2011届江苏高考模拟题集锦.doc

2011届江苏高考模拟题集锦(王小兰、罗松青收集整理，共40套）江苏省苏州市2011届迎二模六校联考数学试题21【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分请在答卷纸指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤ABDCEFO（第21A题）A选修41：（几何证明选讲）如图，AD是BAC的平分线，O过点A且与BC边相切于点D，与AB，AC分别交于E，F，求证：EFBCB选修42：(矩阵与变换) 已知a，bR，若矩阵M= 所对应的变换把直线l：2xy=3变换为自身，求a，b的值C选修44：(坐标系与参数方程) 将参数方程(t为参数)化为普通方程D选修45：(不等式选讲)已知a，b是正数，求证(a)(2b)【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答卷纸指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤22袋中装着标有数字1，2，3，4的卡片各1张，甲从袋中任取2张卡片(每张卡片被取出的可能性都相等)，并记下卡面数字和为X，然后把卡片放回，叫做一次操作（1）求在一次操作中随机变量X的概率分布和数学期望E(X)；（2）甲进行四次操作，求至少有两次X不大于E(X)的概率23在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC是直角三角形，ACBCAA12，D为侧棱AA1的中点ABCA1B1C1D（第23题）（1）求异面直线DC1，B1C所成角的余弦值；（2）求二面角B1DCC1的平面角的余弦值B选修42：矩阵与变换解：（方法一）在直线l上取两点(，0)，(0，3)因为 ， ，6分因为M对应的变换把直线变换为自身，所以点(，b)，(3a，9)仍在直线l上代入直线方程得解得 10分（方法二）设(x，y)为直线l上任意一点，则 ， 3分因为M对应的变换把直线变换为自身，所以点(xay，bx3y)仍在直线l上，代入直线方程得：2(xay)(bx3y)3， 7分化简得(2b)x(2a3)y3，又直线l：2xy3，所以解得 10分C选修44：坐标系与参数方程解：（方法一） 因为(t)2(t)24， 5分 所以()2()24 8分 化简得普通方程为1 10分 （方法二） 因为，所以t， 5分 相乘得1 8分化简得普通方程为1 10分22解：（1）由题设知，X可能的取值为：3，4，5，6，7随机变量X的概率分布为X34567P3分因此X的数学期望E(X)(3467)55 5分（2）记“一次操作所计分数X不大于E(X)”的事件记为C，则P(C)P(“X3”或“X4”或“X5”) 7分设四次操作中事件C发生次数为Y，则YB(4，) 则所求事件的概率为P(Y2)1C()3C()4. 10分23解：（1）如图所示，以C为原点，CA、CB、CC1为坐标轴，建立空间直角坐标系Cxyz则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，2），B1（0， 2，2），ABCA1B1C1DxzyD（2，0，1）所以(2，0，1)，(0，2，2) 2分所以cos即异面直线DC1与B1C所成角的余弦值为4分（2）因为(0，2，0)，(2，0，0)，(0，0，2)，所以0，0，所以为平面ACC1A1的一个法向量 6分因为(0，2，2)，(2，0，1)，设平面B1DC1的一个法向量为n，n（x，y，z）由得令x1，则y2，z2，n（1，2，2）8分所以cos所以二面角B1DCC1的余弦值为 10分江苏天一中学、海门中学、盐城中学2011届高三调研考试21已知与的极坐标方程分别为(1)写出和的圆心的极坐标；(2)求经过和交点的直线的极坐标方程答案：解：(1)和的圆心的极坐标分别为(2) 以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，在直角坐标系下与的方程分别为 6则经过和交点的直线的方程为其极坐标方程为（） 1022若（），求的值答案：解：由题意得：， 2，6 8 1023如图所示，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形，且垂直于底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，M为PC上一点，且PA平面BDM求证：M为PC中点；APBCDM第23题图求平面ABCD与平面PBC所成的锐二面角的大小证明 连接AC与BD交于G，则平面PAC平面BDM=MG，由PA平面BDM，可得PAMG，底面ABCD是菱形，G为AC中点，MG为PAC中位线，M为PC中点 4取AD中点O，连接PO，BO，PAD是正三角形，POAD，又平面PAD平面ABCD，PO平面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，ABD是正三角形，ADOB，OA，OP，OB两两垂直，以O为原点，分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，如右图所示，则，APzCDMBxyGO，DMBP，DMCB，DM平面PBC，平面ABCD与平面PBC所成的锐二面角的大小为1024 已知抛物线L的方程为，直线截抛物线L所得弦求p的值；抛物线L上是否存在异于点A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由答案：解：由解得， 4由得假设抛物线L上存在异于点A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线令圆的圆心为，则由得得 6抛物线L在点C处的切线斜率又该切线与垂直， 8，故存在点C且坐标为（-2,1） 10B选修42：矩阵与变换已知圆C：在矩阵对应的变换作用下变为椭圆，求a，b的值解：设为圆C上的任意一点，在矩阵A对应的变换下变为另一个点，则 ，即 4分又因为点在椭圆上，所以 由已知条件可知， ，所以 a2=9，b2=4因为 a0 ，b0，所以 a=3，b=2 10分(第21-C题图)xBAOC选修44：坐标系与参数方程在极坐标系中，求经过三点O(0，0)，A(2，)，B(，)的圆的极坐标方程解：设是所求圆上的任意一点，3分则， (第21-C题答图)xBAOP故所求的圆的极坐标方程为 10分注：亦正确22【必做题】本题满分10分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤已知函数，其中a0(1)若在x=1处取得极值，求a的值；(2)若的最小值为1，求a的取值范围w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解：(1) 因在处取得极值，故，解得a=1 (经检验)4分(2)，因 ，故ax+10，1+x0当a2时，在区间上，递增，的最小值为f(0)=1当0a2时，由，解得；由，解得f(x)的单调减区间为，单调增区间为于是，f(x)在处取得最小值，不合综上可知，若f(x)得最小值为1，则a的取值范围是 10分注：不检验不扣分23【必做题】本题满分10分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤ABDxyOEFCP(第23题图)过抛物线y2=4x上一点A(1，2)作抛物线的切线，分别交x轴于点B，交y轴于点D，点C(异于点A)在抛物线上，点E在线段AC上，满足=1；点F在线段BC上，满足=2，且1+2=1，线段CD与EF交于点P(1)设，求；(2)当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程解：(1)过点A的切线方程为y=x+1 1分切线交x轴于点B(-1，0)，交y轴交于点D(0，1)，则D是AB的中点 所以 (1) 3分由=(1+) (2)同理由 =1， 得=(1+1)， (3) =2， 得=(1+2) (4)将(2)、(3)、(4)式代入(1)得因为E、P、F三点共线，所以 + =1，再由1+2=1，解之得=6分(2)由(1)得CP=2PD，D是AB的中点，所以点P为ABC的重心所以，x=，y= 解得x0=3x，y0=3y-2，代入y02=4x0得，(3y-2)2=12x由于x01，故x3所求轨迹方程为(3y-2)2=12x (x3) 10分2010-2011学年南通市四星高中四校联考高 三 理 科 数 学（附加题）21【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤B（选修42矩阵与变换）已知二阶矩阵M有特征值及对应的一个特征向量，并且矩阵M对应的变换将点变换成。 （1）求矩阵M； （2）求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量e2的坐标之间的关系。C（选修44参数方程与极坐标）已知曲线，直线将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；设点在曲线上，求点到直线距离的最小值22、（本小题满分10分）在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一巨大汽油罐.已知只有5发子弹备用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功，每次射击命中率都是，每次命中与否互相独立.(1) 求油罐被引爆的概率.(2) 如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为，求的分布列及的数学期望23（本小题满分10分）已知函数f(x)=，其中n（1）求函数f(x)的极大值和极小值；（2）设函数f(x)取得极大值时x=，令=23，=，若pq对一切nN恒成立，求实数p和q的取值范围21 B.(1)设M=，则=8=，故=，故联立以上两方程组解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M=（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为，故其另一个特征值为。设矩阵M的另一个特征向量是e2，则M e2=，解得。C、解： -4分设， （其中， 当时， 点到直线的距离的最小值为。 -10分22（1）“油罐被引爆”的事件为事件A，其对立事件为，则P()=CP(A)=1-答：油罐被引爆的概率为（2）射击次数的可能取值为2，3，4，5， P(=2)=， P(=3)=C，P(=4)=C， P(=5)=C 故的分布列为：2345PE=2+3+4+5=23（1） =，1分=。2分令 ，从而x1x2x3. 当n为偶数时f(x)的增减如下表x（-，0）0（0，）（，1）1（0，+）+0+00+无极值极大值极小值所以当x=时，y极大=；当x=1时，y极小=0. 4分当n为奇数时f(x)的增减如下表x（-，0）0（0，）（，1）1（0，+）+0+00无极值极大值无极值所以当x=时，y极大=。7分（2）由（1）知f(x)在x=时取得最大值。所以=，=23=，=。，即；所以实数p和q的取值范围分别是，。10无锡市2010年秋学期高三期末考试试卷已知，点M在直线OC上运动，当取最小时，求点M的坐标设在个同类型的零件中有2个次品，现抽取次进行检验，每次抽一个，并且取出不再放回，若以变量X表示取出的次品个数（1） 求X的分布列；（2） 求X的数学期望及方差3.若二项式的展开式中的常数项为第五项(1)求n的值；(2)求展开式中系数最大的项4若能被正整数整除，请写出的最大值，并给予证明1设，2分 ， 3分， 4分 6分 ， 8分当时，最小此时 10分2（1）X的分布列为：6分（2）， 8分 10分3（1），分的指数为，分的展开式中的常数项为第五项，3分解得：分（2），其系数为分设第项的系数最大，则分化简得： 即，分即第四项系数最大，分4当时，2分下证能被整除 3分、当时已证；4分、假设当时命题成立，即能被整除5分则当时， 6分 ， 7分能被整除，而为偶数，也能被整除即当时命题也成立8分由、得的最大值为 10分数学附加题21.为了保证信息安全传输，设计一种密码系统，其加密、解密原理如下图：明文X 加密 密文Y 发送 密文Y 解密 明文X 现在加密方式为：把发送的数字信息，写为“”的形式，先左乘矩阵，再左乘矩阵，得到密文，现在已知接收方得到的密文是，试破解该密码. 22.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴已知点P的直角坐标为，点M的极坐标为若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心、4为半径.（1）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（2）试判定直线l和圆C的位置关系.23在2009年春运期间，一名大学生要从南京回到徐州老家有两种选择，即坐火车或汽车.已知该大学生先去买火车票的概率是先去买汽车票概率的3倍，汽车票随时都能买到.若先去买火车票，则买到火车票的概率为0.6，买不到火车票，再去买汽车票. （1）求这名大学生先去买火车票的概率； （2）若火车票的价格为120元，汽车票的价格为280元，设该大学生购买车票所花费钱数为，求的数学期望值.24已知抛物线，过其对称轴上一点作一直线交抛物线于两点，若，求的斜率.解：由题意，即发送的数据信息是2009. 10分C解：（1）直线的参数方程为（为参数）圆C的极坐标方程为. 5分（2）因为对应的直角坐标为，直线化为普通方程为，直线与圆相离. 10分22、解：（1）设先去买火车票的概率为P（A），先去买汽车票的概率为P（B），则由条件可知，解得.即先去买火车票的概率为0.75. 5分 （2）该大学生首先到火车站且买到火车票的概率为该大学生买汽车票的概率为设该大学生购买车票所花费钱数为，可得的分布表为：120280P0.450.55该大学生购买车票所花费钱数的期望值为 10分23、解：设直线方程为，则由，得，则，又，. 10分扬州市2011届四星级高中联考1已知圆的极坐标方程为：将极坐标方程化为普通方程；若点P(x，y)在该圆上，求xy的最大值和最小值2变换是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是；变换对应用的变换矩阵是（）求点在作用下的点的坐标；（）求函数的图象依次在，变换的作用下所得曲线的方程3在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题. 规定每位考生必须且只须在其中选做一题. 设4名考生选做这两题的可能性均为.（1）求其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率；（2）设这4名考生中选做第22题的学生个数为，求的概率分布及数学期望.4过抛物线的焦点F作直线与抛物线交于A、B两点.（1）求证：不是直角三角形；（2）当的斜率为时，抛物线上是否存在点C，使为直角三角形且B为直角（点B位于轴下方）？若存在，求出所有的点C；若不存在，说明理由1； 圆的参数方程为 所以，那么xy最大值为6，最小值为2 2解：（），所以点在作用下的点的坐标是。（），设是变换后图像上任一点，与之对应的变换前的点是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m则，也就是，即，所以，所求曲线的方程是。3解：（1）设事件表示“甲选做第21题”，事件表示“乙选做第21题”，则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“”，且事件、相互独立.=. （2）随机变量的可能取值为0,1,2,3,4，且.01234变量的分布表为：（或）4（1）当直线斜率不存在时，显然不是直角三角形当直线斜率存在时，焦点F为（1，0），过点F且与抛物线交于点A、B的直线可设为代入抛物线得，则有，进而，又所以为钝角，即不是直角三角形。（2）AB方程：代入抛物线，求得，假设抛物线上存在点使为直角三角形且B为直角，此时，所以，解得对应点B，对应点C，则存在使为直角三角形，故满足条件的点C只有一个，即。金陵中学2011届高三第二次模拟考试试卷21（本小题为必做题，满分12分）已知直线被抛物线截得的弦长为20，为坐标原点（1）求实数的值；（2）问点位于抛物线弧上何处时，面积最大？22（本小题为必做题，满分12分）甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6，0.5，0.4，能通过面试的概率分别是0.5，0.6，0.75（1）求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；（2）设经过两次考试后，能被该高校预录取的人数为，求随机变量的期望23（本小题为选做题，满分8分）如图，在中，是的中点，是的中点，的延长线交于.（1）求的值；（2）若的面积为，四边形的面积为，求的值24（本小题为选做题，满分8分）已知直线的参数方程：（为参数）和圆的极坐标方程：（1）将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）判断直线和圆的位置关系25（本小题为选做题，满分8分） 试求曲线在矩阵MN变换下的函数解析式，其中M =，N =26（本小题为选做题，满分8分）用数学归纳法证明不等式：21（必做题）（本小题满分12分）解：（1）将代入得，-2分 由可知， 另一方面，弦长AB，解得；-6分（2）当时，直线为，要使得内接ABC面积最大，则只须使得，-10分即，即位于（4，4）点处-12分22（必做题）（本小题满分12分）解：（1）分别记甲、乙、丙三个同学笔试合格为事件、；表示事件“恰有一人通过笔试” 则-6分 （2）解法一：因为甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格的概率均为，-9分所以，故-12分解法二：分别记甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格为事件，则所以，于是，23（选做题）（本小题满分8分）证明：（1）过D点作DGBC，并交AF于G点， -2分 E是BD的中点，BE=DE， 又EBF=EDG，BEF=DEG， BEFDEG，则BF=DG， BF：FC=DG：FC， 又D是AC的中点，则DG：FC=1：2， 则BF：FC=1：2；-4分 （2）若BEF以BF为底，BDC以BC为底， 则由（1）知BF：BC=1：3， 又由BE：BD=1：2可知：=1：2，其中、分别为BEF和BDC的高，则，则=1：5 -8分24（选做题）（本小题满分8分）解：（1）消去参数，得直线的普通方程为；-2分即，两边同乘以得，消去参数，得的直角坐标方程为：-4分（2）圆心到直线的距离，所以直线和相交-8分25（选做题）（本小题满分8分）解：MN = =，-4分 即在矩阵MN变换下，-6分则， 即曲线在矩阵MN变换下的函数解析式为-8分26（选做题）（本小题满分8分）证明：（1）当时，左边，时成立 -2分（2）假设当时成立，即那么当时，左边时也成立 -7分根据（1）（2）可得不等式对所有的都成立 -8分2011年江苏高考数学试题预测卷2（附加题）21选做题 在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.A.选修41：几何证明选讲如图，圆与圆外切于点，一条外公切线分别切两圆于两点，为圆的直径，为圆上任一点，.求证：为圆的切线，切点为.B.选修42矩阵与变换已知矩阵，点，点.（1）求线段在矩阵对应的变换作用下得到的线段的长度；（2）求矩阵的特征值与特征向量.C.选修44：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为，曲线的极坐标方程为（1）将曲线的参数方程化为普通方程；（2）曲线与曲线有无公共点？试说明理由D.选修45：不等式证明选讲已知实数满足,求的取值范围。22 必做题如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=CD，E是PC的中点。(1)证明PA平面BDE；(2)求二面角B-DE-C的平面角的余弦值；(3)在棱PB上是否存在点F,使PB平面DEF?证明你的结论。23必做题一袋中有m(mN*)个红球，3个黑球和2个白球，现从中任取2个球。(1)当m=4时，求取出的2个球颜色相同的概率；(2)当m=3时，设表示取出的2个球中黑球的个数，求的概率分布及数学期望; (3)如果取出的2个球颜色不相同的概率小于，求m的最小值。解(1)由，2分所以所以 4分(2) 得矩阵特征值为， 7分分别将代入方程组可解得矩阵属于特征值的特征向量为，当属于特征值的特征向量为 10分解：（1）由得 分（2）由得曲线的普通方程为分 得 分 解得,故曲线与曲线无公共点 分解：(1) 以D为坐标原点,分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PD=CD=2，则A(2,0,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1)，B(2,2,0)，=(2,0,-2)，=(0,1,1)，=(2,2,0)。设=(x,y,z)是平面BDE的一个法向量，则由，得 ；取=-1，=(1,-1,1)， =2-2=0，又PA平面BDE，PA平面BDE。(2) 由(1)知=(1,-1,1)是平面BDE的一个法向量,又=(2,0,0)是平面DEC的一个法向量。设二面角B-DE-C的平面角为,由图可知=， cos=cos=，故二面角B-DE-C余弦值为。(3)=(2,2,-2)，=(0,1,1)，=0+2-2=0，PBDE。假设棱PB上存在点F，使PB平面DEF，设=(01)，则 =(2, 2,-2)，=+=(2, 2,2-2)，由=0 得 42 +42-2(2-2)=0， =(0,1)，此时PF=PB，即在棱PB上存在点F，PF=PB，使得PB平面DEF。解：(1)设“取出的2个球颜色相同”为事件A，P(A)= =。(2)012P E=0+1+2=。(3)设“取出的2个球中颜色不相同”为事件B，则P(B)= ,x2-6x+20，x3+或x3-，x的最小值为6。南通市2011届高三第三次调研测试B选修42矩阵与变换已知矩阵，其中，若点在矩阵的变换下得到点，（1）求实数a的值； （2）求矩阵的特征值及其对应的特征向量.解：（1）由=，（2分） . （3分）（2）由（1）知，则矩阵的特征多项式为 （5分）令，得矩阵的特征值为与4. （6分）当时， 矩阵的属于特征值的一个特征向量为; （8分） 当时， 矩阵的属于特征值的一个特征向量为. （10分）C选修44参数方程与极坐标在平面直角坐标系xOy中，动圆（R）的圆心为 ，求的取值范围.【解】由题设得（为参数，R）. 5分于是，所以 . 10分22. 必做题, 本小题10分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤已知抛物线的焦点为，直线过点.（1）若点到直线的距离为，求直线的斜率；（4分）（2）设为抛物线上两点，且不与轴垂直，若线段的垂直平分线恰过点，求证：线段中点的横坐标为定值.（6分）解：（1）由已知，不合题意.设直线的方程为，由已知，抛物线的焦点坐标为， 1分因为点到直线的距离为，所以， 2分解得，所以直线的斜率为 . 4分（2）设线段中点的坐标为，因为不垂直于轴，则直线的斜率为，直线的斜率为， 直线的方程为， 5分联立方程 消去得， 7分所以， 8分因为为中点，所以，即， 9分所以.即线段中点的横坐标为定值. 10分23必做题, 本小题10分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤已知，（1）若，求的值；（3分）（2）若，求中含项的系数；（3分）（3）证明：（4分）解：（1）因为,所以,又,所以 （1） （2）（1）-（2）得：所以： 3分（2）因为，所以中含项的系数为 6分（）设 (1)则函数中含项的系数为 7分 (2)(1)-(2)得中含项的系数，即是等式左边含项的系数，等式右边含项的系数为 所以 10分南通市2011届高三第一次调研测试B附加题部分21【选做题】本题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题。每小题10分，共20分请在答题卡上准确填涂题目标记，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41：几何证明选讲（第21-A题）锐角三角形内接于O，ABC=60，BAC=40，作OEAB交劣弧于点E，连接EC，求OECB选修42：矩阵与变换 曲线在矩阵的作用下变换为曲线，求的方程C选修44：坐标系与参数方程P为曲线：（为参数）上一点，求它到直线：（为参数）距离的最小值D选修45：不等式选讲设，求证：22【必做题】本题满分10分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤用数学归纳法证明：23【必做题】本题满分10分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。某车站每天上午发出两班客车，第一班客车在800，820，840这三个时刻随机发出，且在800发出的概率为，820发出的概率为，840发出的概率为；第二班客车在900，920，940这三个时刻随机发出，且在900发出的概率为，920发出的概率为，940发出的概率为两班客车发出时刻是相互独立的，一位旅客预计810到站求： （1）请预测旅客乘到第一班客车的概率； （2）旅客候车时间的分布列； （3）旅客候车时间的数学期望B选修42：矩阵与变换解：设为曲线上任意一点，为曲线 上与P对应的点，则，即 5分是曲线上的点， 的方程10分C选修44：坐标系与参数方程解：将曲线化成普通方程是，圆心是（1，0），直线化成普通方程是，则圆心到直线的距离为2 5分 曲线上点到直线的距离为1，该点为（1，1）10分22【必做题】本题满分10分证明：（1）当时，左边，右边左边，等式成立2分（2）设当时，等式成立，即 4分则当时，左边 时，等式成立8分由（1）、（2）可知，原等式对于任意成立10分23【必做题】本题满分10分 解：（1）第一班若在820或840发出，则旅客能乘到，其概率为P=+=3分（2）旅客候车时间的分布列为：候车时间（分）1030507090概率 6分（3）候车时间的数学期望为1030507090=5=30 9分 答：这旅客候车时间的数学期望是30分钟10分21选做题 B（选修42：矩阵与变换）求矩阵的特征值及对应的特征向量.C（选修44：坐标系与参数方程）已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）（）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（）设直线与轴的交点是,是曲线上一动点,求的最大值.必做题 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.22（本小题满分10分）设,.（）当=2011时,记，求；（）若展开式中的系数是20，则当、变化时，试求系数的最小值23（本小题满分10分） 有一种闯三关游戏规则规定如下：用抛掷正四面体型骰子（各面上分别有1，2，3，4点数的质地均匀的正四面体）决定是否过关，在闯第关时，需要抛掷次骰子，当次骰子面朝下的点数之和大于时,则算闯此关成功,并且继续闯关，否则停止闯关. 每次抛掷骰子相互独立. （）求仅闯过第一关的概率； （）记成功闯过的关数为，求的分布列和期望21A.证明：连结OF,因为DF切O于F，所以OFD=90,所以OFC+CFD=90因为OC=OF，所以OCF=OFC,又因为COAB于O，所以OCF+CEO=905分 所以CFD=CEO=DEF，所以DF=DE,因为DF是O的切线,所以DF2=DBDA所以DE2=DBDA10分B. 解：特征多项式3分由，解得6分 将代入特征方程组，得,可取为属于特征值1=1的一个特征向量8分同理,当时,由,所以可取为属于特征值的一个特征向量 综上所述,矩阵有两个特征值；属于的一个特征向量为，属于的一个特征向量为 10分C. 解：（）曲线的极坐标方程可化为 2分又,所以曲线的直角坐标方程为4分 （）将直线l的参数方程化为直角坐标方程,得6分 令,得,即点的坐标为(2,0). 又曲线为圆，圆的圆心坐标为(1,0)，半径，则8分 所以10分D. 因为，所以，所以要证，即证， 即证，即证，而显然成立，故10分22.解：（）令，得=4分（）因为，所以,则的系数为= 7分所以当时，展开式中的系数最小，最小值为8510分23.解：（）记“仅闯过第一关的概率”这一事件为A,则 4分 （）由题意得, 的取值有0,1,2,3,且, , ,即随机变量的概率分布列为: 01238分所以,1021【选做题】本题包括A，B，C，D四小题，请选定其中两题作答，每小题10分，共计20分，（第21A题）解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤A选修41：几何证明选讲自圆O外一点P引圆的一条切线PA，切点为A，M为PA的中点，过点M引圆O的割线交该圆于B、C两点，且BMP=100，BPC=40，求MPB的大小【解】因为MA为圆O的切线，所以又M为PA的中点，所以因为，所以 5分于是在MCP中，由，得MPB=20 10分B选修42：矩阵与变换已知二阶矩阵A，矩阵A属于特征值的一个特征向量为，属于特征值的一个特征向量为求矩阵A【解】由特征值、特征向量定义可知，A，即，得 5分同理可得 解得因此矩阵A 10分C选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值【解】化简为，则直线l的直角坐标方程为 4分设点P的坐标为，得P到直线l的距离，即，其中 8分当时， 10分D选修45：不等式选讲若正数a，b，c满足a+b+c=1，求的最小值【解】因为正数a，b，c满足a+b+c=1，所以，5分即，当且仅当，即时，原式取最小值1 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤22在正方体中，O是AC的中点，E是