直线与圆解答题.doc

直线与圆解答题1. （2009年江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：和圆C2：.（）若直线l过点A(4, 0)，且被圆C1截得的弦长为，求直线l的方程；（）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.2. （2008年江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f (x)x22xb（xR）的图像与两个坐标轴有三个交点，经过这三点的圆记为C. （）求实数b的取值范围； （）求圆C的方程；（）问圆C是否经过定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论.3. （2009年连云港卷）已知直线：. （）求直线斜率的取值范围； （）若直线被圆：截得的弦长为4，求直线的方程. 4. （2008年连云港卷）求圆心在直线2x3y130上，且与直线l1：4x3y100, 直线l2：4x3y80都相切的圆的方程.5. （2007年连云港卷）已知圆M： ，直线l0：xy8 , l0上一点A的横坐标为a , 过点A作圆M的两条切线l1 , l2 , 切点分别为B ,C. （第5题）（）当a0时，求直线 l1 , l2 的方程； （）当直线 l1 , l2 互相垂直时，求a 的值；（）是否存在点A，使得BC长为？若存在，求出点A的坐标，若不存在，请说明理由.6. 已知点O为坐标原点，圆C过点(1, 1）和点(2 , 4），且圆心在y轴上.（）求圆C的标准方程；（）如果过点P(1, 0)的直线l与圆C有公共点，求直线l的斜率k的取值范围；（）如果过点P(1, 0)的直线l与圆C交于A、B两点，且|AB|，试求直线l的方程.7. 已知圆C：，直线l1过定点A (1，0).（）若l1与圆C相切，求l1的方程； （）若l1的倾斜角为45，l1与圆C相交于P，Q两点，求线段PQ的中点M的坐标； （第7题）（）若l1与圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值， 并求此时直线l1的方程.8. 已知圆A过点()，且与圆B：关于直线对称.()求圆A和圆B方程； ()求两圆的公共弦长；()过平面上一点向圆A和圆B各引一条切线,切点分别为C、D，设，求证：平面上存在一定点M使得Q到M的距离为定值，并求出该定值.9. 如图平面上有A(1 , 0)、B(1 , 0)两点，已知圆C的方程为.（）在圆C上求一点P1使ABP1面积最大并求出此面积；（）求使取得最小值时的圆C上的点P的坐标. 10. 已知圆O的方程为x2 y2 1, 直线l1过点A(3 , 0), 且与圆O相切. （）求直线l1的方程；（）设圆O与x轴交与P, Q两点，M是圆O上异于P, Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P，直线QM交直线l2于点Q. 求证：以PQ为直径的圆C总过定点，并求出定点坐标.11. 已知：以点C (t, )(tR , t 0)为圆心的圆与x轴交于点O、A, 与y轴交于点O、B, 其中O为坐标原点.（）求证：OAB的面积为定值；（）设直线y2x4与圆C交于点M、N，若OMON，求圆C的方程.12. 已知C过点P (1, 1), 且与M：关于直线对称.()求C的方程；()过点P作两条相异直线分别与C相交于A、B, 且直线PA和直线PB的倾斜角互补, O为坐标原点,NCMQPOAxylml试判断直线OP和AB是否平行?请说明理由.13. 已知圆C：，直线l ：yxm.（）若m4 ，求直线l被圆C所截得弦长的最大值；（）若直线l是圆心C下方的切线，当在(0 ,4 变化时，求m的取值范围. 14. 已知过点的动直线与圆C：相交于P、Q两点，M是PQ中点，l与直线m：x3y60相交于N.（）求证：当l与m垂直时，l必过圆心C； （）当时，求直线的方程；15. 设圆C满足： 截y轴所得弦长为2； 被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3 :1，在满足条件、的所有圆中，求圆心C到直线l：x2y0的距离最小的圆C的方程.16. 已知圆O：x2y21和定点A(2 , 1)，由圆O外一点P( a , b )向圆O引切线PQ，切点为Q，且满足| PQ | PA |.() 求实数a , b间满足的等量关系； () 求线段PQ长的最小值；() 若以P为圆心所作的圆P与圆O有公共点，试求半径取最小值时的圆P的方程. 17. 已知圆C过原点O，且与直线xy4相切于点A(2, 2). () 求圆C的方程；() 过原点O作射线交圆C于另一点M, 交直线x3于点N.OMON是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由；xyOABl2l1l若射线OM上一点P(x0 ,y0)满足OP2OMON , 求证：.18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(3，2)的入射光线l1被直线l：yx反射反射光线l2交y轴于B点，圆C过点A且与l1, l2都相切.()求l2所在直线的方程和圆C的方程； ABCDExyO()设P，Q分别是直线l和圆C上的动点，求PBPQ的最小值及此时点P的坐标19. 已知圆M：，设点B,C是直线：上的两点，它们的横坐标分别是，点P在线段BC上，过P点作圆M的切线PA，切点为A.（）若，求直线PA的方程；（）经过A, P, M三点的圆的圆心是D，求线段DO长的最小值.20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，设AOB的外接圆圆心为E.（）若E与直线CD相切，求实数a的值；（）设点在圆E上，使PCD的面积等于12的点P有且只有三个，试问这样的E是否存在，若存在，求出E的标准方程；若不存在，说明理由.直线与圆解答题参考答案1. 解：（）由于直线x4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在, 设直线l的方程为, 圆心C1到直线l的距离为d , 因为直线l被圆C1截得的弦长为, 所以 , , k0或 所求直线l的方程为y0或7x24y280（）设点P(a, b) 直线l1：；l2： 因为圆C1、圆C2的半径相等，且分别被直线l1、l2截得的弦长相等，所以圆心C1到直线l1的距离、圆心C2到直线l2的距离相等. , (a3)k(1b)(5b)k(4a) 或 (a3)k(1b)(5b)k(4a) k的取值有无穷多个 或 解得 或 或2. 解一：（）若b0，则f (x)x22x 与坐标轴只有两个交点（0, 0）和（2 ,0）, 矛盾！ b0 , 二次函数的图象与y轴有一个非原点的交点(0 ,b）, 故它与x轴必有两个交点，方程x22xb0有两个不相等的实数根，0， 44b0 , b1且b0 b的取值范围是（, 0）(0 ,1）. （）由方程x22xb0得 ,函数的图象与坐标轴的交点为（0 ,b）,(1, 0）, (1, 0）, 设圆C：x2y2DxEyF0 圆C的方程为x2y22x(b1)yb0（）圆C的方程为 (x2y22xy)b (1y)0b1且b0 圆C过定点（0,1）和（2,1）.解二：（）令x0，得抛物线于y轴的交点是（0，b）令f(x)0，得x22xb0，由题意b0且0，解得b1且b0（）设所求圆的一般方程为x2y2DxEyF0令y0，得x2DxF0，这与x22xb0是同一个方程，故D2，Fb令x0，得y2Eyb0，此方程有一个根为b，代入得Eb1所以圆C的方程为x2y22x (b1)yb0（）圆C必过定点（0, 1），（2, 1）证明如下：将（0, 1）代入圆C的方程，得左边 021220-(b1)1b0，右边0所以圆C必过定点（0, 1）；同理可证圆C必过定点（2, 1）.3. 解：（）斜率，当时，； 当时，一方面， 另一方面，当且仅当时取“”，综上，的取值范围为（）圆的标准方程为. 由题意，圆心 (0, 1)到直线l的距离由及解得，直线的方程为：4. 解： 半径 所求圆C的方程为 5. 解：（）圆M： 圆心M(0 , 1) , 半径 A(0, 8) , 设切线的方程为yk x8 , 圆心距, 所求直线l1 , l2的方程为 （）当l1 l2时，四边形MCAB为正方形， 设A(a , 8a), M(0 , 1) 则 a3或a4 （）若, 则 , MB2MDMA 圆心M到直线l0的距离为 点A不存在6. 解：（）点和点连线段的中垂线方程是， 又其与y轴交点为（0, 3），而圆心同时在中垂线和y轴上圆心坐标为（0,3），圆半径 圆C的标准方程是： （）设直线方程为，即，设点(0, 3)到此直线距离为d ，则由，即 解得 （）设直线方程为，即则由圆心(0, 3)到此直线距离为解得 k1或k7 故直线的方程是. 7. 解：() 若直线l1的斜率不存在，则直线l1：x1，符合题意. 若直线l1斜率存在，设直线l1的方程为，即 由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2，即： ，解之得 . 所求直线l1的方程是或. () 直线l1方程为yx1. PQCM, CM方程为y4(x3), 即xy70. M点的坐标为(4, 3). () 直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0, 设直线方程为， 则圆心到直线l1的距离 又CPQ的面积 当d时，S取得最大值2. k1 或k7 所求直线l1方程为 xy10或7xy70 .8. 解：（）设圆A的圆心A（a，b），由题意得： 解得 设圆A的方程为，将点P()代入得r2 圆A：，圆B： （）由题意得两圆的公共弦所在直线方程为l：xy20，设(0, 0)到l的距离为d, 则d, 公共弦长m2 （）证明：由题设得：, 化简得：, 配方得： 存在定点M()使得Q到M的距离为定值，且该定值为.9. 解：（）三角形的面积只与底长和高有关系, 又|AB|2为定值, 在圆上只要找到最高点即可. 又圆心C坐标为(3, 4) ,半径为2 P1横坐标为3, 纵坐标为426 P1 (3, 6), （）设P(x , y), 则由两点之间的距离公式知 =2要使取得最小值只要使最小即可又P为圆上的点，所以 （为半径） 此时直线 由解得 或 （舍去）点P的坐标为 10. 解：（）直线l1过点，且与圆C：相切，设直线l1的方程为，即，则圆心到直线l1的距离为，解得，直线l1的方程为，即 （）对于圆方程,令，得,即又直线l2过点且与轴垂直， 直线l2方程为，设，则直线PM方程为解方程组, 得 同理可得, 以为直径的圆的方程为， 又 ， 整理得，若圆C 经过定点，只需令，从而有，解得， 圆C 总经过定点的坐标为.11. 解：（）圆C过原点O , 设圆C的方程是 令，得；令，得 ，即OAB的面积为定值. （）垂直平分线段 ， 直线OC的方程是 ， 解得： 当时，圆心的坐标为， 此时到直线的距离，圆与直线相交于两点.当时，圆心的坐标为，圆心到直线的距离, 圆与直线不相交，不符合题意舍去.所求圆C的方程为12. 解：()设圆心,则, 解得设圆C的方程为, 将点P的坐标代入得, 圆C的方程为()由题意知, 直线和直线的斜率存在,且互为相反数, 故可设,由,得 因为点的横坐标一定是该方程的解,故可得, 同理,所以 所以直线AB和OP一定平行. 13. 解：（） 圆心C(a , a ),半径为设直线l被圆C所截得的弦长为2t，圆心C到直线l的距离为d . m4时，直线l：xy40圆心C到直线l的距离 当时，直线l被圆C所截得的弦长的最大值为（）圆心C到直线l：xym0的距离 直线l是圆C的切线, 即 直线l在圆心C的下方， 14. 解：（）与垂直，且，故直线方程为，即NCMQPOAxylml圆心坐标C(0，3）满足直线l方程，当l与m垂直时，l必过圆心C（）当直线与轴垂直时, 易知符合题意当直线与轴不垂直时, 设直线的方程为，即，则由，得, 直线：. 故直线的方程为或15. 解法一：设圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为 |b| , |a|.由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90，知圆P截x轴所得的弦长为，故r22b2，又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有r2a21 从而得2b2a21 又点P(a，b)到直线x2y0的距离为， 所以5d2 |a2b|2 a24b24aba24b22(a2 b2)2b2a21，当且仅当ab时上式等号成立，此时5d21，从而d取得最小值 由此有解此方程组得或由于r2 2b2知于是，所求圆的方程是(x1) 2(y1) 22，或(x1) 2(y1) 22 解法二：同解法一，得 得将a2 2b21代入式，整理得把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即8(5d21)0，得5d215d2有最小值1，从而d有最小值 将其代入式得2b24b20解得b1将b1代入r22b2，得r22由r2a21得a1综上a1，b1，r22由| a2b |1知a，b同号于是，所求圆的方程是(x1) 2(y1) 22，或(x1) 2(y1) 22.16. 解：（）连OP, Q为切点，PQOQ，由勾股定理有又由已知|PQ|PA|，故|PQ|2|PA|2. 即：化简得实数a、b间满足的等量关系为：（）由，得. =.P0l故当时，即线段PQ长的最小值为 （）设圆P的半径为R，圆P与圆O有公共点，圆 O的半径为1， 即且.而，故当时，此时, ，.得半径取最小值时圆P的方程为 （）圆P与圆O有公共点，圆 P半径最小时为与圆O外切（取小者）的情形，而这些半径的最小值为圆心O到直线l的距离减去1，圆心P为过原点与l垂直的直线l 与l的交点P0. r = 1 = 1. 又l：x2y = 0,解方程组得.即P0( ,). 所求圆方程为. 17. 解：(