（基础数学专业论文）若干非线性问题解的稳定性.pdf

摘要 本文主要研究集值映射不动点的本质性与对策n a s h 平衡的稳定性。 本文主要分为二个部分 在第一章里，首先是在上半连续、闭凸值映象的拓扑度的基础上引入b a n a c h 空间的紧凸集上的上半连续、闭凸值集值映射在开集内的不动点指数，紧接着， 在此基础上给出此种集值映射在闭集上的不动点指数的定义然后，从集值映射 在闭集上的不动点指数出发研究了集值映射不动点的本质性，并给出了不动点集 的本质集和本质连通区的若干充分条件。最后，将此方法运用到n 一人非合作一 般对策上，得到了h 一人非合作一般对策的n a s h 平衡点集的拟本质集和拟本质连 通区的若干结果。 在第二章里，首先是在混合艿一扰动的框架下，给出映射不动点的强本质集 的有关概念，并证明当映射产生混合艿一扰动的情况下强稳定集的存在性和强稳 定集的连通性。最后，我们讨论了在对策的策略集发生扰动的情况下，n 一人非 合作一般对策和广义对策的n a s h 平衡点集的策略本质集、策略稳定集和策略本 质连通区的存在性并研究了n 一人有限对策的n a s h 平衡点集的稳定性。 关键词：集值映射，拓扑度，不动点指数，n 一人非合作对策，n a s h 平衡， 广义对策强稳定集，策略稳定集，策略本质连通区 中文图书分类号：0 1 7 7 9 10 2 2 5 t h es t a b i l i t yo fs o l u t i o n st os o m en o n l i n e a rp r o b l e m s a b s t r a c t t h i st h e s i sc l l i e f i ys t u d i e st h ee s s e r l c eo ft h ef i x e dp o i n ti n d e xo fs e t v a l u e d m a p p i n g sa n dt h es t a b i l i t yo f n a s he q u i l i b r i af o rg a m e s i ti sm a i n l yd i v i d e di n t ot w os e c t i o n s i ns e c t i o no n ef i r s t l y , t h en o t i o no f t h ef i x e dd o i l l ti n d e xo f u p p e rs e m i c o n t i n u o u - ss e t v a l u e dm a p p i n g sw i t hn o n - c r o p t ya n dc l o s e dc o n v e xv a l u e so nc o m p a c tc o n v e x s e ti nb a n a e hs d a c ei sg i v e no nt h eb a s i so ft h et o p o l o g i c a ld e g r e eo fu p p e r s e m i c o n t i n u o u sm a p p i n g sw i t hn o n - e m p t ya n dc l o s e dc o n v e xv a l u e s t h e n 也e c o n e to f t h ef i x e dp o i n ti n d e xo f s e t v a l u e dm a p p i n g so nc l o s e ds e ti se s t a b l i s h e do n t h eb a s i so fs u c hn o f i o i ls e c o n d l y , u s i n gt h i sd e f i n i t i o n ，w es t u d yt h en a t u r eo f e s s e n t i a lf i x e dp o i n t so fs e t v a l u e dm a p p i n g sa n dg i v es o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n s a b o u te s s e n t i a ls e t sa n de s s e n t i a lc o m p o n e n t so f t h es e to f f i x e d i i l t s f i n a l l y , u s i n g t h i sm e t h o di ni n f i n i t en - p e r s o nn o n - c o o p e r a t i v eg a m e s ，w eo b t a i ns o m er e s u l t sa b o u t q u a s i - e s s e n t i a ls e t sa n dq u a s i e s s e n t i a lc o m p o n e n t so ft h es e to fn a s he q u i l i b r i u m p o i n t sf o ri n f i n i t en - p e r s o nn o n - e o o p e m t i v eg a m e s i ns e c t i o nt w o 。f i r s t l yw e 面v es o m er c l a t e dc o n c e p t so fs t r o n g l ye s s e n t i a ls e to f f i x e dp o i n t s ，a n dp r o v et h ee x i s t e n c eo fs t r o n g l ys t a b l es e ta n dt h ec o n n e c t i o no f s t r o n g l ys t a b l es e ti nt h em i x e d6 p e r t u r b a t i o no fm a p p i n 蹈f i n a l l y , w ed i s c u s st h e e x i s t e n c eo fs t r a t e g i c a l l ye s s e n t i a ls e t ，s t r a t e g i c a l l ys t a b l es e ta n ds t r a t e g i c a l l y e s s e n t i a lc o m p o n e n to fn a s he q u i h b r i af o ri n f i n i t en - p e r s o nn o n - c o o p e r a t i v eg a m e s a n dg e n e r a l i z e dg a m e si nt h ep e r t u r b a t i o no fs t r a t e g ys e tf o rg a m e sa sw e l la st h e s t a b i l i t yo f n a s he q u i l i b r i u mp o i n t sf o rf i n i t en - p e r s o ng a m e s k e yw o r d s ：s e t - v a l u e dm a p p i n g ；t o p o l o g i c a ld e g r e e ；缸e dp o i n ti n d e x ；n - p e r s o n n o n - c o o p e r a t i v eg a m e ；n a s he q u i l i b r i a ；g e n e r a l i z e dg a m e ；s t r o n g l ys t a b l es e t ； s t r a t e g i c a l l ys t a b l es e t ；s t r a t e g i c a l l ye s s e n t i a lc o m p o n e n t 2 第一章集值映射的不动点指数与本质不动点 第一节前言 不动点的稳定性研究具有十分重要的意义，围绕不动点的稳定性研究，1 9 5 0 年f o r t 最先在 3 2 中提出了本质不动点的概念。之后，这一概念及方法被成功 地应用于集值映射的不动点、对策的平衡点、抽象经济平衡点、最优化问题的解 以及不等式解的稳定性的研究中( 参见 1 1 ， 2 1 ， 2 3 ， 2 4 ) 。 但我们知道，在不少问题中，即使问题有解，也不一定有本质解，如：在不 动点问题中，区间 o ，1 】上的恒等映射以【0 1 】中的每一点为不动点，但没有一点是 本质的。因此，1 9 5 3 年k i n o s h i t a 在 3 5 中对连续映射的不动点集提出了本质连 通区的概念，并证明了i t i l b e r t 方体和赋范空间中的紧凸集上的每一连续映射的 不动点集至少存在一个本质连通区。之后，1 9 6 2 年j i a n g 在 1 7 中将这一概念推 广到集值映射的情形，并将这一结果运用到n 一人非合作对策，给出了n 一人非合 作有限对策的n a s h 平衡点集的本质连通区的概念，这与本质平衡点的概念一道 成为博弈论研究领域的一个具有重要意义的结果( 参见w u j i a n g 1 8 ) 。 那么。如何从一个解中选出所需的本质集或本质连通区，或者说，如何判定 一个解集或一个连通分支是否本质或拟本质呢? 在b a n a c h 空间，继建立了全连续映射、严格集压缩映射、p r o p e r 映射及极 大单调集值映象等映象的拓扑度之后，对于任一开集上的值域紧的上半连续、闭 凸值映象，也相继定义了拓扑度的概念( 参见 5 ， 2 7 3 6 ) 。在本章中，我们 首先将借助于已给出的上半连续、闭凸值映象的拓扑度的概念来引入b a n a c h 空 间的紧凸集上的上半连续、闭凸值集值映射在开集内的不动点指数，紧接着，在 此基础上给出此种集值映射在闭集上的不动点指数的定义。然后，从集值映射在 闭集上的不动点指数出发研究了集值映射不动点的本质性，并给出了不动点集的 本质集和本质连通区的若干充分条件。最后，将此方法运用到n 一人非合作一般 对策上，得到了n 一人非合作一般对策的n a s h 平衡点集的拟本质集和拟本质连通 区的若干结果。 第二节预备知识 我们首先介绍在有限维和实b a n a c h 空间上的拓扑度理论知识。 定义1 2 1 设n 是胄“中某有界开集，：五专对连续，是c 2 映象( 即 ，_ ( 厂，n ) ，g ，工：，) 在五上具有连续各二阶偏导数，i = l ，以) ， p 五。f ( 0 f 2 ) 。于是f = i n 。i i f ( 工) - p l i o 。作连续函数o ：【o 伸) 呻r 1 ，使它 满足下面两个条件： ( i ) 存在口，r ，满足0 _ g ( 工) o 。令 r = gi g ：孬辛r 是c 。映象，且m a 】【肌_ j l ，一g g 1 坂工卜pl h t f ( x 卜g ( z ) l l o ， 因此有pe r 。g ( a q ) ，v g t 。于是根据定义1 2 1 ，d e g ( g ，n ，p ) 有定义规定 b r o u w e r 度( 即拓扑度) d e g ( f , q ，p ) 为 d e g ( f , 0 ，p 户d e g ( g ，q ，p ) ，vg t 。 最后将定义l - 2 2 中有限维空间上连续映象的拓扑度推广到一般的实 b a n a c h 空间上去，从而得至l j l e r a y s c h a u d e r 度的概念。 设巨、e 2 是两个实b a n a c h 空间，d c e 。设算子4 ：d j e 2 。 定义1 2 3 若4 将d 中任何有界集s 映成最中的列紧集a ( s ) ( a p a ( s ) 是 相对紧集亦即它的闭包确是e 中的闭集) ，则称一是映d 入e ：的紧算子。 4 注1 显然，a 在d 上紧的充分条件是：对于j d 中任何有界序列 ，必有子 序列 x 、) 存在，使序列 a x 。 在e ：中收敛。 另外，显然紧算子必有界。 定义1 2 4 若算子a ：d 寸马是连续的，而且又是紧的，则称一是映d 入e 2 的全连续算子。我们把形如，( z 户，g ) 一f ( x ) 的映象( 即，- ，一f ) ，其中f ：孬呻e 全连续( e 是实b a n a c h 空间，o 是e 中有界开集) ，是恒等映象( ，( 工) = 石， v x e ) ，称，为全连续场。 引理1 2 2 设q 是r 1 中菜有界开集，产，一f ：孬_ e 全连续场，则 ( i ) ，是固有映象，即任何紧集d e e 的原象厂1 ( d ) 都是紧集； ( i i ) 是闭映象，即任何闭集s c 孬的象，( s ) 都是闭集。 引理1 2 3 设a ：西_ e 2 ，g m 是置中有界集，则下列三个结论是等价的： ( i ) a ：孬呻乜是全连续的； ( i i ) ve o ，j a 。：孬呻e 。连续有界，使得对一切的x d 均有一( 工卜a ( 算) 0 o 。根据引理 1 2 。3 知，存在f 的有限维子空间f ( ”，e e ( 。) 及有界线性算子c ：孬岭e ( ”， 使 忙b ) 一只g l l ( x ) 一p i i - i i f ( 工卜e ( x ) l l 0 。 由此可知，e 的拓扑度d e g ( f 。，q 。，p ) 有意义。定义全连续场，l e r a y s c h a u d e r 度d e g o r , q ，p ) 为d e g ( f ，q ，p ) ，即 d e g ( f ，q ，p ) = d e g ( ，q ，p ) a 在b a n a c h 空间中，继建立了全连续映射、严格集压缩映射、p r o p e r 映射及 极大单调集值映象等映象的拓扑度之后，对于任一开集上的值域紧的上半连续、 闭凸值映象，也相继定义了拓扑度的概念( 参见 5 2 7 ， 3 6 ) 。下面我们将借 助于上半连续、闭凸值映象的拓扑度的橛念来引入上半连续、闭凸值集值映射在 开集内的不动点指数的概念。 定理1 2 1 设z 是b a n a c h 空间的任一紧凸子集，对z 的每一有界开集( 相 对) u c x ，设一：扩_ 2 。上半连续，且对每一工盯，爿g ) 凸。并设a 在a 【，上 没有不动点但队仨o u ，t 卧叠4 g ) ) ，则存在整数f 0 ，u ，x ) 称为一在【，上关于x 的 不动点指数，满足下列条件： ( 1 ) 正规性：若a ：驴呻u 是常算子，则f 0 ，u ，x ) = 1 ； ( 2 ) 可加性：若【，。与u ：是u 的互不相交的子集，都是开的( 关于工) ，并 且爿在罗缸岫) 上没有不动点，刚 f ( 一，u ，x ) = f 0 ，u i ，z ) + f 0 ，u 2 ，z ) ， 这里f 0 ，以，肖) = f 。，u k ，x ) ( 七= 1 ，2 ) ； ( 3 ) 同伦不变性：设日： 0 ，1 u 一2 。上半连续且日o ，工) 是闭值的，使当 ( f ，石) e o ，1 x o u 时，恒有工仨o ，j ) ，则f ( 日o ，a 【，x ) 与r 无关； ( 4 ) 切除性：若v 是开集关于x ) ，y c u ，且一在上没有不动点，则 f 0 ，u ，x ) - - i ( a ，n x ) ； ( 5 ) 可解性：若f ( 一，u ，j ) 如，则a 在u 中至少有一个不动点。 证明；用，：e _ x 表示某一保核收缩，即，连续且当工z 时，r ( 工) - - x 取月充分大，使e 中开球矗= 工：x e ，i l 工i i 2 。，故k z ，从而= r ( x o ) 盯，x o a ( x o ) ，但假定a 在c 3 u 没有不动点t 故氏e u 。 由r 连续，知r - 1 p ) 是e 中开集，从而矗nr - i p ) 是e 中开集。易知a ，在 a ( 瓦nr - 1 移) ) 上没有不动点。事实上，设有工。ea ( nr “( u ) ) ，使 x o a ，k ) 。由前面所证结论，知工。e u 。由于u c 瓦n r “p ) ，故而是开集 瓦n r - ( u ) 的内点，此与a ( t 3 r - 1 移) ) 矛盾。另外，a ：万一2 。显然上 半连续且对每一x y - i 移) ，a ，闭凸值；综上所述，可知( 1 2 ) 式右端的拓 扑度有意义。 ( i i ) 下证( 1 2 ) 式右端的数不随r 的改变及保核收缩，的选取而改变。设 置 r ，由结论( i ) 知，a ，的不动点属于u ，而【，c 五n r 1 ( p ) c 矗nr - i ( 矽) ， 故a r 在五。n r - 1 p ) 疋n r “妙) 上没有不动点，由此，由拓扑度的切除性知 d e g ( ，一a ，矗n r ( u ) 0 ) = d e g ( 1 一a 嵋疋n r 1 妙l o ) 。 ( 1 3 ) 再证( 2 1 ) 式右端的数不随保核收缩，的选取而变，设 ：e 啼是另一保核收 缩，要证 d o g ( j a ，瓦n r , 。缈) o ) = d e g ( ，一a 噶五o r “p ) ，o ) 。 ( 1 4 ) 令矿= 巧n r l 妙) n p l 则矿是层中开集且y c 瓦n r “p ly c ln “缈) ， y 3 u 。于是a ，在五n ，“移) v 上没有不动点a ，i 在五n 一1 移) 矿上 没有不动点因此 d e g ( x a 五f l r 1 ( v l o ) = d e g ( i - a - r v ，o ) 。 ( 1 5 ) d e g ( 1 - a ，矗n r , 一g ，) o j = d e g ( 1 一a - 吒，矿 o ) 。 ( 1 6 ) 令日( t ，工) = fa ，( 工) + ( 1 一f ) a ( 工) ，显然h ： 0 ，1 x u 。肖上半连续且 h ( f ，x ) 是闭凸值的。易知当( f ，x ) e 0 ，1 x a 矿时，必有工薯h ( t ，x ) 。事实上。 若j ( f o ，x o ) e 0 ，1 x o v ，使j r o ( f o ，x o ) ，即e i oa r ( 而) + ( 卜f o ) a ，i ( x o ) 。 于是由z 之凸性x o z ，r ( x o ) = x o ，k = x o ，x o f 。爿( b ) + ( 卜f 。) 4 k ) 2 爿k ) 。从而u c y 。此与e o v 矛盾。另外，当工矿时， 日( o ，工) = a - 吒( x ) ，h ( 1 ，工) = 4 ，( 工) 。 由拓扑度的同伦不变性，知 d e g ( 1 一一，y ，o ) = d e g ( ，a r ，v ，o ) 。( 1 7 ) 7 由( 1 5 ) 、( 1 6 ) 及( i 7 ) 式，即得( 1 4 ) 式。 由此可知按( 1 2 ) 式定义的f “，u ，工) 是由，u ，a 唯一确定的，不随r 的改变及保核收缩，的选取而改变。 下证性质( 1 ) 一( 5 ) ： ( 1 ) 设a ：盯u 是常算子，即一f - 南uv x u ) 。这时当工瓦i q r 。p ) 时，有( ，一a r ) g ) = 工一x o 且u 亡五f l r - 1 p ) ，故由拓扑度的性质知 d e s ( 1 一a ，瓦f l r 。1 移l o ) = d e g ( z 一孙瓦n r 。移) ，o ) = d e g ( z ，五n r - ! ( u ) x o ) = 1 。 ( 2 ) 若凡五n r “( u ) ，使爿，k ) = 而。由前面已证明的结论( i ) 知，x o u ， r k ) = 而，x o = 爿k ) ；故由假定知e u 。uu ：。于是，x o “瓦n ，。( u ) u 不n r 。眠) 。由此可知彳，在不o r 。敝) 砸五p i t 1 缸) 】u 五( q r 。双) ) 上没有不动点，而五r l r 。1 ) 与瓦f l r _ 1 p ：) 互不相交，故有拓扑度的性质得 d e g ( ，一a r 瓦f l r 。1 ( u t o ) = d e g i a ，- 互n r 1 ( 以) o ) + d e g ( 1 一a r 瓦f i r 4 帆) o ) 。 即f 0 ，u ，x ) = f “，u l ，z ) + f 0 ，x ) 。 ( 3 ) 考察 日( f ，r b ) ) ：e o ，1 五f i r 。( 矽) x 。 它显然是上半连续且闭凸值的。若t o ( o ，1 。而e 瓦n r - 移) ，使 e h ( f 。，r g 。) ) ，则r g 。) e 盯，x o e x ，从而r ( x 。) = 算。，j 。毫- 0 。，x 。) 。由假定 x o 薯o u ，x o u ，从而工。e r , f i r 。p ) ，于是芒a 瓦f i r “p ) ；由此 可知，当( f ，j ) e o ，1 a 乃o r 一1 移) 时，必有工萑h ( r ，r ( 工) ) 。于是根据拓 扑度的同伦不变性知，d e g ( 1 一h ( t ，r g ) ) ，五n ，“p ) ，o ) 与f 无关，亦即 f 似( f ，- ) ) 与f 无关。 ( 4 ) 先在结论( 2 ) 中令u ，= ( ，u 2 = 庐，则得 f ( 一，u ，x ) = i ( a ，u ，x ) 十i ( 爿，庐，x ) 。 故i ( a ，妒，x ) = o ，再在结论( 2 ) 中令【，= y ，u 2 2 。由假定知，a 在5 呃u u 2 ) 上没有不动点，故 f ( 一，u ，x ) = f ( 一，矿，x ) + f ( 爿，x ) = f ( 一，矿，x ) 。 ( 5 ) 用反证法，若4 在u 中没有不动点，则a 在u = u 妒上没有不动点。 结论( 4 ) 中令y = 声，即得 f 0 ，u ，x ) = f 0 ，庐，z ) = o 定理证毕。 注2 在定理1 2 1 中，上半连续、闭凸值的集值映象的拓扑度的定义及其 有关性质均可参见 5 ， 2 7 ， 3 6 。 那么下面我们将利用集值映射在开集内的不动点指数来给出集值映射在闭 集上的不动点指数的定义。 定义1 2 6 设x 是b a n a c h 空闯中一紧凸子集，m c 为非空闭子集，a ： z 一2 。上半连续，且对每一j e x ，b ) 非空闭凸。如果对任一开集u ) y ，存 在z 的某一开集( 相对) 矿c x ，使得m c r c u ，且使得a 在a 矿上没有不 动点( 即工a 矿，但x 薯a ( x ) ) 。则定义4 在 f 上的不动点指数为： f 0 ，m ，x ) = i n f v ， s u p 。，“球0 ，l x $ u c 矿c u ，坛e a 矿，石仨一m ) 。 注3 根据定理1 - 2 1 知，舡，m ，x ) 是一个整数。又因为f 0 ，矿，z ) 是由z ， y ，a 唯一确定的，i 孜i ( a ，m ，x ) 是由x ，m ，a 唯一确定的。因此，上半连续、 闭凸值的集值映射在闭集上的不动点指数f ( 丘m ，) 是有意义。 为证明集值映射在闭集上的不动点指数的可解性，需要用到以下的引理； 引理1 2 4 设x 为紧t t a u j d o r f f 拓扑空间，则集值映射f ：z 啼2 。上半连 续、闭值当且仅当g m 砷u ) 闭。 定理i 2 2 若f ，m ，x ) o ，则a 在闭集上至少存在个不动点。 证明：对每- - h e n ，设置( 上，m ) = 扛z ：d g ，肘) = 臀忙一y 8 o ，使得对满足p r ( 厂培) o ，这里记i ix 一，( 工) i | _ i 1 1 f j i ，b ) 忙一_ y l i a 对集值映象，c o 似，2 。) 设t = i i l _ 忙一( x l i o 。若g ec o ( x ，2 。) 且满足 p ，( ，g ) 要，其中p x ( ，- g ) = s u p 。j h 。驴b ) g g ) ) ，这里h 。为由范数产生的 x ( 神上的h a u a d o r f f 度量。令 h ( t ，x ) = f ，( x ) + ( 1 一f ) g ( x ) v t e 0 ，1 ，工e x 。 不难验证日c o o ( ，2 。) 。另外，对每一y e h ( f ，工) ，相应地，有y ，e ，( 工) 及y 2 g ( 茗) ，使得y = tj ，l + ( 卜t ) y 2 ，于是对v z e ，( x ) ，有 l i 工一yi i = i ij 一( f ) ，i + ( 1 一f ) z ) + ( 1 一f ) z 一( 1 一f ) y 2 | | x 一( t y l + ( 1 f ) z ) 一( 1 一t ) z y 2l i 。 由y i ，z ，( 工) 及，( x ) 的凸性，知( 护l + ( 卜t ) z ) e ，( x ) ，从而0 x 一 ( 纱。+ ( 1 _ f ) z ) i i 0 工- ，( y ) l i ，由此可得 “工一y “2 “j - ( 工) | | 一( 1 一t ) uz y 2f | 。( 1 8 ) 再由y 2e g ( 工) 及p z ( ，g ) o 成立。故对所有的t 0 ，1 ， ( t ，x ) 在a v 上不存在不动点。 由定理i 2 1 中不动点指数的同伦不变性， i ( z ，y 7 ，z ) = f ( o ，l 矿，肖) 。f ( 1 ，) y ，x ) = f u ，y ，x ) o 。再由定理1 2 1 中不动点指数的可解性知， g 在矿7 中存在不动点，即f ( g ) nu 3 f ( g ) n 矿7 妒。综上所述，对任给的 ，c o 陋，2 。) 且朋是f 的某一非空闭子集，对任意的开集【，3 川驴) ，都 存在三 o ，使得对满足户_ ( 六g ) 砖的所有g g ，2 。) ，恒有f 国) nu 声。 二 故由定义1 3 1 知，朋c 厂) 必为，的某一关于c o 似，2 。) 的本质集。 推论1 3 1 设x 是b a n a c h 空间的任一紧凸子集，对每一，c o 忸，2 。) ，设 扛。l 是f u ) 的某一非空闭子集。如果f ( 厂，o 。l ，x ) o ，则协。 为，( 厂) 某一关于 g 伍，2 。) 本质集。即必为，驴) 的某一关于g ，2 。) 的本质点。 关于不动点集的本质连通区，有如下结果： 定理1 3 2 设j 是b a n a c h 空间的任紧凸子集，对每吖c o ，2 。) ，设 d ，) 是f c 厂) 的某一连通分支。如果i 驴，以) l x ) 0 ，则以) 必为f c f ) 的某一关于 c 0 忸，2 。j 的本质连通区。 证明： 对，的连通区c ，由定理1 3 i 知，c 驴) 是f 驴) 的某一关于 q 伍，2 x ) 的本质集。再由本质连通区的定义，易知c u ) 为f ( f ) 的某一关于 g 忸，2 。) 的本质连通区。 定理i 3 1 及定理1 3 2 ，给出了判定某一解或解集的连通分支是否本质的 一个充分条件，揭示了本质集和本质连通区的指数特征。 第四节n c m h 平衡点指数与本质性 在本节中，首先我们将利用集值映象在闭集上的不动点指数给出n 一人非合作 一般对策的n a s h 平衡点指数的概念。然后，从n a s h 平衡点指数出发研究n a s h 平 衡点的拟本质性，并给出了n a s h 平衡点集的拟本质集和拟本质连通区的若干充 分条件。 设= ( 1 ，2 ，蓐) 是撑个局中人组成的集合，非空集置是第，个局中人的策 1 2 略集，工：x = 兀x ，_ r 是第i 个局中人的支付函数，对每一f ，记 z = 佤，z + 五。，丘) 。对每一个x = g l 一，) ，记毫= ( ，丑+ x , - + ，x ) 。则r ( ；x ，x z ，以；z ， ， ) 为一n 一人非合作对策，简记为 r c f ) ，其中产， ，l ) 。若存在工= g ；，j ：) x 使得对所有的f 都有： 工0 ，) = m a x 。丑工( ) ，曼；) ， 则称j 为一片一人非合作对策r c 厂) 的 伽 平衡点。 对每一f en ，设置为赋范线性空间蜀的紧凸子集和四为所有满足下恧 条件( c ) 的支付函数所组成的集合。 条件( c ) ：o ) x 寸每- - ien ，正在x = 兀j ；上上半连续：( 2 ) 对每- - + i n j i 及每一固定的丑置，鼻呻z “，只) 是下半连续；( 3 ) 对每- - i 及对每一固定 的毫e 置，函数石，毫) 在x ，上拟凹的；( 4 ) s u p e 杰b 】( 。 在c 品0 ) 上定义度量为p jc ，g ) = 杰防一毋删，其中，气，。，五，五) ， g = 0 。，g ：，g ) ，易知c ；( j ) 关于度量p - 构成一完备度量空间。 对每一产u ， ，正) ec ；似) ，由 2 9 中定理知，对策r 至少有一个 的n a s h 平衡点j ，记对策r 的m u 平衡点的全体为e 。 下面先给出对策r ( ，) 的最优反应映射的定义： 对每一个毫e 置，f g _ k 局中a i 的最优反应映射为； b ? t i ；i x ie x e ：f t b t 。i 3 2 ，【b 。i 0 一y 【ex 1 i 毫n 、 进一步，定义b s ：x 一2 x 如下： 够( 曩，毫) = n 彤暖) 妇= & ，而，) x ， 则称町为对策r 驴) 的最优反应映射 由 2 9 ，易知有下面的结论： 引理1 4 1 设，c ；0 ) t 那么雪，在z 上是上半连续、非空闭凸值的。 另一方面，从最优反应映射占，的定义中立即得出下面的引理： 引理1 4 2 设f c ；) ，则工e c 厂) 的充要条件是z f 恤，) 。 集值映射不动点的极小本质集和本质连通区具有较好的性质，将n a s h 平衡 的选择与精炼转化为最优反应映射不动点的稳定性有实质性的意义，1 9 9 0 年 h i l l a s 在c 1 6 中提出拟稳定集的概念正是基于这一做法。采用这一方法有一个必 须逾越的障碍，那就是最优反应映射的扰动与策略集或支付函数扰动之间的不连 续性，因为这一原因，h i l l a s 提出的稳定集不得不回避了策略集或支付函数的扰 动( 颤抖) ，直接讨论最优反应映射的扰动，并证明了拟稳定集的存在性。下面我 们就在此基础上来研究n 一人非合作对策n a s h 平衡点集的一个解集或一个连通 分支是否拟本质的。 设( y ，d ) 为紧度量空问，对任意的占 0 及任意的子集a c y ，令 d g ，4 ) - - 时，。d g ，y ) ； 0 ，_ ) = 扛y ：d k a ) 0 ，存在万 0 ，使得对满足以吼，) o ，使褥对满足办 乃，& ) 0 ，m 0 ) 表示a c z 的邻域( 分别地， a 亡x x x ) ，即( y x ：i n 。1 l x - y l i 0 ，使得对所有的，仨c r 伍，占) ，有l b ) n ，。 定义2 2 3 设异e m ，矗) 是，c 跫) 的非空闭子集，称p 伍) 是，识) 的关于 c 尺伍，占) 的混合占一扰动的强本质集，如果对于每一个占 0 ，存在6 o ，使得对 所有的r c r 僻，占) ，有以) ) n ，口) 妒。称如) 是f 伍) 的强稳定集，如果 以包含关系为序，舡) 是，( 尼) 的强本质集簇的极小元设c 伍) 是f 伍) 的某一非 空连通区，则称水) 是f 伍) 的强本质连通区，如果c 伍) 是f 心) 的强本质集。 注( 1 ) 如果一个强本质集变成单点集，那么该点成为强本质点。 ( 2 ) e 。( r l e ： ) c ，积) 是x 的两个非空闭子集且巳忸) ce 2 q ) 。若q ) 是强本质的，那么e 2 ( 尺) 也是强本质的。 为讨论强稳定集的存在性和强稳定集的连通性，需要用到以下的定义及引 理： 定义2 2 4 设z 为h a u s d o r f f 拓扑空间，记 c 口) = x 为所有非空子集的全体， k ( x ) = x 为所有非空紧子集的全体。 并定义如下集合簇：g + = 臼 ( 了) ：a c g ) ，g 一= a e c z ) ：a n g 神。 定义2 2 5 设x 为h a u s d o r f f 拓扑空间，在c l ( z ) 上定义v i t o r i s 拓扑为由所 有的g + 和g 一的基所生成的拓扑，这里g 为中任意开集，记此拓扑为o 。 定义2 2 6 设扛。 。为x 中的一个网，称x 为b 。 。l d 的极限点，如果对z 的 每一邻域u ，存在d ，对所有的口口。，使得x 。ec ，成立；称工为扛。o 。的 聚点，如果对j 的每一邻域u ，及每一e d ，存在某一口d 。，使得x a u 成 立。 定义2 。2 7 设敞) 。为z 的子集历组成的一个网，称石为 以l o 的极限 点，如果对x 的每一邻域u ，存在d ，对所有的口口。，使得a 。n u 成 立；称x 为 以) 。的聚点，如果对x 的每一邻域u ，及每一仨d ，存在某一 口口。，使得以n u 声成立。记 以 。的所有极限点为l i l 埘以，讧。 。的 所有聚点为l i m s u p 以，若l i m i n f 以= l i m s u p a a = a ，则称以收敛到一，记为 l i r a 以= a 。 对于极限点与聚点，下面的引理来自k l e i n - t h o r n p s o n 9 。 引理2 2 1 设一。为x 的子集所组成的网，l i j l i m i r d 以，l i m s u p 以均为z 中 的闭子集。 以下的引理来自k u r a t o w s k i 7 。 引理2 2 2 设( ，r ) 为紧上陆郴如巧矿拓扑空间，a a 为c z ( x ) 中的一个网，则 l i m 友= a 当且仅当以山五。 以下的引理来自k l e i n - t h o r n 竹o n 9 。 引理2 2 3 设似，d ) 为一度量空间，则在x 伍) t - 的h a u s d o r f f 度量诱导的拓 扑与v i c t o r i a 拓扑一致。 引理2 2 4 设瞳，d ) 为一度量空间，( 1 ) 设以为x 伍) 中的一个网，且 以丝q 爿，则对以，网k 。有一聚点属于a 。( 2 ) 设臼。x 见l 。为 k ( x ) k ) 中一个网则对心x y 。e a 。见，网b 。y 。 。有一聚点属于 a b 。 定理2 2 1 对每一个r m ，至少存在一个关于c r 僻，5 ) 的强稳定集。 证明：取任意的r m ，先证，亿) 必为其自身的一个关于c r ( r ，万) 的f ( r ) 的强本质集，即v g o ，j 占 0 ，使得对所有满足r c r ( r ，5 ) ，总有x f ( r ) ， 满足j m ( ，似) ) 。反之不然，则有某一e 。 0 ，及一列正数点 也 瓯 ，瓯斗0 ，且有瓦e c r ( r ，以) 。使得f ) n n 。( ，q ) ) = 驴。任取工：，佤) ， 由k k ，c j ，及x 为紧胁淞螂拓扑空间中一紧子集，不妨设南z ， 下证e f ( r ) 。由工：年f 亿) 及t c r ( r ，以) ，知石：e b ：) 匕c o ( n 屯( n s ( z ) ) ) ) ，因为r 上半连续，所以v 占 o j 叩e ( o ，) ，使得月帆k ) ) c f 僻k ) ) ， 又由瓦_ 0 和j c ：呻x o 知存在o o ，使得对所有的n o ，有x ：。g 。x 且 k k ) c 心k ) 这里设瓯 口：时，有e 唧( r ) 气。( r ) 由每一气( 冠) 的紧性及有限交性质，可知e 伍) = n 。t d k 伍) ) ，并且如) 为一紧集。下面证 明e 乜) 为 ) 。的下界。这只需要证明如) 层( 足) 即可。即只需要证明舡) 是 ，纽) 的强本质集即可。 先证k 陋) 。的聚点集l i r a s u p ( e 仁) ) = 和) 。由e ) 的定义，易知 水) c l i r a s u p ( e ) ) ，于是只需要证明l i m s u p ( e ) ) c 和) 。若不然，则存在z l i m s u p ( e 。 ) ) ，但工鹰如) | 则存在d ，使得工萑伍) 。由 ) 的紧性只存 在工的邻域d g ) 使得o g ) n 气忸) 庐，因此由k ( 尺况。为e q ) 中的一下降链 知，对所有的口2 ，有似) 伽) ，从而d n ) = ，与z 为k 伍况。 的聚点相矛盾，因此l i m s u p 眈 ) ) = e 伽) 。 2 0 再由 恤) ) 。为一下降链，易知l i m s u p 瓴仁) ) = 1 i m i n f k 伍) ) = 4 r ) ，于是 l i m ( e 。 ) ) = p ) 。再有引理2 2 2 和引理2 2 3 知，吒乜) 丝q e 陋) ，故对每 一开集u 3e 扭) ，存在口，d ，使得对所有的a a 。，总有e 。( r ) c u 。又因为 似) 为f q ) 的强本质集，所以存在占 0 ，使得对所有满足丁e c r ( r ，万) 的一切 t 脑，总有f p ) n u ，因此根据强本质集的定义，可得e ) 为，( 足) 的强本 质集，即4 r ) e 。由此可知，水) 为k 伍) 。的下界，所以由z o r n 引理知。 该极小元即为，( 足) 的强稳定集。 下面我们将迸一步考察f ( r ) 的强稳定集连通性，则有； 定理2 2 2 对每一个矗m ，f 陋) 的每一个强稳定集关于c r 陋，占) 都是连 通的。 证明：设埘( r ) 为f 伍) 的任一个强稳定集。如果埘 ) 不是连通的，则存在f c 足) 的两个非空闭子集c l 陋) 和c ：心) 及两个开集和u ：，使得m 伍) = c i 伍) u g 伍) ， u 。) c 1 伍) ， g 忸) ，u 。n u 2 = 。由于m 似) 为，职) 的任一个强稳定集， 故c 】伍) 和c 2 伍) 都不是本质的，于是存在开集巧和巧，满足c j ( 置) c kc 巧cu j 及q ( 足) c 圪c 巧c - 以。对任意的占 0 ，总有五，瓦c r 伍，艿) ，使得五在k 上 没有不动点及瓦在如上没有不动点。 定义映象，：石_ 足( ) 如下： r 五g )当善e 巧 时 r g ) = 0 ，岛 0 ，且属g ) + 压g ) = l 。 我们将证明t m ： ( 1 ) 由丁g ) 的构造，易知r b ) 是非空闭凸值的。 ( 2 ) 下面证明对每一工，t 在工处是上半连续的。由x 紧及引理2 2 5 知，只需要证明对任意的_ y 1 r b 。) ，y “哼) ，x 4 _ x ，总有_ ) ，e t ( x ) 。事实上 只需要证明工1 殆惦的情形即可。为证明这一点，设耳“残幔，则 y 。r g 一) = 届g “e g 4 ) 十屈g 1 址仁。) ， 故存在。五b 4 ) ，v 。瓦b “) ，使得 y 8 = 屈g 。- ”+ 展b 。 “。 ( ) 因为x