导数综合题集锦2.doc

第 23 页 共 23 页 导数综合题21、已知二次函数，若不等式的解集为C.（1）求集合C；（2）若方程在C上有解，求实数的取值范围；（3）记在C上的值域为A，若的值域为B，且，求实数的取值范围2、设函数（）的图象关于原点对称，且时，取极小值 ，求的值； 当时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论。若，求证：。3、已知函数上为增函数. （1）求k的取值范围； （2）若函数的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围.4、已知函数是定义在R上的奇函数，且时，函数取极值1(1)求的值；(2)若，求证：；(3)求证：曲线上不存在两个不同的点，使过两点的切线都垂直于直线5. 已知函数，设。（）求F（x）的单调区间；（）若以图象上任意一点为切点的切线的斜率 恒成立，求实数的最小值。（）是否存在实数，使得函数的图象与的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出的取值范围，若不存在，说名理由。6. 定义， （1）令函数的图象为曲线C1，曲线C1与y轴交于点A（0，m），过坐标原点O作曲线C1的切线，切点为B（n,t）（n0），设曲线C1在点A、B之间的曲线段与线段OA、OB所围成图形的面积为S，求S的值。 （2）当 （3）令函数的图象为曲线C2，若存在实数b使得曲线C2在处有斜率为8的切线，求实数a的取值范围。7. （1）求证：当时，不等式对于恒成立 .（2）对于在（0,1）中的任一个常数，问是否存在使得成立？如果存在，求出符合条件的一个；否则说明理由。8. 把函数的图象按向量平移得到函数的图象。（1）若证明：。（2）若不等式对于及恒成立，求实数的取值范围。9. 已知函数，的最小值恰好是方程的三个根，其中（1）求证：；（2）设，是函数的两个极值点若，求函数的解析式； 求的取值范围10. 已知函数，在处取得极值为2。（）求函数的解析式；（）若函数在区间（m，2m1）上为增函数，求实数m的取值范围；（）若P（x0，y0）为图象上的任意一点，直线l与的图象相切于点P，求直线l的斜率的取值范围.11. 已知：在函数的图象上，以为切点的切线的倾斜角为 （）求，的值； （）是否存在最小的正整数，使得不等式对于恒成立？如果存在，请求出最小的正整数；如果不存在，请说明理由；（）求证：（，）12. 设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“方程有实数根；函数的导数满足.” （I）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由； （II）集合M中的元素具有下面的性质：若的定义域为D，则对于任意m，nD，都存在m，n，使得等式成立”，试用这一性质证明：方程只有一个实数根； （III）设是方程的实数根，求证：对于定义域中任意的.13. 若函数在处取得极值.（I）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；（II）是否存在实数m，使得对任意及总有 恒成立，若存在，求出的范围；若不存在，请说明理由14. 已知二次函数，直线，直线（其中，为常数）；.若直线1、2与函数的图象以及、轴与函数的图象所围成的封闭图形如图阴影所示.（）求、的值；（）求阴影面积关于的函数的解析式；（）若问是否存在实数，使得的图象与的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.15. 已知函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为，f(x)的导数为，函数。（1）若函数g(x)在x=1有极值，求g(x)的解析式；（2）若函数g(x)在-1,1是增函数，且在-1,1上都成立，求实数m的取值范围。16. 设关于x的方程有两个实根、，且。定义函数 （I）求的值； （II）判断上单调性，并加以证明； （III）若为正实数，试比较的大小； 证明17. 设直线. 若直线l与曲线S同时满足下列两个条件：直线l与曲线S相切且至少有两个切点； 对任意xR都有. 则称直线l为曲线S的“上夹线” （1）已知函数求证：为曲线的“上夹线” （2）观察下图： 根据上图，试推测曲线的“上夹线”的方程，并给出证明18. 若存在实常数和，使得函数和对其定义域上的任意实数分别满足：和，则称直线为和的“隔离直线”已知，（其中为自然对数的底数）()求的极值；() 函数和是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由 答案及解析21. 解（1） -1分当时， -2分当时， -3分所以集合 -4分（2） ，令则方程为 -5分当时， 在上有解，则 -7分当时， 在上有解，则 -9分所以，当或时，方程在C上有解，且有唯一解。-10分（3） -11分当时，函数在单调递增，所以函数的值域， ， ，解得，即 -13分当时，任取，10 若， ，函数在区间单调递减，：又，所以。-15分20 若，若则须，.于是当时，,；-16分当时，,因此函数在单调递增；在单调递减. 在达到最小值。 要使，则，因为，所以使得的无解。-18分综上所述：的取值范围是：2. 解：函数的图象关于原点对称对任意实数，有即恒成立 时，取极小值，且 当时，图象上不存在这样的两点使结论成立。假设图象上存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直，则由知两点处的切线斜率分别为且 （*）-1，1与（*）矛盾 令得，或时， ， 时在-1，1上是减函数，且10分 在-1，1上时，3. 解：（1）由题意1分因为上为增函数所以上恒成立，3分即所以5分当k=1时，恒大于0，故上单增，符合题意.所以k的取值范围为k1.6分（2）设令8分由（1）知k1，当k=1时，在R上递增，显然不合题意9分当k0），3分 5分 （2）令，6分又令 ，单调递减.7分单调递减，8分，9分 （3）设曲线处有斜率为8的切线，又由题设存在实数b使得 有解，11分由得代入得，12分有解，得，14分7. （1）证明：()在时，要使成立。只需证：即需证： 令，求导数，又，求，故为增函数，故，从而式得证（）在时，要使成立。只需证：，即需证： 令，求导数得而在时为增函数 ,故，从而在时为减函数，则，从而式得证由于讨论可知，原不等式在时，恒成立（6分）（2）解：将变形为 要找一个X00，使式成立，只需找到函数的最小值，满足即可，对求导数令得，则x= -lna，取X0= -lna在0 x -lna时，在x=-lna时，取得最小值下面只需证明：，在时成立即可又令，对关于求导数则，从而为增函数则，从而得证于是的最小值因此可找到一个常数，使得式成立 （14分）8. 解：（1）由题设得，令则在上是增函数。故即。（2）原不等式等价于。令则。令得列表如下（略）当时，。令则解得或。9. 解：（1）三个函数的最小值依次为， 由，得 ，故方程的两根是，故， ，即 （2）依题意是方程的根，故有，且，得由 ；得，由（）知，故， ， （或） 由（） ， ，又， ，（或） .10. 解：（）已知函数，分又函数在处取得极值2，分即 4分（）由，得，即所以的单调增区间为（1，1）6分因函数在（m，2m1）上单调递增，则有，分解得即时，函数在（m，2m1）上为增函数分（）直线l的斜率分 即 令，分则 即直线l的斜率k的取值范围是1分11. 解：（） ，依题意，得，即，. 2分 ， . 3分 （）令，得. 4分 当时，；当时，； 当时，. 又，. 因此，当时，. 要使得不等式对于恒成立，则. 所以，存在最小的正整数，使得不等式对于 恒成立. （）方法一：. 又 ， ，. . 综上可得，（，）. 14分 方法二：由（）知，函数在 -1，上是增函数；在,上是减函数；在，1上是增函数.又，. 所以，当x-1，1时，即. ，-1，1， ，. .11分又， ，且函数在上是增函数. . 13分综上可得，（，）.14分12. 解：（1）因为，2分 所以满足条件3分又因为当时，所以方程有实数根0.所以函数是集合M中的元素.4分 （2）假设方程存在两个实数根），则，5分 不妨设，根据题意存在数使得等式成立，7分因为，所以，与已知矛盾，所以方程只有一个实数根；9分（3）不妨设，因为所以为增函数，所以，又因为，所以函数为减函数，10分所以，11分所以，即12分所以13. 解：（I），由条件得：.，. （1分）得：.当时，不是极值点，. （2分）当时，得或；当时，得或. （4分）综上得：当时，的单调递增区间为及 单调递减区间为. （5分）当时，的单调递增区间为及 单调递减区间为. （6分）（II）时，由(I)知在上单调递减，在上单调递增. 当时，. 又，则. 当时，. （8分） 由条件有：. .即对恒成立. 令，则有： 解得：或. （14分）14. 解：（I）由图形可知二次函数的图象过点（0，0），（8，0），并且的最大值为16则，函数的解析式为（）由得0t2，直线与的图象的交点坐标为（ 由定积分的几何意义知：9分（）令因为，要使函数与函数有且仅有2个不同的交点，则函数的图象与轴的正半轴有且只有两个不同的交点=1或=3时，当（0，1）时，是增函数，当（1，3）时，是减函数，当（3，+）时，是增函数 又因为当0时，；当所以要使有且仅有两个不同的正根，必须且只须即， 或当或时，函数与的图象有且只有两个不同交点。15. 解：，由有，即切点坐标为(a,a),(-a,-a)，切线方程为y-a=3(x-a)，或y+a=3(x+a)，整理得3x-y-2a=0，或3x-y+2a=0。解得：， ，。 （1）在x=1处有极值，即，解得b=1，。 （2）函数g(x)在-1,1是增函数，在-1,1上恒大于0，。又在-1,1上恒成立，即， 在上恒成立，的取值范围是。16. I）解：的两个实根，3分 （II），4分当5分而，上为增函数。7分 （III）9分由（II），可知10分同理，可得12分又由（I），知所以14分17. 解 （1）由得， 1分当时，此时， 2分，所以是直线与曲线的一个切点； 3分当时，此时， 4分，所以是直线与曲线的一个切点； 5分所以直线l与曲线S相切且至少有两个切点； 对任意xR，所以 6分因此直线是曲线的“上夹线”. 7分 （2）推测：的“上夹线”的方程为 9分先检验直线与曲线相切，且至少有两个切点：设： ，令，得：（kZ） 10分当时,故：过曲线上的点（，）的切线方程为：y= （），化简得：.即直线与曲线相切且有无数个切点12分不妨设下面检验g（x）F（x）g（x）F（x）= 直线是曲线的“上夹线” 14分18. 【解】() ， 2分当时， 3分当时，此时函数递减； 当时，此时函数递增；当时，取极小值，其极小值为 6分()解法一：由（）可知函数和的图象在