8.4双曲线的简单几何性质(教师).doc

哈尔滨市第一中学2008级高一教学设计学案 8.4双曲线的简单几何性质第4节 双曲线的简单几何性质撰写：刘文文 审核：胡海欧 三点剖析：一、 教学大纲及考试大纲要求：1掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质2掌握标准方程中的几何意义3能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题二重点与难点教学重点：双曲线的渐近线、离心率、双曲线的另一种定义及其得出过程教学难点：渐近线几何意义的证明，离心率与双曲线形状的关系，双曲线的另一种定义的得出过程三.（1）本节知识理解椭圆双曲线方程图形顶点坐标（a,0）(0,b)(0,a)(b,0)(a,0)(0,a)对称轴x=0,y=0焦点坐标(c,0)(0,c)(c,0)(0,c)对称中心（0，0）离心率准线方程渐近线方程 （2）要点诠释1范围、对称性 由标准方程，从横的方向来看，直线x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心 2顶点顶点：特殊点：实轴：长为2a, a叫做实半轴长虚轴：长为2b，b叫做虚半轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异3渐近线过双曲线的两顶点，作Y轴的平行线，经过作X轴的平行线，四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是（），这两条直线就是双曲线的渐近线 4等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率 等轴双曲线可以设为：，当时交点在x轴，当时焦点在y轴上5共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定是：或写成 6双曲线的草图具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线7离心率双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率 范围：双曲线形状与e的关系：，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔 8共轭双曲线以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 区别：三量a,b,c中a,b不同（互换）c相同共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1 共用同一对渐近线的双曲线的方程具有什么样的特征：可设为，当时交点在x轴，当时焦点在y轴上 9 双曲线的第二定义：到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e是双曲线的离心率10准线方程：对于来说，相对于左焦点对应着左准线，相对于右焦点对应着右准线；位置关系： 焦点到准线的距离（也叫焦参数） 对于来说，相对于上焦点对应着上准线；相对于下焦点对应着下准线11.双曲线的焦半径定义：双曲线上任意一点M与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径焦半径公式的推导：利用双曲线的第二定义，设双曲线，是其左右焦点则由第二定义：， 同理 即有焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式：同理有焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式： （ 其中分别是双曲线的下上焦点）点评：双曲线焦半径公式与椭圆的焦半径公式的区别在于其带绝对值符号，如果要去绝对值，需要对点的位置进行讨论。两种形式的区别可以记为：左加右减，上减下加（带绝对值号）12焦点弦：定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦焦点弦公式：可以通过两次焦半径公式得到：设两交点当双曲线焦点在x轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关：过左焦点与左支交于两点时： 过右焦点与右支交于两点时：当双曲线焦点在y轴上时，过左焦点与左支交于两点时：过右焦点与右支交于两点时：13通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦直接应用焦点弦公式，得到 14.直线与双曲线的位置关系精题精讲【例1】求双曲线的顶点坐标、焦点坐标，实半轴长、虚半轴长和渐近线方程，并作出草图分析：只要紧扣有关概念和方法，就易解答解：把方程化为标准方程由此可知，实半轴长a1，虚半轴长b2顶点坐标是（1，0），（1，0） 焦点的坐标是(，0)，(，0)渐近线方程为，即 【例2】求与双曲线共渐近线且过的双曲线的方程分析：因所求的双曲线与已知双曲线共渐近线，故可先设出双曲线系，再把已知点代入，求得K的值即可解：设与共渐近线且过的双曲线的方程为则 ，从而有所求双曲线的方程为【例3】求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程解：把方程化为标准方程由此可知，实半轴长a4，虚半轴长b3焦点的坐标是(0，5)，(0，5)离心率渐近线方程为，即 【例4】 双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m，上口半径为13 m，下口半径为25 m，高55m选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1m) 分析：本题建立合适的坐标系是关键。注意到通风塔有三个特殊的截口圆：上口、下口、最小的一个截口。显然，最小截口圆的圆心是双曲线的中心，直径是双曲线的实轴，所以以最小截口直径所在直线为X轴，圆心为原点建立坐标系，则双曲线的方程具有最简单的形式。解：如图所示，建立直角坐标系xOy，使小圆的直径AA在x轴上，圆心与原点重合这时，上、下口的直径CC、BB平行于x轴，且|CC|=132(m)，|BB|=252(m)设双曲线的方程为令点C的坐标为(13，y)，则点B的坐标为(25，y55)因为点B、C在双曲线上，所以 且 解方程组，得 （负值舍去）代入方程，得化简得19b2275b181500 解方程(使用计算器计算)，得b25(m)所以所求双曲线方程为 点评： 这是一个有实际意义的题目解这类题目时，首先要解决以下两个问题：(1)选择适当的坐标系；(2)将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表达出来【例5】点p(x,y)与定点F2(c,0)的距离与到的距离之比为常数，求P的轨迹方程解：设d是点P到直线的距离根据题意得化简，得 （）这是双曲线的标准方程 【例6】已知双曲线的离心率为2，求它的两条渐近线的夹角.【解】 设实轴与渐近线的夹角为,则sec=2,即cos=,2=两渐近线的夹角为=.【点评】 （1）离心率e与的关系即cos=.（2）要注意两直线夹角的范围，否则将有可能误答为.【例7】设点P到点M（-1，0）、N（1，0）的距离之差为2m，到x轴、y轴的距离之比为2，求m的取值范围.【解】设点P的坐标为（x，y），由题意得=2，即y=2x(x0).P、M、N三点不共线.|PM|-|PN|0，0|m|0,0.0|m|a)如图87易求得N(b,) 图87tanNA1x=tanNA2x=tanNA1xcotNA2xtan（NA2x）又NA1x，NA2x均为锐角NA1x90NA2x，即NA1xNA2x90根据对称性，NA1MNA2M180（2）仿(1)可求得M(b，)1MA1A2N同理可证MA2A1N.【点评】 利用对称性把要证等式转化为证明NA2xNA1x90为本题证明的突破口，体现转化意识.【例10】已知双曲线=1(a0，b0)的焦点坐标是F1(c,0)和F2(c,0),P（x0,y0）是双曲线上的任一点，求证PF1=a+ex0,PF2=aex0，其中e是双曲线的离心率.【证明】 双曲线=1的两焦点F1(c,0)、F2(c,0)，相应的准线方程分别是x=和x=.双曲线上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个双曲线的离心率.化简得：PF1=a+ex0,PF2=aex0.【点评】 PF1、PF2都是双曲线上的点到其焦点的距离，习惯称作焦半径.PF1=a+ex0,PF2=aex0称作焦半径公式.【例11】在双曲线=1上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍.【解】 设P点的坐标为(x,y)，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点.双曲线的准线方程为x=.PF1=2PF2,P在双曲线的右支上，x=.把x=代入方程=1得：y=.所以，P点的坐标为(，)【点评】 此题也可用焦半径解答.【例12】己知L1、L2是过点P（-，0）的两条互相垂直的直线，且L1、L2与双曲线y2-x2=1各有两个交点，且分别为A1、B1和A2、B2.（1）求L1的斜率k1的取值范围；（2）若A1恰是双曲线的一个顶点，求| A2B2|的值.分析：本题涉及了两个基本问题：一是直线与双曲线相交于两点的判定问题，二是直线被双曲线截得的弦长问题（连续曲线上两点的线段叫曲线的弦）.前一个问题的思想是：直线与双曲线相交于两点方程组有两解一元二次方程有两个不等的实根判别式0;后一个问题的通常解法是不求交点坐标，当方程组经过消元化为一元二次方程后，利用一元二次方程根与系数的关系来解，即|AB|= =（其中k为直线的斜率）.解：（1）据题意，L1、L2的斜率都存在，因为L1过点P（-，0），且与双曲线有两个交点，故方程组有两个不同的解.在方程组中，消去y，整理得（k12-1）x2+2k12x+2k12-1=0. 若k12-1=0,直线与双曲线的渐近线平行，与双曲线只有一个交点，与题设矛盾.故k12-10，即|k1|1.方程的判别式为1=（2k12）2-4(k12-1)(2k12-1) =4(3k12-1).设L2的斜率为k2，因为L2过点P（-，0），且与双曲线有两个交点，故方程组 有两个不同的解.在方程组中消去y，整理得（k22-1）x2+2k22x+2k22-1=0. 同理有k22-10，2=4（3k22-1）.因为L1L2，所以有k1k2=-1,于是L1、L2与双曲线各有两个交点的充要条件是k1（-，-1）（-1，-）（，1）（1，）.（2）双曲线y2-x2=1的顶点为（0，-1）、（0，1），取A1（0，1）时，有k1(0+)=1.解得k1=.k2=-,代入方程得x2+4x+3=0. 设L2与双曲线的两个交点的坐标为A2（x1,y1）、B2（x2,y2）,则x1+x2=-4,x1x2=3.|A2B2|= =3.当取A1（0，-1）时，由双曲线y2-x2=1关于x轴对称，知|A2B2|=2.L1过双曲线的一个顶点时，|A2B2|=2.注意：直线方程与双曲线方程消去y后，得（k12-1）x2+2k12x+2k12-1=0，绝对不能忽视对k12-1是否为零的讨论，仅仅从形式上认为是二次方程而去谈论和根与系数的关系是毫无意义的，所以在解题过程中用反证法证一下k12-10是非常必要的.基础达标：1.(2003年高考文科卷第6小题)双曲线虚轴的一个端点为M,两个焦点F、F2，F1MF2=120，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 答案：B2.中心在坐标原点，离心率为的圆锥曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为（ ）A.y=xB.y=xC.y=xD.y=x【解析】 =,.双曲线的焦点在y轴上，双曲线的渐近线方程为y=x.所求双曲线的渐近线方程为y=x.【答案】 D3.以y=x为渐近线的双曲线方程不可能是（ ）A.4x2-9y2=1 B.4y2-4x2=1 C.4x2-9y2=(R且0) D.9x2-4y2=1【答案】B4.焦点为(0，6)且与双曲线y2=1有相同渐近线的方程是（ ）A.B.C.D.【解析】 设所求双曲线的方程为=1.双曲线的一个焦点为(0，6)在y轴上，0,2=36,=12.所求双曲线方程是.【答案】 B5.双曲线=1与=（0）有相同的（ ）A.实轴 B.焦点 C.渐近线 D.以上都不对【答案】C6.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲线的标准方程为（ ）A.=1B.=1C.=1D.=1【解析】 由方程组得a=2,b=2.双曲线的焦点在y轴上，双曲线的标准方程为=1.【答案】 B7.双曲线与椭圆=1有相同的焦点，它的一条渐近线为y=x，则双曲线方程为（ ）A.x2y2=96B.y2x2=160C.x2y2=80D.y2x2=24【解析】 由椭圆=1得其焦点坐标为(0，4)、(0，4).双曲线的焦点在y轴上，双曲线的一条渐近线为y=x，a=b，而c=4,a2+b2=(4)2,2a2=48，a2=24,b2=24,双曲线的方程为y2x2=24.【答案】 D8.实轴长为4且过点A(2，5)的双曲线的标准方程是（ ）A.=1B.=1C.=1D.=1【解析】 2a=4,a=2,双曲线的焦点在x轴上时，则应有双曲线上的点的横坐标x应满足x2.而A点的横坐标为2，不满足x2.双曲线的焦点应在y轴上.设双曲线的方程为=1.点A(2，5)在双曲线上，=1，b2=16，双曲线的方程为=1.【答案】 B9.双曲线的离心率为，则双曲线的两条渐近线的夹角是（ ）A.45B.30C.60D.90【解析】 由特征三角形OA1B1知，cosOA1B1=，OA1B1=45,两渐近线的夹角为90.【答案】 D10.双曲线=1的准线方程为（ ）A.x=B.y=C.x=D.y=【解析】 双曲线的焦点在y轴上，双曲线的准线方程为y=.【答案】 B11.双曲线=1的焦点到准线的距离是（ ）A.B.C.或D.或【解析】 a2=9,b2=7,c=4,双曲线的焦点坐标是(4，0)，准线方程是x=.双曲线的焦点到准线的距离为4和4.【答案】 C12.准线方程为y=1，离心率为的双曲线的方程是（ ）A.2x22y2=11B.x2y2=2C.y2x2=2D.y2x2=2【解析】 双曲线的准线方程为y=1，离心率为，双曲线的焦点在y轴上，方程是标准方程，且=1,.a=,c=2,b2=2.双曲线的方程为=1.即y2x2=2.【答案】 C13.如果双曲线=1上一点P到它的右焦点的距离为8，那么P到它的右准线距离是（ ）A.10B.C.2D.【解析】 双曲线的离心率e=,设所求距离为d,则,d=.【答案】 D14.双曲线的实轴长等于_，虚轴长等于_，焦点坐标是_，离心率是_，渐近线方程是_ .答案：2 4 F1（-3，0），F2（3，0） y=x15.双曲线2mx2my2=2的一条准线是y=1,则m的值为_.【解析】 可知双曲线的焦点在y轴上.m0双曲线方程可化为=1,因此a2=,b2=,c2=准线是y=1 a2=c即=解得m=.【答案】 16.已知双曲线的离心率等于2，且过点M（2，-3），此双曲线标准方程是_.答案：17.双曲线的焦距是两准线间距离的4倍，则此双曲线的离心率等于_.【解析】 2c=4 c2=4a2,e2=4,e=2【答案】 218.已知双曲线的渐近线方程为y=x，则双曲线的离心率为 .【解析】双曲线的渐近线方程为y=x，或.当时，e=；当时，e=.【答案】或19.若点P在双曲线x2-=1上，则P到双曲线的渐近线的距离的取值范围是 .【解析】双曲线的一条渐近线的方程是3x-y=0，由渐近线的性质知，当P点是双曲线的一个顶点时，P到渐近线的距离最大，双曲线的顶点坐标是（1，0），P到渐近线的距离的最大值为=.【答案】0，20.已知双曲线的实轴长与虚轴长相等，则双曲线的离心率为 .【解析】2a=2b，a=b.c=a.=.【答案】21.求与双曲线=1有共同的渐近线，并且经过点（3，2）的双曲线方程.【解】 所求双曲线与双曲线=1有相同的渐近线，可设所求双曲线的方程为=(0).点(3，2)在双曲线上，=.所求双曲线的方程为=1.8.双曲线=1与直线y=kx1只有一个公共点，求k的值.【解】 直线y=kx1过(0，1)点，若使直线与双曲线只有一个公共点，必须直线与双曲线的渐近线平行或直线与双曲线相切.当直线与渐近线平行时，双曲线的渐近线方程是y=x.k=.当直线与双曲线相切时，（49k2）x218kx4500即(18k）24（49k2)450解之：k综上可知：k或k.22.过双曲线1的右焦点作一条渐近线的平行线，它与此双曲线交于一点P，求P与双曲线的两个顶点A、A所构成的三角形的面积.【解】 双曲线的右焦点为(5，0)，渐近线方程为0.由得y.23.双曲线与圆x2+y2=17有公共点A（4，-1），圆在A点的切线与双曲线的渐近线平行，求双曲线的标准方程.【解】点A与圆心O的连线的斜率为-，过A的切线的斜率为4.双曲线的渐近线方程为y=4x.设双曲线方程为x2-=.点A（4，-1）在双曲线上，16-=，=.双曲线的标准方程为=1.综合发展：1一对共轭双曲线的离心率分别是e1和e2，则e1+e2的最小值为 （ ）A. B.2 C.2 D.4解析：设这对共轭双曲线的方程为和(a0,b0)e1=,e2=(e1+e2)2= 2+2+22=8当且仅当a=b时，等号成立.从而当a=b时，e1+e2取得最小值，而且最小值为2.答案：C2.一条双曲线的两条渐近线的夹角为2arctan,则该双曲线的离心率为 （ ）A.或 B.或C.或 D.解析：两条直线夹角指的是两条直线相交所成的锐角或直角，设两条渐近线的夹角是，则=2arctan,从而tantan=或e= 即：e=或e=答案：C3.双曲线的两个焦点分别是(0，5)、(0，5)，离心率为1.5，则双曲线的方程为（ ）A.=1B.=1C.=1D.=1【解析】 c=5, =1.5,c=5,a=,b2=c2a2=,双曲线的焦点在y轴上，双曲线的方程为=1.【答案】 B4.平面内动点P到两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数2a,则动点P的轨迹是（ ）A.双曲线B.双曲线或两条射线C.两条射线D.椭圆【解析】 2a=F1F2时为两条射线；2aF1F2时为双曲线.【答案】 B5.如果双曲线经过点（6，），且它的两条渐近线方程是x3y=0，那么该双曲线的方程是（ ）A.y2-=1 B.y2-=1 C.-y2=1 D.-=1【解析】设双曲的方程为-y2=，点（6，）在双曲线上，-()2=，=1.【答案】C6.设双曲线1（0ab）的半焦距为c，设直线l过（a,0）和(0，b)两点.已知原点到直线l的距离为c，则双曲线的离心率为（ ）A.2B.C.D.【解析】 由题意：ab=c2，a2（c2a2）c4整理得：3e416e2160，解之得e24或e2又0aba2c2a2c22a2e22故e24，e2.【答案】 A7.已知双曲线的渐近线方程为3x4y=0，一条准线方程为5y-9=0，则双曲线的方程为（ ）A.=1 B.=1 C.=1 D.=1【解析】由及，得a=3，b=4，c=5，双曲线的方程为=1.【答案】A8.如果双曲线=1上一点阵字库P到左焦点的距离为9，则P到右准线的距离为（ ）A. B.9 C. D.【解析】双曲线的离心率为e=.设P点的横坐标为x0，则由焦半径公式得9=|5+x0|=-5-x0，x0=-.右准线的方程为x=，P到右准线的距离为+=.【答案】D9.双曲线的焦点是（,0）,渐近线方程是y=x,则它的两条准线间的距离是（ ）A.B.C.D.【解析】 c=, ,a2=8,两准线间的距离为.【答案】 A10.双曲线的两条准线把两焦点所连线段三等分，则它的离心率为（ ）A.B.C.D.2【解析】 22c,.【答案】 B11.已知点P在双曲线=1上，则（ ）A.P到双曲线中心的距离的最小值为9 B.P到双曲线的准线的最小距离为3C.P到双曲线的焦点的最小距离为2 D.P到双曲线的焦点既没有最大值也没有最小值【解析】a=3，b=4，c=5.双曲线的一个焦半径公式为|PF|=|3-x0|=|x0-3|.x03或x0-3，当x0=3时，|PF|min=2.【答案】C12.对于双曲线=1(a0，b0,c=)填充下列各题：(1)它的准线与渐近线交点到中心的距离等于_；(2)它的焦点到渐近线的距离等于_；(3)它的虚轴的端点到顶点的距离等于_；(4)它的焦点到相应准线的距离等于_；(5)当离心率e时，用e表示两渐近线的夹角的正切的表达式是_.【答案】 （1）a （2）b （3）c （4） （5）13.准线方程为x+y=1，相应的焦点为（1，1）的等轴双曲线方程是_.【解析】 等轴双曲线的离心率e=,由双曲线的第二定义，得方程为,化简得xy=.【答案】 xy=14.双曲线=1的准线和渐近线的交点到双曲线中心的距离等于_.【答案】 a15.双曲线=1上有点P，F1、F2是双曲线的焦点，且F1PF2=,则F1PF2的面积是_.【解析】 2a=8,2c=10,（PF1PF2）2=64, 在PF1F2中，由余弦定理得PF12+PF222PF1PF2cos=100 并整理得PF1PF2=36.=PF1PF2sin=9.【答案】 916.已知双曲线x23y2=3上一点P到左右焦点的距离之比为12,求P点到右准线的距离.【解】 设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，则有解得又设点P到右准线的距离为d，则d=6即点P到右准线的距离为6.17.过双曲线=1的焦点F(c,0)作渐近线y=x的垂线，求证：垂足H在与此焦点相对应的准线x=上.【证明】 过F与y=x垂直的直线的方程是y=(xc).由方程组得即H点的坐标是()，H在直线x=上.18.已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)（1）求此双曲线方程；（2）若直线系kxy3k+m=0(其中k为参数)所过定点M恰在双曲线上，求证：F1MF2M.【解】 (1)e21可设双曲线方程为x2y2，点(4，)在双曲线上，42106因此所求双曲线方程为x2y26.（2）直线系k(x3)+(my)=0过定点M(3，m)在双曲线上，3226，.M(3,)又双曲线焦点F1（2，0）、F2（2，0），1，F1MF2M.19.已知双曲线=1(a0,b0)的左右两个顶点分别为A、B，过双曲线右焦点F且与x轴垂直的直线交双曲线于两点P、Q.若APB=arctan,b=1，求双曲线方程.【解】 将x=c代入双曲线方程y2=1,得：y=,设P（c,)在RtPFA中，tanAPF=a(c+a)在RtPFB中，tanBPF=a(ca)tanAPB=tan(APFBPF)=又APB=arctantanAPB=a2=3所求双曲线方程为y2=1.20.如图89，直线l交双曲线1及其渐近线于A、D、B、C四点，求证：ABCD.【证明】 当直线l的斜率不存在时，依据对称性知ABCD，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m.由,得（b2a2k2）x22a2kxa22a2b20 AD中点M横坐标为xM 图89由,得BC中点N横坐标为xN，xMxN，而M、N均在直线l上，M、N重合，ABCD综上ABCD.21.已知直线yax1与双曲线3x2y21交于A、B两点，(1)若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值；(2)是否存在这样的实数a，使A、B两点关于直线y=x对称?若存在，请求出a的值，若不存在，说明理由.【解】 (1)由消去y得（3a2）x22ax20 依题意,即a且a 设A(x1，y1)，B（x2，y2）则 以AB为直径的圆过原点，OAOBx1x2y1y20，但y1y2a2x1x2a（x1x2）1由、x1x2，x1x2（a21）a10解得a1且满足.(2)假设存在实数a