普通物理讲义1-5_50850401.pdf

普物 1 讲义 2005 1 15 第七章 狭义相对论基础 十九世纪末到二十世纪初 物理学发生了彻底的革命性的创 新和变革 从古典物理学发展为近代 现代物理学 建立起 相对论和量子理论 这在整个自然科学史上都是前无古人后 无来者 100 年前 1905 年 爱因斯坦发表了 4 篇论文 提出了狭义 相对论 光量子论 气体动理论等 成为二十世纪初物理学 辉煌成就的标志 于是 2005 年成为国际物理年 记念百年物理的辉煌 1 狭义相对论的基本原理 相对论以相对性原理为基础 并以之为名 1 古典力学时空观 力学相对性原理 古典力学时空观 空间和时间彼此无关 相互独立 与物质无 关 长度和时间间隔大小都是绝对的 伽利略变换 令 t t 0 时 o o 重合 按古典时空观 长度 时间不变 t t or r r R 由此 vx vx u vy vy vz vz or v v u ax ax ay ay az az or a a 力学相对性原理 伽利略相对性原理 所有力学规律在各个惯 性系都相同 惯性系在力学上平等 力学相对性原理数学体现 牛顿定律在各个惯性系的形式都 相同 或者说在伽利略变换下保持不变 对加利略变换协变 S 系 F ma F F m m a a S 系 F m a 经典力学体系与古典时空观相互呼应 和谐 统一 2 电磁理论引起的困惑 1860年 得到麦克斯韦方程组 没有伽利略变换下的协变性 不满足力学相对性原理 突出体现 光在真空中传播定律 光在真空中的光速为常 数 C 与传播方向 光源的运动无关 与惯性系的选择无关 迈克尔逊 莫雷 Michelson Morley 的光波干涉实验 迈克 尔逊在 1881 年 迈克尔逊和莫雷一起在 1887 年做 明确无 误地证实 在地球上真空中光速是与方向无关的常数 3 爱因斯坦相对性原理与光速不变原理 狭义相对论的基本原理 爱因斯坦分析了所有的实验事实后认为 它们已确切无疑地证实电磁理 论 真空光速不变原理是正确的 满足相对性原理 错误的是经典力 学 古典时空观 两条基本假设作为狭义相对论的基础 1 狭义相对性原理 爱因斯坦相对性原理 一切物理规律 对所有惯性系都相同 不存在任何一个特殊的惯性系 2 光速不变原理 在任何惯性系中 光在真空中的光速都相 同 即光在真空中传播定律满足相对性原理 与此对应的是新的时空观 惯性系之间的坐标变换为洛仑兹 变换 电磁学理论具有洛仑兹变换下的协变性 即满足狭义 相对性原理 牛顿力学在洛仑兹变换下不协变 不满足狭义 相对性原理 必须加以修改 一切物理规律都满足相对性原理 一切新发现的 新建立的 物理定律首先必须满足狭义相对性原理 下面直接由两条基本原理 特别是光速不变原理讨论新的时 空观 4 同时性的相对性 相对论时空观的精髓 爱因斯坦指出 时间的概念来自同时性 按古典时空观同时性是绝对的 t 是不变量 时 空联系 用事件描述 时空点 事件发生的时刻 地点 1 同时性的相对性 1 光源 M 和接收点 A1 A2 固定在 S 系 A1 M A2 M l 某时刻 M 发光 S 系 A1 A2 同时接收到光信号 即事件 1 2 A1 A2 收到光 信号 在 S 系看来同时发生 S 系 A1M A2M l A1 A2 M 是在 M 发光时刻在 S 系测量的 A1 A2 M 的位置 光一旦发出 就以同样的速度向左 右传播 与 M 不再有 任何关系 A1迎 A2背离 事件 1 先 事件 2 后 2 光源 M 及接收点 A1 A2固定在 S 系 A1M A2M l 某时刻 M 发光 y y u x x x x o o ut x x ut y y z z yy u A1 A2 M o o x x 普物 1 讲义 2005 2 15 S 系看 1 2 事件同时 S 系看 2 迎 1 逃 2 先 1 后 即 在某系同时发生的两事件 在另系看不再同时发生 其中 运动前方事件后发生 同时性的相对性 特殊 同一地点发生的两事件 或 x 坐标相同的两地点的两事 件的同时性与参考系无关 2 动长 静长 同时性的相对性的直接结果 S 系 杆静止 长度 l x2 x1 静长 S 系 同时测 x1 x2 长度 l x2 x1 动长 谁长 谁短 S 系无法判断 S 系观察者判断 测 x2先 测 x1后 l l 特殊 垂直于运动方向的长度测量与参考系无关 3 定量计算运动时钟变慢 发射 反射 接收装置都固定在 S 系 S 系 t 2l c 原时 间隔 原时 间隔 同一地点或同一只钟测量的两事件之间的时间间隔 S 系 t 2l c 2 l 2 u2 t 2 2 1 2 c 解出 t 2l c2 u2 1 2 t uc 1 22 非原时 即 运动时钟变慢 t t2 y x x2 x1 u t1 t2 t2 t1 S 系观点 S 系观点 t1 t1 P y x x u o o y y u x x y y u A1 A2 M o o x x 普物 1 讲义 2005 3 15 1 1 22 uc 洛仑兹坐标 正 变换 x x ut x ut 1 22 uc y y z z t t ux c2 t ux c2 1 22 uc 将 u 换成 u 即得洛仑兹坐标逆变换 x x ut x ut 1 u2 c2 1 2 y y z z t t ux c 2 t ux c2 1 u2 c2 1 2 可见 t x 相关 不存在绝对时空 u c 0 时 1 洛仑兹变换 伽利略变换 由 表达式必须 u c 惯性系 实体 的速度t1 t 0 S 系中 t t u x2 x1 c2 1 u c x t 2 t 1 若两事件无因果关系 x 与 t 没有关联 x t 可取任意值 可以 t 0 时序不变 也可以 t 0 即有因果关系的事件之间时序不会颠倒 3 运动时钟变慢和运动长度缩短 利用洛仑兹变换普遍 严格讨论 测量必须在事件发生地当地当时进行 整个坐标系中每一点放置时钟和 尺子 同一坐标系中时钟校准同步 但是在同一时刻观察其他坐标系的 时钟 读数都不相同 由洛仑兹坐标变换看到 1 运动时钟变慢 用对表方法直接比较两 系时钟走时快慢 1 S 系立场 S 系中用 A1 A2两时钟与 S 系中时钟 A 对表 来确定 S 系时 钟走时快慢 由于 S 系自己的时钟都已校准 所以 S 系认为用自己系中两个不同时钟 来对表是合理的 事件 1 A1 A 对表 x1 t1 x1 t1 事件 2 A2 A 对表 x2 t2 x2 t2 x1 x2 t t2 t1 t2 t1 t 原时 本来是求 t 考虑到 x1 x2 用逆变换求 t 技巧 S 系的观察者确认 S 系的时钟也就是运动的时钟走得慢了 表示 S 系中 的时间节奏也变慢了 如图 事件 1 t1 t1 0 00 事件 2 t2 4 00 t2 3 00 说明 运动时钟变慢 是相对论效应 由相对运动引起对时间间隔测量的结 果不同 并非运动的钟表本身结构或性能发生变化 2 S 系 立场 S 系不承认 S 系的对表结果 在 S 系观察 事件 1 发生时 A1 A2两时钟读数不同 因此在 S 系立场上分析 上述对表结 果毫无意义 如图 事件 1 t1 t1 0 00 同时 A2读数 1 45 事件 2 t2 4 00 t2 3 00 因此 S 系认为 自己时钟走 3h S 系时钟走 9 4 h 在 S 系立场上讨论 S 系时钟的走时快慢 必须用 S 系两个时 钟与 S 系一个时钟对表 结果当然是 S 系时钟变慢 这也符合相对性原理 两个坐标系的时钟快慢也是相对的 2 运动长度缩短 y y u A A1 A2 x x y y u A A1 A2 x x 事件 1 事件 2 y y u A A1 A2 x x 事件 1 y y A A1 A2 x x 事件 2 u 普物 1 讲义 2005 4 15 S 系测沿 X 方向静置在 S 系中杆长 同时测其两个端点的坐 标 事件 1 2 坐标为 x1 t1 x1 t1 和 x2 t2 x2 t2 其中 t1 t2 S 系测的杆长 动长 为 l x2 x1 S 系测的杆长 静长或原长 为 l x2 x1 x2 x1 l 即 运动方向上的动长小于静长 运动中杆的长度的缩短也是相对论效应或是测量效应 狭义相对论的时空关系 以及运动时钟变慢 运动长度缩短的推论 在 自然界得到广泛验证 特别是在高能粒子领域 微观粒子速度可以接 近光速 相对论效应十分显著 例1 介子静止时的平均寿命约 2 5 10 8 秒 衰变为 子和 中微子 以速度 u 0 99c 运动的 介子 衰变前运动距离平 均约为 l 52m 解释之 u 7 4m l 解释 l 为地面测量值 t 7 09 l u t u 52 6 m 观测值 例2 10 7 题 S 系中 AB 静长 l0 A 发光 B 反射 C 接收 分别在 S 和 S 系求 光线 A B A B C 所须时间 解 事件 1 发光 事件 2 反射 事件 3 接收 S 系 t2 t1 l0 c t3 t1 2l0 c S 系 t2 t1 t2 t1 u xB xA c2 l0 c ul0 c2 l c 0 1 1 u c u c t3 t1 t3 t1 u 0 c2 t3 t1 2 l0 c 方程法 总结 1 讨论时空问题 首先要明确事件 时空坐标 即那两个事 件之间的时空间隔 2 原时 与非原时 t 两个事件在某参考系发生于同一地点 则在该系中测量它们 的时间间隔称为原时 这两个事件在另一些参考系发 生于不同地点 则在这些系中测量它们的时间间隔称为 非原时 t 原时 最短 t 1 u2 c2 1 2 其中 u 为某系与另一些系的相对速率 4 相对论的速度变换 由 Lorentz 坐标变换微分得到 dx dx u dt dy dy dz dz dt dt u dx c2 1 u vx c2 dt 由 vx dx dt vy dy dt vz dz dt 得 vx vu uvc x x 1 2 vy v uvc y x 1 2 vz v uvc z x 1 2 u u 得 vx vu uvc x x 1 2 vy v uvc y x 1 2 vz v uvc z x 1 2 在相对论中 加速度不是不变量 变换公式繁复 用处很少 不再具有 牛顿力学中的优越地位 略去 例 真空光速不变和光行差 固定在 S 系的光源 M 发出 1 2 两条 光线 已知在 S 系 1 光线 vx c vy vz 0 2 光线 vx vz 0 vy c 则在 S 系 1 光线 vx c u 1 u c2 c c vy vz 0 c vx c 2 光线 vx u vy c 1 22 uc c vz 0 c vx 2 vy 2 vz 2 1 2 c tg vx vy u cu 22 光行差 同一条光线在不同惯性系观察 传播速度大小相同 方向可以改变 这 个现象在天文学上早就发现 称为光行差现象 3 相对论动力学基础 动量定理 动能定理 角动量定理 以及相应的守恒定律是整个物理学 的基本规律 狭义相对论动力学也以它们为基础 在狭义相对论中只须对牛顿第二定律加以修正 由于同时性具有相对性 相对论力学中只讨论没有超距作用 的理论 所以只讨论一个质点的运动 或是多个质点的碰撞 1 相对论动量 动量守恒和动量定理 质点速度 v 牛顿质量 牛顿力学意义下 m0 y y u M1 1 2 2 x B A u x l0 C 普物 1 讲义 2005 5 15 假设相对论动量 简称动量 为 P mv 质量 相对论质量 m m m0 v 应在低速下近似为牛顿质量m0 是 m0和 v 的函数 外界作用用 F 代表 定义 F dP dt 质点动量定理 微分形式 dP Fdt 积分形式 P P P0 t 0 Fdt 若 t1 t2 内总有 F 0 则在此期间 P 保持不变 即动量守恒 2 相对论质量 利用碰撞过程中动量守恒 能量守恒 以及动量守恒满足相 对性原理 可以得到相对论质量 m 的具体形式 质点 1 2 碰撞 在任意惯性系观测 碰撞过程动量守恒 S 系 m1 u1 u1 m2 u2 u2 m1 v1 v1 m2 v2 v2 S 系 m1 u1 u1 m2 u2 u2 m1 v1 v1 m2 v2 v2 y 分量 m1 u1 u1y m2 u2 u2y m1 v1 v1y m2 v2 v2y m1 u1 u1y m2 u2 u2y m1 v1 v1y m2 v2 v2y m u u uuc y x 111 1 2 1 m u u uuc y x 222 2 2 1 m v v uvc y x 111 1 2 1 m v v uvc y x 222 2 2 1 u1 u2任选 且碰撞条件不同 v1 v2也有任意性 故要同时满足 和上 式 对 m 的形式有严格的限制 若 mu uuc x 11 1 2 1 m1 u1 1 2 2 22 cuu um x m2 u2 m v uvc x 11 1 2 1 m1 v1 mv uvc x 22 2 2 1 m2 v2 则可同时满足两式 两式全同 上面四式代表一种统一的函数关系 质点在 S 和 S 系两系的 质量 m m 有以下的变换关系 质点速度分别为 v v m v 1 uvx c2 m v 1 1 2 22 uvc uc x m v 类似可讨论 z 分量 选择 式另一重要的理由 可使 m 的表达式具有洛仑兹变换 下的不变性 在不同惯性系具有相同的形式 由恒等式 1 uvx c2 1 1 22 22 vc vc 代入 式得 m v 1 22 vc m v 1 22 vc 常数 m0 常数与参考系无关 S 系 m v m vc 0 22 1 S 系 m v m vc 0 22 1 静止质量 m0 m 0 坐标变换不变量 当 v c 时 m v m0 m0 m0 当 m0 0 时 v c 当 v c 时 mo 0 光子 引力子 3 力与加速度关系与牛顿第二定律修正 m 非常数 F dP dt d mv dt m dv dt v dm dt ma v dm dt dm dt m0 d dt 1 v2 c2 1 2 m0 d dt 1 v v c2 1 2 1 22 cv m v a 1 22 cv v F v dm dt 解出 dm dt v c2 得 F ma v F v c 2 or a F m v F v mc 2 修正后的牛顿第二定律 除 F 方向加速度外还有 v 方向加速度 注意 此时 狭义相对论 把质量 m 称为 惯性质量 就不准确了 1 F v a F m v Fv mc2 F m0 1 v2 c2 3 2 2 F v a F m F m0 1 v2 c2 1 2 3 v c a F m0 F m0 牛II 例 静止质量为 m0的质点 从静止开始在恒力 F 作用下运动 求 v t 解 1 牛顿力学 v t at Ft m0 Ft m0 t 时 v 2 相对论 a dv dt F 1 v2 c2 3 2 m0 0 v 1 v2 c2 3 2 dv 0 t Fdt m0 v vc1 22 Ft m0 v t Ft mFtcm 00 2 1 t 很小 F t m0c 1 时 v t c 粒子速度 c 另法 由动量定理 mv 0 t 0Fdt F t 即 m v vc 0 22 1 F t 4 能量转化和守恒定律 相对论能量 1 由能量转化和守恒定律 m0 F x 1 1 2 2 u2 u1 v2v1 普物 1 讲义 2005 6 15 质点 m 速度 v 总能量 E 受合力 F 则 dE F dr F v dt d mc2 2 相对论能量 上式积分得相对论能量 E mc2 积分常数 爱因斯坦取积分常数为零 称 mc2为质点相对论 总 能量 即 E mc2 这是相对论力学的最重要的成就 它在自然科学理论中的重要性 它的 优美与简洁 无论如何评价都不过份 由此可以定义狭义相对论质量 m m E c2 3 静能 静止能量 E0 m0c2 4 动能 质点以 v 运动时总能量 E mc2 动能为 EK E E0 mc2 m0c2 v c 时 EK m0 1 v2 2c2 1 c2 m0v2 2 5 孤立系统能量守恒 孤立系统质量守恒 孤立质点系 m1 m2 mn 忽略粒子间相互作用能 则 E总 Ei mic2 mi c2 E总 常数 m总 mi 常数 孤立系统 是相对论质量守恒而不是静质量守恒 经典物理的质量守恒指的是静质量守恒 只有在一般的化学反应或低 能过程中静质量才近似不变 6 静质量减少 质量亏损 释放能量 1 静能概念 静能 静质量 粒子 如分子 原子 原子核 质心静止状 态下粒子所具有的总能 包括组成它的更小粒子的能量及其结合能 粒子不变则静能不变 粒子运动静能不变 粒子被激发后 总能 静能变化 若发生粒子反应 原粒子破坏产生新粒子 原来属于静能 静 质量 的更小粒子系统 子系统 结合能变化 于是静能 静质 量 变化 静能与动能转化 如果静质量减少 则静能转化 为动能释放 2 静 质量亏损与释放能量 设若干粒子组成的孤立系统发生粒子反应 忽略粒子间相互 作用能 反应前粒子 m1 前 m 2 前 m 3 前 反应后粒子 m1 后 m 2 后 m 3 后 由能量守恒 Ei 前 E i 后 m 0i 前 c2 E ki 前 m 0i 后 c2 E ki 后 令 静 质量亏损 m0 m 0i 前 m 0i 后 则获得动能 Ek Eki 后 E ki 前 m 0 c2 即 系统静能 静质量 的减少 等于系统动能的增加 化学反应中 E 几 eV m0c2 一般粒子 m0c2 GeV 质子 0 9 GeV m0 m0 10 9 10 11 可以忽略不计 例 热核反应 氘 D 氚 T 结合为 He 2 1H 3 1H 4 2He n E 2 1H 3 1H 4 2He 为粒子 更小粒子 子系统 为中子 质子 中子 质 子的结合能被释放 m0 mD mT mHe mn 3 11 10 29 kg E m0 c2 2 8 10 12 J m0 m0 10 2 质子 1 67 10 27 kg 1kg D T 放热 3 35 1014J 107kg 煤的燃烧热 优质煤燃烧值 3 107 J kg 5 相对论能量与动量关系 牛顿力学 势能 V 则能量 E 1 2 m0v2 V P m 2 0 2 V m0 0 由此式 E i t P i 得薛定谔方程 相对论 E2 P2c2 m02c4 P2c2 E02 相对论能量 动量关系 P2c2 E02 mvc 2 1 v2 c2 m2c4 m2c4 E2 重要性 1 m0是洛仑兹变换不变量 E2 P2c2 也是洛仑兹变换不变 量 2 取 m0 0 得静止质量为零的粒子的动量 P E c mc 即 静止质量为零的粒子的速度为 c 3 由此式 E i t P i 得到相对论的量子力学方程 克莱因 高登 Klein Gordon 方程 相对论动能的另一形式 EK E E0 E2 E02 E E0 P2 m m0 v 0 蓝移 迎 1 1 u c u c 0 0 红移 离 2 1 22 uc 0 0 红移 横向 2 相对论变换不变量 介绍 相对论变换不变量 就是经洛仑兹变换保持不变的量 不变量 守恒量 经典力学伽利略变换下不变量 长度 时间间隔 质量 加速度 力 角 度等等 1 时空间隔 简称间隔 S是最重要的相对论变换不变量 定义事件 1 2 的时空间隔平方为 s2 c2 t 2 x2 y2 z2 c2 t 2 l2 l2 x2 y2 z2 s2的不变性可由洛仑兹坐标变换直接验证 当两事件之间没有因果关系时 s2可正可负 当两事件有因 果关系时 由于 l t c 所以 s 2 0 例 两事件在 S 系中同时发生 距离 x x2 x1 1 m 在 S 系距 x x u y y M 普物 1 讲义 2005 8 15 离 x x2 x1 2 m 求 t 解 一般方法 t u x c2 0 匀速直线运动 x ct 常数 世界线是直线 光子速度 c 光子世界线上 s2 0 两条对角线 零世 界线 原点间隔为零的零世界线 两条零世界线将整个时空分成四个区 域 左 右两区域世界点 S20 时空间隔 称为类时的 在此区域时序不会颠倒 有因果关系事件 粒子运动轨迹在类时区 原点表现在 下方表过去 上方表将来 在四维闵氏空间里 零世界线构成光锥 t 0 时刻通过原点的 粒子 必然在类时区沿着时间轴从下向上运动 3 洛仑兹坐标变换 相当于闵氏图中坐标轴的旋转 结束 几个问题的讨论 1 长度问题 1 S 系中运动员从 A 处以匀速 v 跑 动 t 时间到达 B 处停止 分别在 S S 系计算运动员跑动路程 l l 解 S 系 l v t S 系 法 l 为原长 l 为非原长 l l 法 l v t v u uv c 1 2 t u x c2 v u t 法 起跑 事件 1 停止 事件 2 l x2 x1 x u t v u t 谁对谁错 错在那里 2 长度为 L0 的直杆沿 x 方向放置在 S 系 在 S 系同时测杆的首尾坐标 x2 x1 则 x2 x1 L0 求 S 系中这两个事件 测首尾坐标 的空间间隔 解 S 系中长度为动长 故该空间间隔 L x2 x1 x2 x1 L0 有问题 按前面原长 非原长的讨论 L0应为非原长 L 应为原长 所以正确结果 应为 L L0 or 由 Lorentz 变换 L x2 x1 x2 x1 L0 2 思 10 15 S系 地面 停放两艘全同飞船 图 同时点火 最后达到u 4c 5 停火为匀速飞行 请分别在 S S 以 u 运动 系描述飞船的初 末态 1 S 系观测的末态 5 3 2 S 系 以 u 运动 观测的初末态 x ct o x x A DC o B ct ct u 200m 60m x S 系观测 末态 u 4c 5 200m 100m x S 系观测 初态 静止 u 120m 60m x S 系观测 初态 u 4c 5 u y y v B x x A o o 过去 未来 x ct o P Q 普物 1 讲义 2005 9 15 3 火车 山洞静长皆 l0 车速 u S 系看 A a 相遇同时在 B 处放闸门 问是否击中 b S S 系讨论 解 1 S 系 车长 动长 l0 不能击中 2 S 系 车参考系 洞长 动长 t1 不一定击中 计算 事件 1 A a 相遇 xA t1 xa t1 事件 2 放闸 xB t2 t1 xB t2 x2 x1 xB xa xB xA l0 事件 2 时 b 坐标 xb xb xa l0 击不中 xb xB l0 1 or t l0u c2 u t l0 l0 l0 u2 c2 1 1 2 l0 1 4 S 系速度 u 0 6c S 系时钟 A B S 系时钟 A B A 与 B 相遇 两表皆为 0 00 过段时间 A A 相遇 A 为 2 00 此 时 S 系看 B B 也相遇 求 1 A A 相遇时 A 钟读数 2 B B 相遇时 B B 钟读数 5 4 几个事件 事件 1 A 与 B 相遇 xB t1 0 00 x A t1 0 00 事件 2 A 与 A 相遇 xA t2 x A t2 2 00 事件 3 B 与 B 相遇 xB t3 x B t3 t2 2 00 附 广义相对论和宇宙学 介绍 1 广义相对论的基本原理 问题 狭义相对论是惯性系理论 惯性系和非惯性系不平等 牛顿的引力理论不满足相对性原理 不是严格的引力理 论 时空仍然是孤立的 与物质脱离的 与爱因斯坦对时间 空间 物质的信念不符合 爱因斯坦 1907 年起历时八年到 1915 年建立了广义相对论 把相对性原理推广到任意参考系 建立了关于时间 空间 引力的理论 将时空与物质分布及其运动联系起来 使人类 对于自然界特别是时空的认识迈上新的台阶 1 等效原理 爱因斯坦从 m引 m惯出发 提出等效原理 一举解决 引力和加 速系问题 1 弱等效原理 密闭的小室中做自由落体实验 测出落体的加速 度为 g 二种可能 1 小室静止在地面 地球引力使落体具有加速度 g 2 小室在自由空间相对惯性系以 g 运动 小室参考系 惯性力产生 g 单凭小室内力学实验 无法区分是引力还是惯性力 即 局域上引力和惯性力在力学实验上等效 等效原理的 弱形式或称之为弱等效原理 实质上是 mi mg的另一表述 大区域上引力和惯性力可以区分 引力不均匀 惯性力均匀 2 强等效原理 爱因斯坦推广 大胆的假设 惯性力与引力的任何物理效应在局域内等效 强等效原理 简称等效原理 2 广义相对论中的局域惯性系 牛顿力学惯性系 是指惯性定律成立的参考系 广义相对论惯性系 狭义相对论成立的参考系或引力为零的 参考系 自由落体构成是局域惯性参考系 简称局惯系 3 广义相对性原理 相对性原理是整个相对论的基石 相对论分为狭义相对论和 广义相对论两部份 分别来自狭义和广义相对性原理 狭义相对性原理指出 一切物理规律对所有惯性系都相同 广义相对性原理 物理定律在一切参考系中都具有相同的形 式 或者说物理规律的表述都相同 4 光线偏折 时空弯曲 1 引力场中光线偏离直线传播 与引力是否对光子作用无关 局惯系 自由下落小室 看 光线沿直线 传播 引力场看 光线向右传播过程中 随 g g g 地球 1000 3 m 100m x S 系观测 末态 静止 l0 a AB b A A 和 B B 同时相遇 A B 相遇 2 00 0 00 S 系观测情况 B B A A u A B 0 00 A B u 普物 1 讲义 2005 10 15 小室以 g 向下加速运动 光线向下 引力方向 偏折 实验观测 恒星光在太阳引力场的偏折 1919 年 5 月 29 日日 全食 二组英国科学家首次测量光线偏折角 在西非几内亚 湾普林西比岛测量结果为 1 98 0 16 在巴西北部测量结果为 1 61 0 40 理论计算总偏向角 1 牛顿力学 d N 2 N 2 GM c R 2 0 875 2 广义相对论 d 2d N 4 GM c R 2 1 75 1919 年 5 月 29 日日全食 测量结果符合广义相对论予言举世 轰动 奠定了广义相对论的地位 后凡有日全食都要进行类 似观测 共测几百颗恒星的光线基本符合 2 时空弯曲 牛顿三维空间为欧几里德空间 狭义相对论四维时空为闵可 夫斯基空间 都是平直的 平直空间的特征是测地线 极值 线或短程线 指空间两点之间的各条连线中长度为极值的那 条路线 为直线 考虑时空弯曲后的完整广义相对论计算为 2 0 875 说明引 力使测地线弯曲偏离平直空间的直线 0 875 两种作用合 起来使光线偏离原来的直线 1 75 实验观测的事实 即支 持了广义相对论的预言 也直接地确切无疑地证实引力场中 的空间是弯曲的 5 爱因斯坦场方程 光线偏转实验确切无疑地证实引力场中的空间是弯曲的 引 力场如何决定时空的弯曲 爱因斯坦场方程 时空的性质由 引力 决定 即由产生引力的物质决定 爱因 斯坦场方程即表达物质及其运动与时空的几何结构的关系 R 1 2 g R 8 4 G c T 张量方程 在坐标变换下形式不变 左边为时空的弯曲曲率 右边为物质的分布和运动 方程表示 时空的弯曲 结构 由物质的分布及其运动决定 弱场情况下近似为牛顿的引力场方程 相当于牛顿的万有引 力定律 2 史瓦西场中的时间和空间 时间 空间 物质密不可分 其辨证关系在广义相对论中得到 了最充分的体现 1 弯曲空间概念 1 弯曲空间概念 平直空间几何学是欧几里德几何 测地线是直线 园周率和 三角形内角和都是 弯曲空间几何学为黎曼几何 三角形内角和不是 园周率也 不是 弯曲空间就是测地线不是直线的空间 置身于弯曲空间的人 看 不出也感觉不到所处空间的测地 线的弯曲 高维平直空间旁观者 直观地看到低维弯曲空间和与它同维 的平直空间的区别 在欧氏空间中直线是一维平直空间 曲 线是一维弯曲空间 圆周是曲率为正常数的一维弯曲空间 平面是二维平直空间 曲面是二维弯曲空间 球面是曲率为 正常数的二维弯曲空间 球面上测地线为大园曲线 球面三 角形 ABC 的内角和大于 以 P 点 为中心 测地线 PQ 弧长为半径 R 做圆周 球面上圆周率 2 2 r R r R r0的区域 为史瓦西场 坐标系 S ct r 用引力场中 处自由下落的局惯系 S0 ct0 x0 y0 z0 的钟和尺 依 次与引力场各处的标准钟 尺比较 同一个局惯系中的钟和尺不受引力影响 下落过程中保持不变 作为统 一的时间和长度基准 1 S0 ct0 x0 y0 z0 在无穷远处静止 x0沿 r 方向 S0系测的 dt0 dl 即 处的固有时和固有长度 S0系就相当于带着无穷远处 的钟 尺飞到引力场中校对各处的钟 尺 2 r 处 S0速率 v 为当地的局惯系 S0系两钟校准 S 系一个钟 S 系测为 d 原时 固有时 S0系测 dt0 非原时 由爱因斯坦假设 d 1 22 vc dt0 用 S0系尺子同时 量度 S 系的长度 固有长度 d 则 d 为原长 若长度沿 r 方向由爱因斯坦假设 d 1 1 22 vc dx0 若长度垂直于运动方向 即横向 S0系与 S 系测量结果相 同 d d 即 S 系的固有时和固有长度 对同一时间间隔 dt0 r 引力增大 v d 钟变慢 对同一长度 沿引力 dx0 r 引力增大 v d 尺变短 横向 引力 长度不变 钟变慢尺变短都是 S0系的观点 取 d 1m 在 S0系测量 dx0 1 v2 c2 1 2 m 1m 例如 10m 长杆静止在 S 系 S 系测量为 10m 在 S0系测量为 5m S0 系立场解释为 S 系的米尺缩为 0 5m 4 S 系中各点相对静止 钟慢 尺缩是引力效应而非运动效应 是实在的物理效应 如果双生子甲 乙生活在引力悬殊的两地 长时间以后再到 一起 生活在强引力区的要年轻一些 3 坐标钟和坐标尺 1 在 S 系内各处建立统一的 不受引力影响的钟和尺称为坐 标钟和坐标尺 把 S0系的钟和尺 留 在 S 系的各处 构建坐标钟 尺 可调走时快慢的钟放在 S 系中某处 按 d dt0比例调整时钟 坐标钟 可调长短的尺子放在 S 系中 某处 按 d dx0比例调整尺子 坐标尺 2 坐标时和坐标长度 S 系静止观测者用坐标钟 坐标尺测量的时间间隔和距离分别 称为坐标时和坐标长度 坐标时 dt 径向坐标长度 dr dt dt0 dr dx0 d 1 v2 c2 1 2 dt d 1 v2 c2 1 2 dr 横向真实长度 坐标长度 3 史瓦西坐标系 S ct r 史瓦西坐标系 S ct r 中的 t 即为坐标时 r 即为径向坐标 坐标时相同的两事件即为同时事件 定义了同时性 4 v 与 r 关系 牛顿力学近似 S0为质量 m 的质点 由 E 守恒 mv2 2 GMm r 0 得到 v2 2GM r 广义相对论 时空弯曲 r 为坐标距离 由广义相对论的 E 守 恒和史瓦西外部解得到的严格的 v2与 r 的关系与上面相同 5 史瓦西场中固有时固有长度与坐标时坐标距离关系 d 1 2 2 GM c r dt 1 2GM c2r 1 2 dt d 1 12 2 GMc r dr 1 2GM c2r 1 2 dr 横向的真实长度 坐标长度 场的强弱体现在无量纲量 GM c2r 一般星体 GM c2r 1 M kg R m 2GM c2R 月球 7 35 1022 1 74 106 10 10 地球 5 98 1024 6 38 106 10 9 太阳 1 99 1030 6 96 108 10 6 白矮星 1030 106 10 3 中子星 1030 104 10 1 可见除了中子星外一般星体的引力场都很弱 M o v S0 r r r0 普物 1 讲义 2005 12 15 例 沿地球径向从地球表面到月球的真实长度与坐标长度之 差 r R 1 2GM c 2r 1 2 dr r R 1 GM c 2r dr r R 2 c GM ln R r r R 2 c GM ln R r 1 8 10 2m 5 引力引起的光谱线频率移动 1 当地的观测不受引力影响 钟与自然事物以同样方式受引力影响 自然过程在引力场中 用当地的标准钟计量其结果都相同 自然事物的真实长度在 引力场中任何地点用当地标准尺测量其结果都相同 如 He Ne 激光器在引力场发光 当地观测者测到的激光频率 波长都相同 看到的颜色都一样 2 引力引起的光谱线频率移动 设史瓦西场中 A 处静止原子发光 固有频率为 0 固有周期 为 T0 在 t1 t2两时刻分别发出相位差为 2 的两个波前 坐 标时间隔为 T t2 t1 对应的固有时间隔为 TA也就是 T0 光波传到 B 处 B 处于 t 1 t 2时刻依次收到上述两波前 坐 标时间隔为T t 2 t 1 对应的B处固有时间间隔即B处观 测的光波周期为 TB TA 1 2 2 GM c rA 1 2 T TB 1 2 2 GM c rB 1 2 T 由于 A B 两点都是引力场中固定地点 引力场本身也不改变 所以两次传播时间相同 故 T T 即光波在史瓦西场传播 过程中坐标钟测的坐标时周期并不改变 于是 TB 1 2 2 GM c rB 1 2 1 2 2 GM c rA 1 2 T0 所以 B 处测的光波频率为 B 1 2 2 GM c rA 1 2 1 2 2 GM c rB 1 2 0 1 GM c2 1 rA 1 rB 0 B 处测得的光波频率不等于其固有频率 即引力引起光谱线的 频率移动 定义相对频移 Z 0 0 GM c2 1 rB 1 rA 3 实验观测 1 地球上观测太阳光谱线由于太阳引力场产生的引力红移 M M 1 98 1030kg rA R 6 95 108m rB Z G M c2R 2 12 10 6 Z 0 0 红移 实测结果与理论相符 J E Blamont 等 1961 年得 Z 1 05 0 05 2 12 10 6 2 地球上的实验 1959 年庞德 R V Pound 实验 哈佛大学 57Fe 塔顶发射 射线 点 A 塔底接收 点 B rA rB H 22 6m rB R 6 378 106m M M 5 976 1024kg Z GM c R 22 H gH c2 2 46 10 15 实测 Z 2 57 0 26 10 15 1964 年改进到百分之一 6 史瓦西场中运动时钟 1 史瓦西场中运动时钟的固有时与坐标时关系 静止在史瓦西场中时钟仅受引力影响 史瓦西场中运动时钟 即受引力影响还有运动影响 综合考虑两种影响就要建立史 瓦西场中运动时钟的固有时与坐标时关系 下面以地球为例讨论 地心坐标系S ct r 物体以v经过S系中固定点P r 观测物体上发生的元过程 间隔时间极短两事件的时间间 隔 相当于对表 S 系中测量为 d 物体上测量为 d d 为原时 d 为非原时 由爱因斯坦假设 d 1 v2 c2 1 2d P 处测的固有时 d 与坐标时 dt 关系 d 1 2GM c2r 1 2 dt 于是 d 1 v c 2 2 2 GM c r 2 dt 弱场 2GM c2r 1 和低速 v2 c2 运动效应 2 取 t 1天 则 d 4 7 104ns 由此引