分段线性插值与三次样条插值法.doc

实验报告实验项目插值法实验日期2016/9/30理论内容分段线性插值与三次样条插值授课日期2016/9/0实验室名称文理管203微机编号E1实验目的及要求：1、 学会常用的插值方法，求函数的近似表达式，以解决其它实际问题；2、 明确插值多项式和分段插值多项式各自的优缺点；3、 熟悉插值方法的程序编制；如果绘出插值函数的曲线，观察其光滑性。实验内容：编写分段线性插值法及三次样条插值法通用子程序，依据数据表2.02.12.22.32.41.4142141.4491381.4833401.5165751.549193构造相应的插值多项式，并计算函数在的近似值。实验步骤及程序： 1、分段线性插值法流程图是否是输入xi,yi,i=1,n及xia1,ibnib-ia1?imia+ib2的整数部分xmx?iaimibim执行求拉格朗日插值的程序，计算以ia,ib为节点的线性插值函数在插值点的函数值P1x输出p1(x)否2、分段线性插值法源程序：function f = fenduan(,)x=2.0 2.1 2.2 2.3 2.4;y=1.414214 1.449138 1.483340 1.516575 1.549193;y_1=0.5*y.(-0.5);x0=2.15;f = 0.0;if(length(x) = length(y) if(length(y) = length(y_1) n = length(x); elsedisp(y和y的导数的维数不相等！); return; endelsedisp(x和y的维数不相等！); return;end for i=1:n if(x(i)=x0) index = i; break; endend h = x(index+1) - x(index); fl = y(index)*(1+2*(x0-x(index)/h)*(x0-x(index+1)2/h/h + . y(index+1)*(1-2*(x0-x(index+1)/h)*(x0-x(index)2/h/h; f = fl; 3、三次样条插值法流程图是输入数据flagflag=1？flag=2？flag=3？输出失败信息执行子程序“第一类边界下的样条三次插值”执行子程序“第二类边界下的样条三次插值”执行子程序“第三类边界下的样条三次插值”是是否否否4、三次样条插值法源程序functionyy, b, c, d=spline3(,)%三次样条插值函数 %(x,y)为插值节点，xx为插值点；%flag表端点边界条件类型：%flag=0:自然样条(端点二阶导数为0)；%flag=1:第一类边界条件(端点一阶导数给定)；%flag=2:第二类边界条件(端点二阶导数给定)；%vl,vr表左右端点处的在边界条件值。 %样条函数为：Si(x)=yi+bi*(x-xi)+ci*(x-xi)2+di*(x-xi)3%b,c,d分别为各子区间上的系数值%yy表插值点处的函数值.x=2.0 2.1 2.2 2.3 2.4;y=1.414214 1.449138 1.483340 1.516575 1.549193;xx=2.15;flag=0;vl=2.0;vr=2.4;if length(x)=length(y)n=length(x);a=zeros(n-1,1); b=a;d=a;dx=a;dy=a;A=zeros(n);B=zeros(n,1);endfor i=1:n-1a(i)=y(i);dx(i)=x(i+1)-x(i);dy(i)=y(i+1)-y(i);endfor i=2:n-1 A(i,i-1)=dx(i-1); A(i,i)=2*(dx(i-1)+dx(i); A(i,i+1)=dx(i); B(i,1)=3*(dy(i)/dx(i)-dy(i-1)/dx(i-1);end%自然样条端点条件(端点二阶导数为零)%if flag=0; A(1,1)=1; A(n,n)=1;end%-%端点一阶导数条件%if flag=1 A(1,1)=2*dx(1); A(1,2)=dx(1); A(n,n-1)=dx(n-1); A(n,n)=2*dx(n-1); B(1,1)=3*(dy(1)/dx(1)-vl); B(n,1)=3*(vr-dy(n-1)/dx(n-1);end%-%端点二阶导数条件%if flag=2 A(1,1)=2; A(n,n)=2; B(1,1)=vl; B(n,1)=vr;end%-%c=AB; for i=1:n-1 d(i)=(c(i+1)-c(i)/(3*dx(i); b(i)=dy(i)/dx(i)-dx(i)*(2*c(i)+c(i+1)/3;endmm,nn=size(xx);yy=zeros(mm,nn);for i=1:mm*nn for ii=1:n-1 if xx(i)=x(ii) & xx(i)x(ii+1) j=ii; break; elseif xx(i)=x(n) j=n-1; end end yy(i)=a(j)+b(j)*(xx(i)-x(j)+c(j)*(xx(i)-x(j)2+d(j)*(xx(i)-x(j)3;endend结果分析与讨论：运用MATLAB分别对分段线性插值和三次样条插值进行编程的到数值均为1.4664说明实验结果准确无误，通过实验可以得出，在低阶方程的求解中，两种方法均能精确的得到近似解，但是在高阶方程的求解中三