博弈论第三章.doc

3 非完全信息静态博弈 3.1 理论: 静态贝叶斯博弈和贝叶斯纳什均衡例 不对称信息(asymmetric information)下的古诺竞争 市场中有两个企业。市场需求: P(Q) = a Q, Q = q1 + q2.企业 1 成本: C1(q1) = cq1.企业 2 成本: 以概率 q取C2(q2) = cHq2，以概率 1 q取 C2(q2) = cLq2。企业 2的产量依赖于成本: max (a - q1* - q2) - cHq2和max (a - q1* - q2) - cLq2企业 1 选择 q1 max q(a - q1 - q2*(cH) - cq1 + (1q)(a - q1 - q2*(cL) - cq1 一阶条件 (a - q1* - cH) 2q2*(cH) = 0 (a - q1* - cL) 2q2*(cL) =0q(a - q2*(cH) - c +(1-q)(a - q2*(cL) - c - 2q1*=0解出q2*(cH) = + (cH - cL)q2*(cL) = (cH - cL)q1*= 比较完全信息下的古诺模型qi*= (a - 2ci + cj)/3静态贝叶斯博弈的标准式表示 参与人的类型空间 T1, Tn;参与人i 类型: ti Ti其他人不知道ti，但知道ti的分布。参与人 i 的推断 pi(t-i|ti).参与人的行动空间 A1, , An;参与人 i 收益: ui(a1，an；ti)n个参与人的静态贝叶斯博弈(static Bayesian game)的标准式表示,G= A1, , An; T1, , Tn; p1, , pn; u1, , un , 不对称信息下的古诺博弈: T1= c , T2= cL，cH p2(q1，q2；cL) = (a - q1- q2) - cLq2p2 (q1，q2；cH) = (a - q1 - q2) - cHq2p1 (q1，q2；c) = (a - q1 - q2) - cq1用时间顺序描述静态贝叶斯博弈(1)自然产生一个类型向量t = (t1，tn)(2)自然向参与人 i显示ti;(3)参与人同时选择行动(4)各人得到收益.参与人 i的战略: si(ti) A i贝叶斯纳什均衡: s*=(s1*， sn*) 满足max Sui*s1*(t1), , si-1*(ti-1), ai, si+1*(ti+1), , sn*(tn); tpi(t-i| ti)3.2 应用例1 信息不完全的性别战 帕特 歌剧 拳击 歌剧 2+ tc，1 0， 0克丽斯 拳击 0， 0 1， 2+ tp 类型空间: Tc = Tp = 0, xtp和tc 为0, x上的均匀分布.推断（密度函数）: pc (tp) = pp (tc) = 1/x直觉: 分别存在临界值c与p：当 tc c时，克丽斯选择歌剧, 否则选择拳击.当 tp p时，帕特选择拳击, 否则选择歌剧.克丽斯的期望收益看歌剧： (2 + tc) + (1 ) 0 = (2 + tc)看拳击： 0 + (1 ) = 1 选择歌剧最优(2 + tc) 1 即 tc 3 因此临界值 c = 3 帕特的期望收益看拳击：(1 )0 +(2 + tp) = (2 + tp)看歌剧： (1 ) + 0 = 1 由选择拳击最优tp - 3 临界值 p = - 3 解得 p = c和 p2 + 3p x = 0.克丽斯选择歌剧的概率1 - = = 1 帕特选择拳击的概率1 - = = 1 当x 0时， 1 1 例2 拍卖（an auction）第一价格密封拍卖（First-price, sealed-bid）两个投标人.i 对物品的估价: vi , 独立，0, 1上的均匀分布类型空间: Ti = 0, 1收益 vi bi if bi bjui (b1, b2; vi, v2) = (vi bi)/2 if bi = bj 0 if bi bj(vj) +(vi bi)Prob bi= bj(vj).求线性战略bi(vi) = ai + civi, 问题为max(vi bi)Probbi aj + cjvj 其中Prob bi aj + cjvj = Probvj = 参与人 i的最优行动满足 + = 0即有bi(vi) =由估价与报价的关系：0 bi vi，得到 aj = 0因此bi(vi) = vi/2例 3 双向拍卖 (A double auction)一个买者和一个卖者, 分别提出价格 pb, ps如果 pb ps , 则以p = (pb + ps )/2交易; 否则不交易.他们的估价为私人信息，vb和vs, 独立，为 0, 1上均匀分布.买者收益ub = vb p if pb ps = 0 if pb ps 卖者收益us = p vs if pb ps = 0 if pb ps 战略 pb(vb), ps(vs)贝叶斯纳什均衡 (pb(vb), ps(vs)满足maxpb (vb )Prob pb ps(vs)maxps ( vs)Prob pb (vb) ps(1) 单一价格均衡: 以预先决定的x成交。如果 vb x， pb = x; 否则pb = 0.如果 vs x， ps = x; 否则ps = 1. vb 交易 x x vs如果 vb vs，交易就是有效率的，但不一定会进行交易。（2）线性均衡假设卖者的战略ps(vs) = as + csvs, 则ps(vs)是区间as，as + cs上的均匀分布,Eps (vs) | pb ps (vs) = （区间as, pb的中点）Prob pb ps(vs) =买方的问题maxvb pb + 从一阶条件解出pb = vb + as假设买者的战略pb(vb) = ab + cbvb, 卖者的问题max pb + vs 从一阶条件解出ps = vs + (ab + cb)比较系数，得到cs =, cb =, ab=, as =均衡战略pb(vb) = vb + ps(vs) = vs + p ps pb v由交易条件 pb ps, 有vb vs+ 有部分有效的交易未发生。 vb 交易 x vs3.3 显示原理第一价格拍卖：在线性报价方式下，每个人的报价是他的估价的一半， bi(vi) = vi/2。第二价格拍卖：出价最高者获得购买，但是按第二高的出价交易。贝叶斯纳什均衡：每个人按自己的估价报价，即bi(vi) = vi不同的拍卖方式，参与人的报价方式不同。直接机制：每个人给