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互质的定义定义互质（relatively prime）又叫互素。若N个整数的最大公因子是1，则称这N个整数互质。 例如8,10的最大公因子是2，不是1，因此不是整数互质。 7,10,13的最大公因子是1，因此这是整数互质。 5和5不互质，因为5和5的公因数有1、5。 1和任何数都成倍数关系，但和任何数都互质。因为1的因数只有1，而互质数的原则是：只要两数的公因数只有1时，就说两数是互质数。1只有一个因数（所以1既不是质数（素数），也不是合数），无法再找到1和其他数的别的公因数了，所以1和任何数都互质（除0外）。 互质数的写法：如c与m互质，则写作（c,m）=1。 小学数学教材对互质数是这样定义的：“公约数只有1的两个数，叫做互质数。” 这里所说的“两个数”是指自然数。 “公约数只有 1”，不能误说成“没有公约数。” 判别方法（1）两个不同的质数一定是互质数。 例如，2与7、13与19。 （2）一个质数如果不能整除另一个合数，这两个数为互质数。 例如，3与10、5与 26。 （3）1不是质数也不是合数，它和任何一个自然数在一起都是互质数。如1和9908。 （4）相邻的两个自然数是互质数。如 15与 16。 （5）相邻的两个奇数是互质数。如 49与 51。 （6）大数是质数的两个数是互质数。如97与88。 （7）小数是质数，大数不是小数的倍数的两个数是互质数。如 7和 16。 （8）两个数都是合数（二数差又较大），小数所有的质因数，都不是大数的约数，这两个数是互质数。 如357与715，357=3717，而3、7和17都不是715的约数，这两个数为互质数。 （9）两个数都是合数（二数差较小），这两个数的差的所有质因数都不是小数的约数，这两个数是互质数。如85和78。 85787，7不是78的约数，这两个数是互质数。 （10）两个数都是合数，大数除以小数的余数（不为“0”且大于“ 1”）的所有质因数，都不是小数的约数，这两个数是互质数。如 462与 221 462221220， 20225。 2、5都不是221的约数，这两个数是互质数。 （11）减除法。如255与182。 25518273，观察知 73182。 182（732）36，显然 3673。 73（362）1， （255，182）1。 所以这两个数是互质数。 三个或三个以上自然数互质有两种不同的情况：一种是这些成互质数的自然数是两两互质的。如2、3、5。另一种不是两两互质的。如6、8、9。 第十二讲 数列的规律(一)德国数学家高斯10岁时,用一种十分巧妙的方法很快求出了1+2+3+99+100的和,被后人称之为著名的高斯定理.这就说明生活中的很多问题都是有规律的.我们只有通过分析找出其中的规律才能解决其中问题.今天我们就来探索一下数列的一些规律.对于某一个数列,我们可以根据这个数列中已经给出的前几项,找出它们排列的规律,并根据这一规律填出数列中的其他各项.例1、找规律填出下列数列中的缺项。（1）1、5、9、（ ）、（ ）、（ ）（2）30、24、18、（ ）、（ ）、（ ）（3）1、4、9、16、（ ）、（ ）、（ ）（4）0、3、8、15、（ ）、（ ）、（ ）（5）1、1、2、3、5、8、（ ）、（ ）（6）1、3、2、6、5、15、14、（ ）、（ ）、（ ）（7）1/2、2/3、3/4、4/5、（ ）、（ ）、（ ）（8）2（1/2）、4（9/4）、8（9/16）、16（16/25）、32（25/36）、（ ）、（ ）、（ ）（9）6、7、9、13、21、37、69、（ ）例2、已知下面数列的第N项an的公式写出它们的前5项（1）an=n2 （2）an=n2-1（3）an=1/n(n+1)（4）an=n/(n+1)（5）an=2n+1例3、在数列1/1、1/2、2/2、1/3、2/3、3/3、1/4、2/4、3/4、4/4、（1）5/12是第几个分数？（2）第300个分数是几分之几？例4、已知数列1、4、7、10、，问它的第100项是几，第120项呢？例5、已知数列8、10、12、14、222，问该数列共有多少项？例6、已知数列57、59、61、63，共20项求该数列的首项。例7、序号12345678910算式1+12+33+51+72+93+111+132+153+171+19根据上面的规律，第40个个序号的算式是（1+79），算式为“1+103”的序号是（52）。例8、一条小虫，自幼虫长到成虫，每天长大一倍，10天长到10厘米长到2.5厘米时需要几天？例9、求200到300之间的7倍数之和。例10、梯子的最高一级宽32厘米，最低一级宽10厘米，是间还有9级，各级的宽度成等差数列，求是间一级的宽度。如果在a与b之间插入一个数p，使a、p、b成等差数列，那么，p-a=b-p，所以p=(a+b)/2，这就是说，当中的一项等于首末两项的和的一半。例11、在1（1/2）、2（1/2）两数之间插入一个数，使其成为一个等差数列。例12、在12和60之间插入3个数，使这5个数成为等差数列。例13、一个等差数列的第一项是5.6，第六项是20.6，求它的第四项。例14、在平面上画1994条直线，这些直线最多能形成多少个交点？例15、在一个长方形中，如果没有一条直线，则长方形可以看作一个部分。如果在长方形中，画一条直线这个长方形就被分成两个部分在长方形中画两条直线最多可以将长方形分成四个部分如果画三条直线最多可以将长方形分成七个部分，如果在长方形中画100条直线，最多可以将长方形分成多少个部分？练习：1、右图表格中的数字是按一定规律排列的，按此规律，空格处应是什么数？7111935？2、在下面一组数中，有一个与从不同的数，请你把它找出来：3、5、7、9、17、23、37。3、16个苹果，分别放在5个盘里，应怎样放才能使每个盘子里苹果只数不相同？等差数列的基本形式和它的求和公式。如果一个数列从第2项起，每一项与它们前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做数列的公差，公差用d青工。设数列an是等差数列，则它的通项公式是an=a1+(n-1)d。则它的前n项和Sn=(a1+a2)n/2练习：1、找规律。（1）1、3、9、27、（ ）、243（2）2、7、12、17、22、（ ）、（ ）、37（3）1、3、2、4、3、（ ）、4（4）0、3、8、15、24、（ ）48（5）6、3、8、5、10、7、12、9、（ ）11（6）2、3、5、（ ）、（ ）、17、232、一串数按下面规律排列1、3、5、2、4、6、3、5、7、4、6、8、5、7、9、从第一个数字算起，前100项个数的和是多少？3、从平面中任意作100条直线，这些直线最多能形成多少个交点？4、在平面中任意作20条直线，这此直线最多可把这介平面分成多少个部分？博览：假如一种细菌每小时分裂一次（就是一个变两个），现在这种细菌有100个，那么1小时后，这种细菌将有200个，2小时后将有400个，如果我们把每过1小时细菌和求出，就得到一列数：100、200、400、800、1600、3200，这列数的特点是，后一个数是前一个数的2倍，像这样的数列称为“等比数列”第十三讲 数列的规律（二）我们上一讲研究了数列中最基本的一种，等差数列，通过研究，我们初步对它有了了解。复习：1、在5和100间插入个数以后，使之成为等差数列。 2、求等差数列2、9、16、的第20项 3、已知等差数列的第一项是12，第六项是27，求公差。本讲主要是运用等差数列的求和公式，求解一些有趣的数学题。例1、求一切被4除后余1的两位数之和。例2、甲和乙赛跑，限定时间为10秒，谁跑的距离长的就算胜，甲第一秒跑1米，以后每秒比前一秒多跑0.1米，乙始终每秒都是1.5米，问两人谁取胜？例3、有10个盒子，44只乒乓球，怎样做，使各个例子里的乒乓球不相等？例4、某班有56个同学，放假时，一一握手告别，每两个人都握一次，而且只握一只手，问共握手多少次？例5、某次乒乓球比赛，共有15个队参加，第一轮是循环赛，问一共要赛多少场？例6、观察下面的等式：13+23=9 （1+2）2=913+23+33=36 （1+2+3）2=3613+23+33+43=100 （1+2+3+4）2=100 问：13+23+33+43+93+103等于多少？例7、把28个苹果分给7个小朋友，每人都分到，如果每人分得的个数不一样多，问他们各分到多少？少于28个行吗？为什么？30个呢？有几种分法？例8、把自然数从小到大按1个、2个、3个、的顺序分群排列：（1）、（2、3）、（4、5、6）、（7、8、9、10）、（11、12、13、14、15）、即第N群内有N个自然数。A、试求第10个群最前面的一个数B、试求第10个群中所有自然数的和C、试问100在第几君中第几位。例9、有60张卡片，按从小到大的顺序排列，第一次，从第一张开始依次间隔取出一张；第二次，又从剩下的卡片中从第一张开始，依次间隔取出一张，像这样下去，几次取完？练习：1、有一个六层塔，每一层点灯的盏数都等于上一层的3倍，最顶层点了4灯，求这座塔一共点了多少盏灯？2、求200以内能被7整除的数的和。3、求一切被5除余2的两位数之和。4、时钟每个整点敲该钟点数，每半敲一下，一昼夜共敲多少下？5、把奇数数列按2个、3个、2个、3个依次分群，得：（1、3）、（5、7、9）、（11、13）、（15、17、19）、第20君中各数的和是多少？例10、求下面数列的各项和（1）4、7、16、19、28、31、40、43、52、55（2）12、8、28、24、44、40、60、56、76、72例11、如图连结正方形各边的中点得5个大小不同的正方形，已知中心正方形面积为3