数学竞赛中的折叠展开和拼接问题.pdf

命题与解题 数学竞赛中的折叠 展开和拼接问题 王 炳 文 山东省青岛市莱西一中 266600 收稿日期 2005 09 13 折叠 展开和拼接问题 一般是由已知状态 变换前的图形 和终点状态 变换后的图形 组 成 而观察 比较前后两个状态 分析两个状态 的差异 找出变换中的不变量和不变关系 往往 是解答此类问题的关键 1 折叠问题 图1 如图1所示的一张 白纸 上面有一个定点 A 在其上随意画一条直 线l 白纸被分成M N 两部分 将M沿着直线l折叠 在折叠的过程 中 有如下两个结论 1 M 中的一切点和线相对于M中的点和 线的位置关系和数量关系是不变的 但相对于 N中的点和线的位置关系和数量关系是变化 的 2 若M中的点A重合于N中的点B 则 在折叠前 点A与点B一定关于直线l是对称 的 许多折叠问题就是基于上面两个结论或其 中之一 再借助于其他的一些知识来解决的 例1 一张纸上画有半径为R的 O和圆 内一定点A 且OA a 折叠纸片 使圆周上某 一点A 刚好与点A重合 这样的每一种折法 都留下一条直线折痕 当A 取遍圆周上所有点 时 求所有折痕所在直线上点的集合 2003 全国高中数学联赛 图2 解 如图2建立 直角坐标系 由折纸 的对称性可知 点A 和点A关于折痕所 在的直线l对称 即l 为线段AA 的垂直平 分线 联结OA 交l于 点P 则 PO PA PO PA OA R 故点P在以O和A为焦点 长轴长为R的 椭圆上 设P 是直线l上不同于点P的任何一点 则 P O P A P O P A OA R 所以 点P 在上述的椭圆外部 故折痕所在的直线l上的点的集合为以O 和A为焦点 R为长轴长的椭圆上或外部 其椭 圆方程为 x a 2 2 R2 4 y2 R2 4 a2 4 1 注 解此题的关键是利用结论 2 和椭圆的 定义 例2 在 ABC中 C 90 B 30 AC 2 M是AB的中点 将 ACM沿CM折起 使A B两点间的距离为22 求三棱锥A BCM的体积 1998 全国高中数学联赛 解 折叠前后的图形分别为图3和图4 比 21中 等 数 学 较两个图形可知 在图4中 AC 2 AM 2 BC 2 3 ACM 60 BCM 30 图4图3 取CM的中点D 联结AD 在 BCM中 作DE CM交BC于E 联 结AE 则 AD ACsin 60 3 DE CDtan 30 3 3 CE 2DE 2 3 3 在 ABC中 因为AC2 AB2 BC2 则 BAC 90 所以 cos ACE 3 3 在 ACE中 由余弦定理得AE2 8 3 计算可得 AE2 CE2 AC2 AE2 DE2 AD2 所以 AE BC AE DE 从而 AE 平面BCM 因此 VA BCM 1 3 AE S BCM 1 3 2 6 3 1 2 2 2sin 60 2 2 3 注 折叠前后 ACM和 BCM均保持不 变 另外 通过计算数据找出各量之间的关系也 是一种很重要的技巧 虽有一定的难度 但在数 学竞赛中经常用 上面两例只是说明折叠问题的一般解法和 常用的解题技巧 其实 折叠不仅是命制试题的 一种形式 也是一种很重要的解题技巧 例3 如图5 H为 ABC的垂心 D E F 分别是边BC CA AB的中点 一个以H为中心 的圆交DE于点P Q 交EF于点R S 交FD 于点T V 求证 CP CQ AR AS BT BV 图5 分 析 本 题 若 直接应用平面几何 方法证明 难度很 大 注意到D E F 分别为边BC CA AB的中点 如果把 ABC以EF DE DF为折线折叠起 来 会发现构成一个三棱锥和一个圆锥 这样一 来 AS AR CQ CP BV BT就是这个圆锥的母 线 因此 它们彼此相等 证明 在图5中 由于垂心H在 ABC 内 易知 ABC为锐角三角形 图6 将 AEF BFD CED分 别 沿 中 位 线EF FD DE折叠起来 得到 四 面 体O EFD 如图6 其中 O就是 ABC的三 个顶点的汇集点 在图5中 联结CH交DE于M 则CH DE 在图6中 OM DE HM DE 因此 DE 平面OMH 从而 OH DE 同理 DF OH 故OH 底面DEF 因此 O和 H是直圆锥的顶点和底面 由圆锥的母线长相等得 OP OQ OR OS OT OV 但在折叠过程中 有 OP CP OQ CQ OR AR OS AS OT BT OV BV 故CP CQ AR AS BT BV 注 将平面问题折叠转化为空间问题处理 这是一种升维处理问题的方法 312006年第4期 2 展开问题 折叠的逆过程是展开 其本质就是将空间 图形按一定的条件展开 转化为一个平面图形 这是一种降维处理问题的方法 例4 在平面内给出六条线段l1 l2 l6 它们分别等于四面体ABCD的棱AB AC AD BC BD CD 问 怎样用直尺和圆规作一线 段等于四面体中经过顶点A的高线 第12届美国数学奥林匹克 解 如图7 AO是四面体的一条高 在底面 BCD内作OE BC于E OF CD于F 由三垂 线定理得 AE BC AF CD 图7图8 现将侧面ABC ACD展开在BCD平面上 如图8 则直线A1EO A2FO分别是BC CD 的垂线 于是 得作法如下 1 以l4 l5 l6为边作 BCD 以l1 l2 l4 为边作 A1BC 以l2 l3 l6为边作 A2CD 2 作A1E BC A2F CD 设A1E与 A2F交于点O 3 联结CO 作OX CO 并以C为圆心 l2为半径作弧交OX于A 所以 OA便等于所求四面体的高线 注 图7中的折线AEO AFO对应于图8 中的直线A1EO A2FO 分别与BC CD的垂直 关系保持不变 以此为切入点 在平面上作出 OA 例5 四面体ABCD的所有侧面都是锐角 三角形 考察所有的闭合折线XYZTX 其中X Y Z T分别是棱AB BC CD DA的内点 证 明 1 若 DAB BCD ABC CDA 则这些闭合折线中没有最短的 2 若 DAB BCD ABC CDA 则这些闭合折线中有无穷多条最短的 其长度 为2ACsin 2 其中 BAC CAD DAB 图9 第13届IMO 证明 将四面体ABCD 展开铺平 如图9 其中C 和C D和D 分别是由同 一点铺开而成的两点 CD C D P Q 而 P BCD ABC Q C D A D AB CDA DAB 故 CD C D DAB BCD ABC CDA 对于 2 由条件可得CD C D 显然 ZYXTZ 的长不小于ZZ CC 设ZZ 与BC AB AD分别交于Y X T 则ZY X T Z 显然就是一条最短的折线 另外 由于Z是CD的内点且是任意的 故 闭合折线中有无数多条最短的 其长度均为 CC 的长度 在 ACC 中 注意到AC AC 由正弦定 理得 CC ACsin CAC sin 180 CAC 2 2ACsin 2 其中 BAC CAD DAB 对于 1 由条件可得CD不平行于C D 则必有ZZ CC 或ZZ DD 此时 最小值仅 在点Z与点C或D重合时达到 由假设知Z 是内点 所以 ZYXTZ 没有最小值 因此 闭合 41中 等 数 学 折线中没有最短的 注 研究沿着几何体的表面形成的折线的 最短问题 一般考虑几何体的平面展开图 3 拼接问题 拼接问题类似于折叠和展开问题 它也是 由初始状态和终点状态组成 拼接问题一般有 两种 1 由若干个图形按一定的条件拼接成一 个新的几何图形 2 将一个图形按一定的标准裁成若干个 子图形 然后再按某种条件重新组合 拼接成一 个新的图形 此类问题更具灵活性和操作性 例6 在六条棱长分别为2 3 3 4 5 5的 所有四面体中 最大的体积是多少 证明你的 结论 1983 全国高中数学联赛 分析 这是一个典型的拼接问题 先根据构 成三角形的条件确定能拼接成的所有可能的四 面体 然后再对每一种可能的情况进行考察 最 后筛选出所要求的结果 解 因三角形的两边之差小于第三边 具有 所给棱长的四面体的任一侧面三角形若含有边 长为2的棱 则其余两边长只有下列四种可能 3 3 5 5 4 5 3 4 因而 以2为公共棱的两个侧面三角形的 其余边的搭配只有下述三种情形 1 与 2 与 3 与 下面分别讨论 图10 1 如图10 设四面体 ABCD中 AC BC 3 AD BD 5 AB 2 CD 4 由勾股定理知 CD AC CD BC 故CD 平面 ABC 由对称性 这样的四面体只有一个 其体 积为 V1 1 3 CD S ABC 8 2 3 2 此情形下的四面体有两个 如图11 a b 图11 易证二者体积相等 且求得其体积满足 V2 1 3 hS ABC 1 3 4S ABC 8 2 3 3 此情形下的四面体有两个 如图12 a b 图12 其体积V3满足 V3 1 3 hS ACD 2 3 S ACD 511 6 易知V3 V1 故最大体积是8 2 3 只有思维的碰撞 才会产生智慧的火花 面 对一道几何题 当山穷水尽疑无路时 拼拼接接 往往也会柳暗花明又一村 下面再看一个剪剪 拼拼即可解决的赛题 它是常庚哲先生在 初中 数学竞赛妙题巧解 中介绍的 例7 考 虑 如 图13所 示 的 ABC和 PQR 在 ABC中 ADB BDC CDA 120 下转第21页 512006年第4期 3 2 题3 若0 0 且x1 x2 xn n 证明 x1 1 n 1 x 1 x2 1 n 1 x 2 xn 1 n 1 x n 1 证明 因为 xi 1 n 1 x i 1 n 1 n 1 x i 1 1 1 n 1 x i 1 n 1 1 n 1 1 1 n 1 x i 于是 式 n i 1 xi 1 n 1 x i n n 1 1 n 1 n i 1 1 1 n 1 x i 1 n i 1 1 1 n 1 x i 1 n i 1 12 1 n 1 x i 1 由式 知 n i 1 12 1 n 1 x i n i 1 1 2 n i 1 1 n 1 x i n2 n n 1 n i 1 xi n2 n n n 1 1 故式 成立 参考文献 1 周沛耕 王博程编著 高中数学奥林匹克竞赛标准教材 M 北京 北京教育出版社 文津出版社 2004 8 2 2003 2004国内外数学竞赛套题及精解 J 中等数学 2005 增刊 上接第15页 求证 x u v w 图13 第三届美国数学奥林匹克 证明 首先 如图14 a 以 ABC的