第23讲 直线方程概念及关系(艺考生专用).doc

梅花香自苦寒来 宝剑锋从磨砺出谨以此案赠送给有梦想的学子第二十三讲 直线方程知识精要1.直线的倾斜角和斜率复习一次函数及其图象提问：已知一次函数，试判断点A(1，2)和点B(2，1)是否在函数图象上请分析一下判断点是否在函数的图象上的方法？直线的倾斜角的定义：一条直线向上的方向与轴的正方向所成的最小正角，叫做这条直线的倾斜角，如图中的说明：当直线和轴平行时，我们规定它的倾斜角为0，因此，倾斜角的取值范围是0180说明:直线倾斜角角的定 义有下面三个要点：以轴 正向作为参考方（可看作是角的始边）；直线向上的方向作为终边；最小正角直线的斜率的定义：倾斜角不是90的直线它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率直线的斜率常用k表示，即说明：当时，；当时，直线的斜率不存在； 当时，.注：直线的倾斜角反映了直线对轴的倾斜程度.过两点的直线的斜率公式在坐标平面上，已知两点、，由于两点可以确定一条直线，直线就是确定的当时，直线的倾角不等于90时，这条直线的斜率就存在了，而且也是确定的那么怎样用和的坐标来表示这条直线的斜率呢？提示：请根据图甲、乙推导出已知两点坐标求斜率公式.过、两点的直线的斜率公式：说明：对于上面的斜率公式要注意下面四点：当时，此时直线的倾斜角为90，公式右边无意义，直线的斜率不存在；k与、的顺序无关；以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率，再根据得到现在就考考你，接受挑战吧！1.如图，直线的倾斜角=30，求的斜率2.求经过A(-2，0)、B(-5，3)两点的直线的斜率和倾斜角3在坐标平面上，画出下列方程的直线：； ； ； .提示：利用两点确定一条直线，找出方程的两个特解，以这两个特解为坐标描点连线即可4求经过下列每两个点的直线的斜率，若是特殊角则求出倾斜角. C(10，8)，D(4，-4)； ， ，5已知三点A(，2)、B(3，7)、C(-2，-9)在一条直线上，求实数的值6.如图，已知A(3, 2)，B(-4, 1)，C(0, -1)，求直线AB,BC,CA 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。7. 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，1，2及3的直线, , 及两直线平行与垂直的判定特殊情况下的两直线平行与垂直当两条直线中有一条直线没有斜率时，即这条直线与轴垂直：当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90，互相平行；0当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90，两直线互相垂直斜率存在时两直线的平行与垂直设直线和的斜率为和，它们的方程分别是两直线的平行与垂直是由两直线的方向来决定的，两直线的方向又是由直线的倾斜角与斜率决定的，所以我们下面要解决的问题是两平行与垂直的直线它们的斜率有什么关系我们首先研究两条直线平行(不重合)的情形如果 (图1-29)，那么它们的倾斜角相等：即：.说明：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即说明：要注意，上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立现在研究两条直线垂直的情形如果，这时设 (图1-30)，甲图的特征是和的交点在轴上方；乙图的特征是和的交点在x轴下方；丙图的特征是和的交点在x轴上，无论哪种情况下都有说明：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直，即 例1 已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别是A（0,1），B（1,0），C（4,3），求顶点D的坐标例2 已知直线经过点A（3，）,B(,3),直线经过点C（2,3），D(-1,），若，求的值考考你：1. 已知直线过原点，绕原点按顺时针方向转动角（）后，恰好与轴重合，求直线转动前的倾斜角是多少？精选作业1. 已知A（3,3），B（-4,2），C（0，-2）（1）求直线AB和AC的斜率；（2）若点D在线段BC上（包括端点），求直线AD斜率的范围2. 已知ABC三点坐标A（0,0），B（3，-1），C（3,5），求其三边所在直线的斜率；当D点在线段AB（包括端点）上移动时，求CD斜率的变化范围3. 已知三点A（0，a），B（2,3），C（4，5a）在一条直线上，求a的值，并求这条直线的倾斜角4. 求证：A（1,1），B（4,7），C（-1，-3）三点共线。5. 直线与轴垂直，则直线的倾斜角为 .6. 已知直线的倾斜角，则其斜率k的值为 .7. 已知直线的斜率k=-1，则其倾斜角为 .8. 已知A（，0）和B（2，），且直线AB的倾斜角为，求直线AB的斜率和的值9. 已知A（0,1），B（2,3），C（-1，-2），点D在x轴上移动，若AB/CD，则点D的坐标为 . 10. 已知直线经过点A（0.1）和点B（，1），直线经过点M（1,1）和点N（0，-2），若与没有公共点，求实数的值11. 已知点A（2,3），B（-1,1），在y轴上求一点C，使ABC为直角三角形，且A为直角.12. 已知A（-4,3）,B(2,5),C(6,3)，D（-3,0）四点，若顺次连接A、B、C、D四点，试判断图形ABCD的形状13. 已知四边形ABCD的顶点为A（m,-2），B（6,1），C（3,3），D（1，n），求m和n的值，使四边形ABCD为矩形。14. 已知直线的斜率=2，直线的斜率，则与位置关系 .15. 已知过点A（-2，m）和B（m，4）的直线与斜率为-2的一条直线垂直，则m的值为 .16. 已知直线的倾斜角为,直线/,且过点A（-2，-1）和点B(3,）,则的值为 .17. 直线，的斜率是关于k的方程的两根，若，则b= ；若/，则b= .18. ABC的三个顶点分别为A（2,2+2），B（0，2,-2），C（4,2），试判断ABC的形状。知识补充：特殊的三角函数值简表，用心背噢. 角函数值030456090sincostan0不存在说明：记忆方法直角三角形记忆法（老师讲）.3.2直线的方程 一、教学目标(一)知识教学点在直角坐标平面内，已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点，会求直线的方程；给出直线的点斜式方程，能观察直线的斜率和直线经过的定点；能化直线方程成截距式，并利用直线的截距式作直线(二)能力训练点通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、两点式方程向截距式方程的过渡，训练学生由一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的数形结合能力(三)学科渗透点通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识二、教材分析1重点：由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，截距式方程是两点式方程的特殊情况，教学重点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上2难点：在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的方程，即直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点在直线上的坐标不满足这个方程，但化为y-y1=k(x-x1)后，点P1的坐标满足方程三、活动设计分析、启发、诱导、讲练结合四、教学过程3.2.1 直线方程点斜式教学目标：1使学生掌握点斜式和斜截式的推导过程，并能根据条件，熟练求出直线的点斜式方程和斜截式方程。2会用直线的方程求出斜率、倾斜角、截距等问题，并能根据方程画出方程所表示的直线。3培养学生化归数学问题的能力及利用知识解决问题的能力。4理解直线方程点斜式和斜截式的形式特点和适用范围。教学重点与难点：重点：直线方程的点斜式的公式推导以及有已知条件求直线的方程。难点：直线方程点斜式推导过程的理解。教学方法：启发引导式 发现探究式教学用具：计算机 实物投影仪教学过程设计：【创设情景】师：上一节我们分析了在直角坐标系内确定一条直线的几何要素。那么，我们能否用给定的条件（点P0的坐标和斜率，或P1，P2的坐标），将直线上的所有点的坐标（）满足的关系表示出来呢？这节课，我们一起学习直线的点斜式方程。【探求新知】师：若直线经过点，且斜率为，求直线的方程。生：（给学生以适当的引导）设点P（）是直线上不同于点的任意一点，因为直线的斜率为，由斜率公式得：，可化为： 探究：思考下面的问题：（不必严格地证明，只要求验证）（1）、过点，斜率为的直线上的点，其坐标都满足方程吗？（2）、坐标满足方程的点都在过点，斜率为的直线上吗？生：经过探究和验证，上述的两条都成立。所以方程就是过点，斜率为的直线的方程。因此得到：（一）、直线的点斜式方程：其中()为直线上一点坐标，为直线的斜率。方程是由直线上一定点及其斜率确定，叫做直线的点斜式方程，简称点斜式。师：直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？（让学生思考，互相讨论）生1：不能，因为不是所有的直线都有斜率。生2：对，因为直线的点斜式方程要用到直线的斜率，有斜率的直线才能写成点斜式方程，如果直线没有斜率，其方程就不能用点斜式表示。师：very good！ 那么，轴所在直线的方程是什么？轴所在直线的方程又是什么？生：因为轴所在直线的斜率为=0，且过点（0，0），所以轴所在直线的方程是=0。（即：轴所在直线上的每一点的纵坐标都等于0。）而轴所在直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示。但轴所在直线上的每一点的横坐标都等于0。所以轴所在直线的方程为：=0。师：那些与轴或轴平行的直线方程又如何表示呢？生：（猜想）与轴平行的直线的方程为：；与轴平行的直线的方程为：。师：当直线的倾斜角为0时,，即=0，直线与轴平行或重合，直线方程为：，或。当直线倾斜角为90时，直线没有斜率，直线与轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示。这时直线方程为：，或。经过分析，同学们的猜想是正确的。师：已知直线的斜率为k，与y轴的交点是P（0，b），求直线的方程。生：因为直线的斜率为，与y轴的交点是P（0，b），代入直线方程的点斜式，xyob得直线的方程为： 即：（二）、直线斜截式方程： 我们把直线与轴交点（0，）的纵坐标叫做直线在轴上的截距(即纵截距)。方程是由直线的斜率和它在轴上的截距确定的，所以叫做直线斜截式方程，简称为斜截式。师：截距是距离吗？生：不是，b为直线l在y轴上截距，截距不是距离，截距是直线与坐标轴交点的相应坐标，是一个实数，可正可负可为零；距离是线段的长度，是非负实数。师：观察方程，它的形式具有什么特点？生：左端的系数恒为1，右端的系数和常数均有几何意义：是直线的斜率，是直线在轴上的截距。师：当直线倾斜角为90时，它的方程能不能用斜截式来表示？生：不能，因为直线没有斜率。师：方程与我们学过的一次函数的表达式之间有什么关系呢？生：当时，直线斜截式方程就是一次函数的表示形式。【例题分析】例1直线经过点P0(-2，3)，且倾斜角=45,求直线的点斜式方程，并画出直线。师：分析并根据已知条件，先求得直线方程的斜率。代入直线的点斜式方程即可求得。生：（思考后自主完成解题过程）yxo解：直线经过点P0(-2，3)，斜率是：。代入点斜式方程得。这就是所求的直线方程,如右图中所示。（画图时，只需要再找到满足方程的另一个点即可。）例2已知直线试讨论：（1）的条件是什么？（2）的条件是什么？师：让学生回忆前面用斜率判断两条直线平行、垂直的结论。生：（思考后互相交流意见、想法。）总结得到：对于直线 【课堂精练】课本P100练习1，2，3，4。说明：通过加强练习来熟悉直线方程的点斜式与斜截式。【课堂小结】师生：通过本节内容的学习,要求大家掌握直线方程的点斜式，了解直线方程的斜截式，并了解求解直线方程的一般思路。 求直线方程需要两个独立的条件（斜率及一点），根据不同的几何条件选用不同形式的方程。【课后作业】P106 习题3.2 1.（1）、（2）、（3）、（5）、（6）3.2.2 直线方程两点式教学目标1. 掌握直线方程两点式的形式特点及适用范围;2. 了解直线方程截距式的形式特点及适用范围.教学重点 直线方程的两点式教学难点 两点式推导过程的理解教学方法 学导式教具准备 幻灯片教学过程.复习回顾师:上一节课,我们一起学习了直线方程的点斜式,并要求大家熟练掌握,首先我们作一简要的回顾(略), 这一节,我们将利用点斜式来推导直线方程的两点式.讲授新课1. 直线方程的两点式:其中是直线两点的坐标.推导:因为直线l经过点，并且，所以它的斜率.代入点斜式,得,.当.说明:这个方程由直线上两点确定;当直线没有斜率()或斜率为时,不能用两点式求出它的方程.2. 直线方程的截距式:,其中a,b分别为直线在x轴和y轴上截距.说明:这一直线方程由直线在x轴和y轴上的截距确定,所以叫做直线方程的截距式;截距式的推导由例2给出.3. 例题讲解:例2.已知直线l与x轴的交点为（a，0），与y轴的交点为（0，b），其中a0,b0,求直线l的方程.解:因为直线l经过A(a,0)和B(0,b)两点,将这两点的坐标代入两点式,得:说明:此题应用两点式推导出了直线方程的截距式.例3.三角形的顶点是A(-5,0)、B（3，-3）、C（0，2）,求这个三角形三边所在直线的方程.解:直线AB过A(-5,0)、B（3，-3）两点，由两点式得整理得：，即直线AB的方程.直线BC过C(0,2),斜率是,由点斜式得:整理得:,即直线BC的方程.直线AC过A(-5,0),C(0,2)两点,由两点式得:整理得：，即直线AC的方程.说明:例3中用到了直线方程的点斜式与两点式,说明了求解直线方程的灵活性,应让学生引起注意.课堂练习课本练习课堂小结师:通过本节学习,要求大家掌握直线方程的两点式,并能运用直线方程的多种形式灵活求解直线方程.课后作业习题7.2.21.两点式： 3.例2 4.例3 练习1 2.截距式: 练习2 3.2.2 直线方程的一般形式 一、教学目标 (一)知识教学点掌握直线方程的一般形式，能用定比分点公式设点后求定比(二)能力训练点通过研究直线的一般方程与直线之间的对应关系，进一步强化学生的对应概念；通过对几个典型例题的研究，培养学生灵活运用知识、简化运算的能力(三)学科渗透点通过对直线方程的几种形式的特点的分析，培养学生看问题一分为二的辩证唯物主义观点 二、教材分析 1重点：直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式表示直线有一定的局限性，只有直线的一般式能表示所有的直线，教学中要讲清直线与二元一次方程的对应关系2难点：与重点相同3疑点：直线与二元一次方程是一对多的关系同条直线对应的多个二元一次方程是同解方程 三、活动设计 分析、启发、讲练结合 四、教学过程 (一)引入新课点斜式、斜截式不能表示与x轴垂直的直线；两点式不能表示与坐标轴平行的直线；截距式既不能表示与坐标轴平行的直线，又不能表示过原点的直线与x轴垂直的直线可表示成x=x0，与x轴平行的直线可表示成y=y0。它们都是二元一次方程我们问：直线的方程都可以写成二元一次方程吗？反过来，二元一次方程都表示直线吗？(二)直线方程的一般形式我们知道，在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角当90时，直线有斜率，方程可写成下面的形式：y=kx+b当=90时，它的方程可以写成x=x0的形式由于是在坐标平面上讨论问题，上面两种情形得到的方程均可以看成是二元一次方程这样，对于每一条直线都可以求得它的一个二元一次方程，就是说，直线的方程都可以写成关于x、y的一次方程反过来，对于x、y的一次方程的一般形式Ax+By+C=0 (1)其中A、B不同时为零(1)当B0时，方程(1)可化为这里，我们借用了前一课y=kx+b表示直线的结论，不弄清这一点，会感到上面的论证不知所云(2)当B=0时，由于A、B不同时为零，必有A0，方程(1)可化为它表示一条与y轴平行的直线这样，我们又有：关于x和y的一次方程都表示一条直线我们把方程写为Ax+By+C=0这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式引导学生思考：直线与二元一次方程的对应是什么样的对应？直线与二元一次方程是一对多的，同一条直线对应的多个二元一次方程是同解方程(三)例题解：直线的点斜式是化成一般式得4x+3y-12=0把常数次移到等号右边，再把方程两边都除以12，就得到截距式讲解这个例题时，要顺便解决好下面几个问题：(1)直线的点斜式、两点式方程由于给出的点可以是直线上的任意点，因此是不唯一的，一般不作为最后结果保留，须进一步化简；(2)直线方程的一般式也是不唯一的，因为方程的两边同乘以一个非零常数后得到的方程与原方程同解，一般方程可作为最终结果保留，但须化为各系数既无公约数也不是分数；(3)直线方程的斜截式与截距式如果存在的话是唯一的，如无特别要求，可作为最终结果保留例2 把直线l的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率和在x轴与y轴上的截距，并画图解：将原方程移项，得2y=x+6，两边除以2得斜截式：x=-6根据直线过点A(-6，0)、B(0，3)，在平面内作出这两点连直线就是所要作的图形(图1-28)本例题由学生完成，老师讲清下面的问题：二元一次方程的图形是直线，一条直线可由其方向和它上面的一点确定，也可由直线上的两点确定，利用前一点作图比较麻烦，通常我们是找出直线在两轴上的截距，然后在两轴上找出相应的点连线例3 证明：三点A(1，3)、B(5，7)、C(10，12)在同一条直线上证法一 直线AB的方程是：化简得 y=x+2将点C的坐标代入上面的方程，等式成立A、B、C三点共线A、B、C三点共线|AB|+|BC|=|AC|，A、C、C三点共线讲解本例题可开拓学生思路，培养学生灵活运用知识解决问题的能力 (四)课后小结(1)归纳直线方程的五种形式及其特点(2)例4一般化：求过两点的直线与已知直线(或由线)的交点分以这两点为端点的有向线段所成定比时，可用定比分点公式设出交点的坐标，代入已知直线(或曲线)求得3.3.1两条直线的交点坐标 一、教学目标(一)知识教学点知道两条直线的相交、平行和重合三种位置关系，对应于相应的二元一次方程组有唯一解、无解和无穷多组解，会应用这种对应关系通过方程判断两直线的位置关系，以及由已知两直线的位置关系求它们方程的系数所应满足的条件(二)能力训练点通过研究两直线的位置关系与它们对应方程组的解，培养学生的数形结合能力；通过对方程组解的讨论培养学生的分类思想；求出x后直接分析出y的表达式，培养学生的抽象思维能力与类比思维能力(三)学科渗透点通过学习两直线的位置关系与它们所对应的方程组的解的对应关系，培养学生的转化思想二、教材分析1重点：两条直线的位置关系与它们所对应的方程组的解的个数的对应关系，本节是从交点个数为特征对两直线位置关系的进一步讨论2难点：对方程组系数中含有未知数的两直线的位置关系的讨论3疑点：当方程组中有一个未知数的系数为零时两直线位置关系的简要说明三、活动设计分析、启发、诱导、讲练结合四、教学过程(一)两直线交点与方程组解的关系设两直线的方程是l1： A1x+B1y+c1=0， l2： A2x+B2y+C2=0如果两条直线相交，由于交点同时在两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2的交点因此，两条直线是否相交，就要看这两条直线的方程所组成的方程组是否有唯一解(二)对方程组的解的讨论若A1、A2、B1、B2中有一个或两个为零，则两直线中至少有一条与坐标轴平行，很容易得到两直线的位置关系下面设A1、A2、B1、B2全不为零解这个方程组：(1)B2得 A1B2x+B1B2y+B2C1=0， (3)(2)B1得 A2B1x+B1B2y+B1C2=0 (4)(3)-(4)得(A1B2-A2B1)x+B2C1-B1C2=0下面分两种情况讨论：将上面表达式中右边的A1、A2分别用B1、B2代入即可得上面得到y可把方程组写成即将x用y换，A1、A2分别与B1