2013年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数学(文科).doc

文科数学2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 数学（文科）2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科） 20133本试卷共4页，21小题， 满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式：线性回归方程中系数计算公式，其中表示样本均值. 锥体的体积公式是,其中是锥体的底面积,是锥体的高.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知i是虚数单位，则复数i的虚部为A B C D2设全集，集合，则A BC D3直线与圆的位置关系是 A相离 B相切 C直线与圆相交且过圆心 D直线与圆相交但不过圆心4若函数是函数的反函数，则的值是A B C D 5已知平面向量，且，则实数的值为A B C D6已知变量满足约束条件则的最大值为A B C D7. 某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是A B. C. D. 8. 已知函数，为了得到函数的图象，只要将的图象A向右平移个单位长度 B向左平移个单位长度 C向右平移个单位长度 D向左平移个单位长度9“”是“一元二次不等式的解集为R”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件10设函数的定义域为，如果，使为常数成立，则称函数在上的均值为. 给出下列四个函数：；, 则满足在其定义域上均值为的函数的个数是A B C D二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分（一）必做题（1113题）11函数的定义域是 12某工厂的某种型号的机器的使用年限和所支出的维修费用(万元)有下表的统计资料：234562.23.85.56.57.0 根据上表可得回归方程，据此模型估计，该型号机器使用年限为10年的维修费用约 万元（结果保留两位小数） 13已知经过同一点的N个平面，任意三个平面不经过同一条直线.若这个平面将空间分成个部分，则 ， .（二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题）14（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，定点，点在直线上运动，当线段最短时，点的极坐标为 15（几何证明选讲选做题）如图2，是的直径，是的切线，与交于点，若，则的长为 三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）已知函数（其中，）的最大值为2，最小正周期为.（1）求函数的解析式；（2）若函数图象上的两点的横坐标依次为，为坐标原点，求的值.17（本小题满分12分）沙糖桔是柑桔类的名优品种，因其味甜如砂糖故名.某果农选取一片山地种植沙糖桔，收获时，该果农随机选取果树20株作为样本测量它们每一株的果实产量（单位：kg），获得的所有数据按照区间进行分组，得到频率分布直方图如图3.已知样本中产量在区间上的果树株数是产量在区间上的果树株数的倍.（1）求,的值；（2）从样本中产量在区间上的果树随机抽取两株，求产量在区间上的果树至少有一株被抽中的概率. 18（本小题满分14分）如图4，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，点为的中点. （1）求证:平面；（2）求证：；（3）若，求点到平面的距离. 19（本小题满分14分）设数列的前项和为，已知，是数列的前项和.（1）求数列的通项公式；（2）求；（3）求满足的最大正整数的值.20（本小题满分14分）已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，点在椭圆上，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为, 且与交于点.(1) 求椭圆的方程；(2) 是否存在满足的点? 若存在，指出这样的点有几个（不必求出点的坐标）; 若不存在，说明理由.21（本小题满分14分）已知N，设函数R.（1）求函数R的单调区间；（2）是否存在整数，对于任意N，关于的方程在区间上有唯一实数解，若存在，求的值；若不存在，说明理由.2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数 2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算共10小题，每小题5分，满分50分题号12345678910答案DDA CBCADBC二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性共5小题，每小题5分，满分20分其中1415题是选做题，考生只能选做一题11 12 13， 14 15 说明： 第13题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分 第14题的正确答案可以是：Z.三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：的最大值为2，且，. 1分的最小正周期为，得. 3分. 4分（2）解法1：， 5分， 6分. 7分. 10分.12分解法2：， 5分， 6分. 8分. 10分. 12分解法3: ，5分，6分. 7分作轴, 轴,垂足分别为,. 8分设,则. 10分.12分17（本小题满分12分）（本小题主要考查频率分布直方图、概率等知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）（1）解:样本中产量在区间上的果树有（株），1分样本中产量在区间上的果树有（株），2分依题意，有，即.3分根据频率分布直方图可知， 4分解得:. 6分（2）解：样本中产量在区间上的果树有株，分别记为， 7分 产量在区间上的果树有株，分别记为. 8分 从这株果树中随机抽取两株共有15种情况：，. 10分 其中产量在上的果树至少有一株共有9种情况：，. 11分 记“从样本中产量在区间上的果树随机抽取两株，产量在区间上的果树至少有一株被抽中”为事件，则. 12分18（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、点到平面的距离等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）(1)证明:连接，与相交于点, 连接， 是平行四边形，是的中点. 1分 为的中点， . 2分 平面,平面, 平面. 3分(2)证明:平面，平面， . 4分 ， . 5分 . . 6分，平面，平面， 平面. 7分 平面， . 8分（3）解：取的中点，连接，则且. 平面， 平面，. 9分 在Rt中， , . 在Rt中，.在中，为的中点,.在Rt中，.在Rt中，.，.11分 设点到平面的距离为， ， . 12分 即， 解得. 13分 点到平面的距离为. 14分19（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等知识，考查分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）（1） 解：当时， . 1分 . 2分 ， . 3分数列是以为首项，公比为的等比数列. 4分（2） 解：由（1）得：， 5分 6分 7分 . 8分（3）解： 9分 10分. 11分令，解得：. 13分故满足条件的最大正整数的值为. 14分20（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）(1) 解法1：设椭圆的方程为,依题意: 解得: 2分 椭圆的方程为. 3分解法2：设椭圆的方程为，根据椭圆的定义得，即， 1分， . 2分 椭圆的方程为. 3分(2)解法1：设点,，则，三点共线,. 4分, 化简得：. 5分由,即得. 6分抛物线在点处的切线的方程为，即. 7分同理，抛物线在点处的切线的方程为 . 8分 设点，由得：，而，则 . 9分代入得 ， 10分则，代入 得 ，即点的轨迹方程为. 11分若 ，则点在椭圆上，而点又在直线上，12分直线经过椭圆内一点,直线与椭圆交于两点. 13分满足条件 的点有两个. 14分解法2：设点,，由,即得. 4分抛物线在点处的切线的方程为，即. 5分， .点在切线上, . 6分同理， . 7分综合、得，点的坐标都满足方程 . 8分经过两点的直线是唯一的，直线的方程为， 9分点在直线上， . 10分点的轨迹方程为. 11分若 ，则点在椭圆上，又在直线上，12分直线经过椭圆内一点,直线与椭圆交于两点. 13分满足条件 的点有两个. 14分解法3：显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 由消去，得. 4分设,则. 5分由,即得. 6分抛物线在点处的切线的方程为，即. 7分， . 同理,得抛物线在点处的切线的方程为. 8分由解得 . 10分,点在椭圆上. 11分.化简得.(*) 12分由, 13分可得方程(*)有两个不等的实数根. 满足条件的点有两个. 14分21（本小题满分14分）（本小题主要考查三次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数的零点、数列求和等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）（1）解： 1分. 2分方程的判别式.当时，故函数在R上单调递减； 3分当