三角形重心是三角形三边中线的交点.doc

三角形重心是三角形三边中线的交点。当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。中文名三角形重心定义是三角形三边中线的交点性质比例重心到对边中点的距离之比为2：1应用领域几何目录1性质证明2顺口溜3向量关系1性质证明编辑1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。证明一例：已知：ABC，E、F是AB，AC的中点。EC、FB交于G。求证：EG=1/2CG证明：过E作EHBF交AC于H。AE=BE，EH/BFAH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理)又 AF=CFHF=1/2CFHF:CF=1/2EHBFEG:CG=HF:CF=1/2EG=1/2CG证明二2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。证明方法：在ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA、BOB、COC分别为a、b、c边上的中线。根据重心性质知，OA=1/3AA，OB=1/3BB，OC=1/3CC，过O，A分别作a边上高OH，AH,可知OH=1/3AH 则，SBOC=1/2OHa=1/21/3AHa=1/3SABC；同理可证SAOC=1/3SABC，SAOB=1/3SABC，所以，SBOC=SAOC=SAOB3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 (等边三角形）证明方法：设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x，y） 则该点到三顶点距离平方和为：(x1-x)2+(y1-y)2+(x2-x)2+(y2-y)2+(x3-x)2+(y3-y)2=3x2-2x(x1+x2+x3)+3y2-2y(y1+y2+y3)+x12+x22+x32+y12+y22+y32=3x-1/3*(x1+x2+x3)2+3y-1/3*(y1+y2+y3)2+x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时上式取得最小值x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2最终得出结论。4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其坐标为(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3；空间直角坐标系横坐标：(X1+X2+X3)/3，纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3，纵坐标：（Z1+Z2+Z3）/35、三角形内到三边距离之积最大的点。6、在ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量） ，则M点为ABC的重心，反之也成立。7、设ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）2顺口溜编辑三条中线必相交，交点命名为“重心”重心分割中线段，线段之比二比一；3向量关系编辑O是重心，向量OA+向量OB+向量OC=零向量。词条标签：数学，理学三角形重心图册当且仅当三角形是正三角形的时候，重心、垂心、内心、外心四心合一心，称做正三角形的中心。三角形只有五种心重心:三条中线的交点,三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍；重心分中线比为1：2（也称中心）；垂心:三角形三条高的交点;内心:三条角平分线的交点,是三角形的内切圆的圆心的简称; 到三边距离相等外心:三条中垂