以此时f x g x 在区间 1 内不恒成立 当a 时 令h x f x g x x 1 当x 1时 h x 2ax e1 x x 0 因此 h x 在区间 1 内单调递增 又因为h 1 0 所以当x 1时 h x f x g x 0 即f x g x 恒成立 综上 a 9 2015天津 20 14分 已知函数f x nx xn x r 其中n n 且n 2 1 讨论f x 的单调性 2 设曲线y f x 与x轴正半轴的交点为p 曲线在点p处的切线方程为y g x 求证 对于任意的正实数x 都有f x g x 3 若关于x的方程f x a a为实数 有两个正实数根x1 x2 求证 x2 x1 2 解析 1 由f x nx xn 可得f x n nxn 1 n 1 xn 1 其中n n 且n 2 下面分两种情况讨论 当n为奇数时 令f x 0 解得x 1 或x 1 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 所以 f x 在 1 1 上单调递减 在 1 1 内单调递增 当n为偶数时 当f x 0 即x1时 函数f x 单调递减 所以 f x 在 1 上单调递增 在 1 上单调递减 2 证明 设点p的坐标为 x0 0 则x0 f x0 n n2 曲线y f x 在点p处的切线方程为y f x0 x x0 即g x f x0 x x0 令f x f x g x 即f x f x f x0 x x0 则f x f x f x0 由于f x nxn 1 n在 0 上单调递减 故f x 在 0 上单调递减 又因为f x0 0 所以当x 0 x0 时 f x 0 当x x0 时 f x 0 所以f x 在 0 x0 内单调递增 在 x0 上单调递减 所以对于任意的正实数x 都有f x f x0 0 即对于任意的正实数x 都有f x g x 3 证明 不妨设x1 x2 由 2 知g x n n2 x x0 设方程g x a的根为x 2 可得x 2 x0 当n 2时 g x 在 上单调递减 又由 2 知g x2 f x2 a g x 2 可得x2 x 2 类似地 设曲线y f x 在原点处的切线方程为y h x 可得h x nx 当x 0 时 f x h x xn 0 即对于任意的x 0 f x h x 设方程h x a的根为x 1 可得x 1 因为h x nx在 上单调递增 且h x 1 a f x1 h x1 因此x 1 x1 由此可得x2 x1 x 2 x 1 x0 因为n 2 所以2n 1 1 1 n 1 1 1 n 1 n 故2 x0 所以 x2 x1 2 评析本题主要考查导数的运算 导数的几何意义 利用导数研究函数的性质 证明不等式等基础知识和方法 考查分类讨论思想 函数思想和化归思想 考查综合分析问题和解决问题的能力 考点二利用导数研究函数的极值和最值1 2017课标全国 理改编 11 5分 若x 2是函数f x x2 ax 1 ex 1的极值点 则f x 的极小值为 答案 1 解析本题主要考查导数的应用 由题意可得f x ex 1 x2 a 2 x a 1 x 2是函数f x x2 ax 1 ex 1的极值点 f 2 0 a 1 f x x2 x 1 ex 1 f x ex 1 x2 x 2 ex 1 x 1 x 2 x 2 1 时 f x 0 f x 单调递增 x 2 1 时 f x 0 f x 单调递减 f x 极小值 f 1 1 思路分析由x 2是函数f x 的极值点可知f 2 0 从而求出a的值 将a的值代入导函数f x 求出f x 的单调区间 判断极小值点 从而求出函数的极小值 方法总结1 利用导数研究函数极值问题的两个方向 2 已知函数极值点和极值求参数值的两个要领 1 列式 根据极值点处导数为0和极值列方程组进行求解 2 验证 因为导数为零的点不一定是函数的极值点 所以求解后必须进行验证 2 2016四川改编 6 5分 已知a为函数f x x3 12x的极小值点 则a 答案2 解析由题意可得f x 3x2 12 3 x 2 x 2 令f x 0 得x 2或x 2 则f x f x 随x的变化情况如下表 函数f x 在x 2处取得极小值 则a 2 评析本题考查了函数的极值问题 正确理解函数的极值点的概念是解题的关键 3 2014课标 改编 12 5分 设函数f x sin 若存在f x 的极值点x0满足 f x0 2 m2 则m的取值范围是 答案 2 2 解析f x cos f x 的极值点为x0 f x0 0 cos 0 x0 k k z x0 mk k z 又 f x0 2 m2 3 m2 4 m 2或m 2 评析本题考查了函数的极值问题 三角函数求值 恒成立等问题 考查分析问题 解决问题的能力 4 2014辽宁改编 11 5分 当x 2 1 时 不等式ax3 x2 4x 3 0恒成立 则实数a的取值范围是 答案 6 2 解析由题意知 x 2 1 都有ax3 x2 4x 3 0 即ax3 x2 4x 3在x 2 1 上恒成立 当x 0时 a r 当0 x 1时 a 令t t 1 g t 3t3 4t2 t 因为g t 9t2 8t 1 0 t 1 所以g t 在 1 上单调递减 g t max g 1 6 t 1 所以a 6 当 2 x 0时 a 同理 g t 在 1 上递减 在上递增 因此g t min g 1 2 所以a 2 综上可知 6 a 2 5 2017课标全国 理 21 12分 已知函数f x ax2 ax xlnx 且f x 0 1 求a 2 证明 f x 存在唯一的极大值点x0 且e 2 f x0 2 2 解析本题考查了导数的综合应用 1 f x 的定义域为 0 设g x ax a lnx 则f x xg x f x 0等价于g x 0 因为g 1 0 g x 0 故g 1 0 而g x a g 1 a 1 得a 1 若a 1 则g x 1 当01时 g x 0 g x 单调递增 所以x 1是g x 的极小值点 故g x g 1 0 综上 a 1 2 由 1 知f x x2 x xlnx f x 2x 2 lnx 设h x 2x 2 lnx 则h x 2 当x 时 h x 0 当x 时 h x 0 所以h x 在单调递减 在单调递增 又h e 2 0 h0 当x x0 1 时 h x 0 因为f x h x 所以x x0是f x 的唯一极大值点 由f x0 0得lnx0 2 x0 1 故f x0 x0 1 x0 由x0 0 1 得f x0 f e 1 e 2 所以e 2 f x0 2 2 方法总结利用导数解决不等式问题的一般思路 1 恒成立问题常利用分离参数法转化为最值问题求解 若不能分离参数 可以对参数进行分类讨论 2 证明不等式问题可通过构造函数转化为函数的最值问题求解 6 2017北京文 20 13分 已知函数f x excosx x 1 求曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程 2 求函数f x 在区间上的最大值和最小值 解析本题考查导数的几何意义 考查利用导数研究函数的单调性 最值 1 因为f x excosx x 所以f x ex cosx sinx 1 f 0 0 又因为f 0 1 所以曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程为y 1 2 设h x ex cosx sinx 1 则h x ex cosx sinx sinx cosx 2exsinx 当x 时 h x 0 所以h x 在区间上单调递减 所以对任意x 有h x h 0 0 即f x 0 所以函数f x 在区间上单调递减 因此f x 在区间上的最大值为f 0 1 最小值为f 解题思路 1 先求导 再利用导数的几何意义求出切线的斜率 最后利用点斜式求出切线方程 2 设h x ex cosx sinx 1 对h x 求导 进而确定h x 的单调性 最后求出最值 7 2016山东 20 13分 设f x xlnx ax2 2a 1 x a r 1 令g x f x 求g x 的单调区间 2 已知f x 在x 1处取得极大值 求实数a的取值范围 解析 1 由f x lnx 2ax 2a 可得g x lnx 2ax 2a x 0 则g x 2a 当a 0时 x 0 时 g x 0 函数g x 单调递增 当a 0时 x 时 g x 0 函数g x 单调递增 x 时 函数g x 单调递减 所以当a 0时 g x 的单调增区间为 0 当a 0时 g x 的单调增区间为 单调减区间为 2 由 1 知 f 1 0 当a 0时 f x 单调递增 所以当x 0 1 时 f x 0 f x 单调递增 所以f x 在x 1处取得极小值 不合题意 当01 由 1 知f x 在内单调递增 可得当x 0 1 时 f x 0 所以f x 在 0 1 内单调递减 在内单调递增 所以f x 在x 1处取得极小值 不合题意 当a 时 1 f x 在 0 1 内单调递增 在 1 内单调递减 所以当x 0 时 f x 0 f x 单调递减 不合题意 当a 时 00 f x 单调递增 当x 1 时 f x 8 2016天津 20 14分 设函数f x x3 ax b x r 其中a b r 1 求f x 的单调区间 2 若f x 存在极值点x0 且f x1 f x0 其中x1 x0 求证 x1 2x0 0 3 设a 0 函数g x f x 求证 g x 在区间 1 1 上的最大值 解析 1 由f x x3 ax b 可得f x 3x2 a 下面分两种情况讨论 i 当a 0时 有f x 3x2 a 0恒成立 所以f x 的单调递增区间为 ii 当a 0时 令f x 0 解得x 或x 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 所以f x 的单调递减区间为 单调递增区间为 2 证明 因为f x 存在极值点 所以由 1 知a 0 且x0 0 由题意 得f x0 3 a 0 即 进而f x0 ax0 b x0 b 又f 2x0 8 2ax0 b x0 2ax0 b x0 b f x0 且 2x0 x0 由题意及 1 知 存在唯一实数x1满足f x1 f x0 且x1 x0 因此x1 2x0 所以x1 2x0 0 3 证明 设g x 在区间 1 1 上的最大值为m max x y 表示x y两数的最大值 下面分三种情况讨论 i 当a 3时 1 1 由 1 知 f x 在区间 1 1 上单调递减 所以f x 在区间 1 1 上的取值范围为 f 1 f 1 因此m max f 1 f 1 max 1 a b 1 a b max a 1 b a 1 b 所以m a 1 b 2 ii 当 af f 所以f x 在区间 1 1 上的取值范围为 f 1 f 1 因此m max f 1 f 1 max 1 a b 1 a b max 1 a b 1 a b 1 a b 综上所述 当a 0时 g x 在区间 1 1 上的最大值不小于 9 2016课标全国 理 21 12分 设函数f x cos2x 1 cosx 1 其中 0 记 f x 的最大值为a 1 求f x 2 求a 3 证明 f x 2a 解析 1 f x 2 sin2x 1 sinx 2分 2 当 1时 f x cos2x 1 cosx 1 2 1 3 2 f 0 因此a 3 2 4分 当0 5分 i 当00 知g 1 g 1 g 又 g 1 0 所以a 综上 a 9分 3 由 1 得 f x 2 sin2x 1 sinx 2 1 当01 所以 f x 1 2a 当 1时 f x 3 1 6 4 2a 所以 f x 2a 12分 评析本题主要考查导数的计算及导数的应用 考查了二次函数的性质 解题时注意分类讨论 本题综合性较强 属于难题 1 2015四川 21 14分 已知函数f x 2 x a lnx x2 2ax 2a2 a 其中a 0 1 设g x 是f x 的导函数 讨论g x 的单调性 2 证明 存在a 0 1 使得f x 0在区间 1 内恒成立 且f x 0在区间 1 内有唯一解 c组教师专用题组 解析 1 由已知得 函数f x 的定义域为 0 g x f x 2 x a 2lnx 2 所以g x 2 当00 e 2 0 故存在x0 1 e 使得 x0 0 令a0 u x x 1 lnx x 1 由u x 1 0知 函数u x 在区间 1 上单调递增 所以0 f x0 0 当x x0 时 f x 0 从而f x f x0 0 所以 当x 1 时 f x 0 综上所述 存在a 0 1 使得f x 0在区间 1 内恒成立 且f x 0在区间 1 内有唯一解 评析本题主要考查导数的运算 导数在研究函数中的应用 函数的零点等基础知识 考查推理论证能力 运算求解能力 创新意识 考查函数与方程 数形结合 分类与整合 化归与转化等数学思想 2 2014山东 20 13分 设函数f x k k为常数 e 2 71828 是自然对数的底数 1 当k 0时 求函数f x 的单调区间 2 若函数f x 在 0 2 内存在两个极值点 求k的取值范围 解析 1 函数y f x 的定义域为 0 f x k 由k 0可得ex kx 0 所以当x 0 2 时 f x 0 函数y f x 单调递增 所以f x 的单调递减区间为 0 2 单调递增区间为 2 2 由 1 知 当k 0时 函数f x 在 0 2 内单调递减 故f x 在 0 2 内不存在极值点 当k 0时 设函数g x ex kx x 0 因为g x ex k ex elnk 当00 y g x 单调递增 故f x 在 0 2 内不可能存在两个极值点 当k 1时 得x 0 lnk 时 g x 0 函数y g x 单调递增 所以函数y g x 的最小值为g lnk k 1 lnk 函数f x 在 0 2 内存在两个极值点 当且仅当解得e k 综上所述 函数f x 在 0 2 内存在两个极值点时 k的取值范围为 评析本题考查了导数在研究函数的单调性和极值问题中的应用 考查了分类讨论思想的运用以及学生的逻辑推理能力和运算求解能力 难度较大 在解决问题 2 时极易产生分类讨论不全面或运算求解错误 3 2015安徽 21 13分 设函数f x x2 ax b 1 讨论函数f sinx 在内的单调性并判断有无极值 有极值时求出极值 2 记f0 x x2 a0 x b0 求函数 f sinx f0 sinx 在上的最大值d 3 在 2 中 取a0 b0 0 求z b 满足条件d 1时的最大值 解析 1 f sinx sin2x asinx b sinx sinx a b 0 2 2sinx 2 a 2 b r时 函数f sinx 单调递增 无极值 a 2 b r时 函数f sinx 单调递减 无极值 对于 2 a 2 在内存在唯一的x0 使得2sinx0 a x x0时 函数f sinx 单调递减 x0 x 时 函数f sinx 单调递增 因此 2 a 2 b r时 函数f sinx 在x0处有极小值 f sinx0 f b 2 x 时 f sinx f0 sinx a0 a sinx b b0 a a0 b b0 当 a0 a b b0 0时 取x 等号成立 当 a0 a b b0 0时 取x 等号成立 由此可知 f sinx f0 sinx 在上的最大值为d a a0 b b0 3 d 1即为 a b 1 此时0 a2 1 1 b 1 从而z b 1 取a 0 b 1 则 a b 1 并且z b 1 由此可知 z b 满足条件d 1的最大值为1 4 2014北京 18 13分 已知函数f x xcosx sinx x 1 求证 f x 0 2 若a b对x 恒成立 求a的最大值与b的最小值 解析 1 证明 由f x xcosx sinx得f x cosx xsinx cosx xsinx 因为在区间上f x xsinx0时 a 等价于 sinx ax 0 0对任意x 恒成立 当c 1时 因为对任意x g x cosx c 0 所以g x 在区间上单调递减 从而g x g 0 0对任意x 恒成立 当0 c 1时 存在唯一的x0 使得g x0 cosx0 c 0 g x 与g x 在区间上的情况如下 因为g x 在区间 0 x0 上是增函数 所以g x0 g 0 0 进一步 g x 0对任意x 恒成立 当且仅当g 1 c 0 即00对任意x 恒成立 当且仅当c 1时 g x 0对任意x 恒成立 所以 若a b对任意x 恒成立 则a的最大值为 b的最小值为1 评析本题考查了导数 不等式 函数最值等相关知识 考查推理论证能力 转化与化归的意识 数形结合 运算求解能力 熟练地利用导数工具对函数进行分析是解题的关键 一 填空题 每题5分 共20分 1 2017江苏镇江期末 11 定义在上的函数f x 8sinx tanx的最大值为 三年模拟 a组2015 2017年高考模拟 基础题组 时间 45分钟分值 55分 答案3 解析 函数f x 8sinx tanx f x 8cosx 令f x 0 得cosx x x 当x 时 f x 0 函数f x 在区间上是单调增函数 当x 时 f x 0 函数f x 在区间上是单调减函数 当x 时 函数f x 取得最大值 为3 2 2017南京第三次模拟考试 11 若函数f x ex x2 2x a 在区间 a a 1 上单调递增 则实数a的最大值为 答案 解析由题意可得f x ex x2 2x a 2x 2 ex x2 a 2 0在 a a 1 上恒成立 令h x x2 a 2 则h x 0在 a a 1 上恒成立 1 a 实数a的最大值为 3 2016江苏姜堰期中 7 函数f x ex x的单调递增区间为 答案 0 解析由f x ex x得f x ex 1 由ex 1 0得x 0 从而f x ex x的单调递增区间为 0 4 2015江苏连云港二模 10 若f x 4x3 mx2 m 3 x n m n r 是r上的单调增函数 则m的值为 答案6 解析由题知 f x 12x2 2mx m 3 0在r上恒成立 2m 2 4 12 m 3 4 m 6 2 0 又 m 6 2 0 m 6 二 解答题 共35分 5 2016江苏扬州中学开学考试 20 设函数f x lnx g x m 0 1 当m 1时 函数y f x 与y g x 的图象在x 1处的切线互相垂直 求n的值 2 若函数y f x g x 在定义域内不单调 求m n的取值范围 3 是否存在实数a 使得f f eax f 0对任意正实数x恒成立 若存在 求出满足条件的实数a 若不存在 请说明理由 解析 1 当m 1时 g x y g x 的图象在x 1处的切线斜率为 因为f x y f x 的图象在x 1处的切线斜率为1 由题意得 1 1 n 5 2 易知函数y f x g x 的定义域为 0 y f x g x 由题意 得x 2 m 1 n 的最小值为负 m 1 n 4 m 0 1 n 0 m 1 n 4 m 1 n 4 m n 3 3 令 x f f eax f ax ln2a ax lnx lnx ln2a ax 1 ln2a lnx 其中x 0 a 0 要使得 ax 1 ln2a lnx 0对任意正数x恒成立 需 ax 1 2a x 0对任意正数x恒成立 即 x 2a 0对任意正数x恒成立 设函数 x x 2a 则 x 的图象为开口向上 与x正半轴至少有一个交点的抛物线 结合题意 抛物线与x轴只能有一个交点 所以 2a 所以a 所以存在实数a满足条件 此时a 6 2016江苏常州高级中学阶段调研 20 已知a为实常数 函数f x lnx ax 1 1 讨论函数f x 的单调性 2 若函数f x 有两个不同的零点x1 x2 x12 解析 1 f x 的定义域为 0 其导数f x a 当a 0时 f x 0 函数在 0 上是增函数 当a 0时 在区间上 f x 0 在区间上 f x 0时 f x 在上是增函数 在上是减函数 此时f为函数f x 的最大值 当f 0时 f x 最多有一个零点 所以f ln 0 解得00 所以f a 在 0 1 上单调递增 所以f a f 1 3 e2 0 即f0 则h x 0 h x 在 0 1 上是增函数 所以当0 f x1 f x2 0 lnx1 lnx2 a x1 x2 a x1 x2 2 7 2015江苏南通一模 19 已知函数f x ax3 3xlnx a r 1 当a 0时 求f x 的极值 2 若f x 在区间上有且只有一个极值点 求实数a的取值范围 解析 1 当a 0时 f x 3xlnx 所以f x 3 lnx 1 令f x 0 得x 当x 时 f x 0 所以f x 在上单调递减 在上单调递增 所以 当x 时 f x 有极小值f 2 设g x f x 3 ax2 1 lnx 其中x d 由题意知 g x 在d上有且只有一个零点 设为x0 且在x0两侧g x 异号 当a 0时 g x 在d上单调递增 所以g x g 0 所以g x 在d上无零点 不符合题意 当a 0时 在 0 上考察g x g x 令g x 0 得x g x 在上单调递增 在上单调递减 i 当g e g0 又因为g 0 所以此时g x 在d上有且只有一个零点x 0 且在x 0两侧g x 异号 综上所述 实数a的取值范围是 一 填空题 每题5分 共10分 1 2017江苏七校联考 14 若f x x 1 alnx g x a 0 且对任意x1 x2 3 4 x1 x2 f x1 f x2 恒成立 则实数a的取值范围为 b组2015 2017年高考模拟 综合题组 时间 60分钟分值 80分 答案 解析易知f x 在x 3 4 上均为增函数 不妨设x11 u x 0 u x 在x 3 4 上为减函数 u x 在x 3 4 上的最大值为u 3 3 e2 综上 实数a的取值范围为 2 2016江苏宿迁三校学情调研 14 已知函数f x x 1 e 1 lnx 其中e为自然对数的底数 则满足f ex 0的x的取值范围为 答案 0 1 解析显然f x 的定义域为 0 由f x x 1 e 1 lnx得f x 1 所以f x 在 0 e 1 上单调递减 在 e 1 上单调递增 由f 1 0 f e 0 得f x 0的解集为 x 1 x e 从而f ex 0等价于1 ex e 即0 x 1 二 解答题 共70分 3 2017南通 泰州第一次调研测试 已知函数f x ax2 x lnx a r 1 当a 时 求函数f x 的最小值 2 当 1 a 0时 证明 函数f x 有且只有一个零点 3 若函数f x 有两个零点 求实数a的取值范围 解析 1 当a 时 f x x2 x lnx f x x 1 x 0 令f x 0 得x 2 当x 0 2 时 f x 0 所以函数f x 在 0 2 上单调递减 在 2 上单调递增 所以当x 2时 f x 有极小值 也是最小值 f 2 ln2 2 证明 由f x ax2 x lnx 得f x 2ax 1 x 0 所以当a 0时 f x 0 所以当 1 a 0时 函数f x 在 0 上有零点 综上 当 1 a 0时 函数f x 有且只有一个零点 3 由 2 知 当a 0时 函数f x 在 0 上最多有一个零点 因为函数f x 有两个零点 所以a 0 由f x ax2 x lnx 得f x x 0 令g x 2ax2 x 1 因为g 0 10 所以函数g x 在 0 上只有一个零点 设为x0 当x 0 x0 时 g x 0 f x 0 所以函数f x 在 0 x0 上单调递减 在 x0 上单调递增 要使函数f x 在 0 上有两个零点 只需要函数f x 的极小值f x0 0 令h x 2lnx x 1 则h x 在 0 上是增函数 且h 1 0 所以x0 1 得0 1 又由2a x0 1 0 得2a 所以00 所以10 且f x0 0 因为lnx x 1 且f x0 0 所以函数f x 在上有一个零点 所以当0 a 1时 函数f x 在内有两个零点 综上 实数a的取值范围为 0 1 思路分析 1 根据函数导数的性质求出极值点 进而求出函数最小值 2 利用导数判断函数的单调性 进而判断函数在区间上的零点情况 3 由 2 得出函数有两个零点时a的取值范围 再根据方程只有一个实数解的情况 求出a的临界值 判断