江苏省无锡市天一实验学校九年级数学上学期期中试题（含解析） 新人教版.doc

江苏省无锡市天一实验学校2016届九年级数学上学期期中试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把答案直接写在答卷上相应的位置处）1下列各式中，y是x的二次函数的是( )aby=2x+1cy=x2+x2dy2=x2+3x2o的半径为5cm，点a到圆心o的距离oa=3cm，则点a与圆o的位置关系为( )a点a在圆上b点a在圆内c点a在圆外d无法确定3在平面直角坐标系中，二次函数y=a（xh）2（a0）的图象可能是( )abcd4已知圆锥的底面的半径为3cm，高为4cm，则它的侧面积为( )a15cm2b16cm2c19cm2d24cm25把二次函数y=x24x+5化成y=a（xh）2+k（a0）的形式，结果正确的是( )ay=（x2）2+5by=（x2）2+1cy=（x2）2+9dy=（x1）2+16如图，一块直角三角板abc的斜边ab与量角器的直径重合，点d对应54，则bcd的度数为( )a27b54c63d367如图，o的半径是2，ab是o的弦，点p是弦ab上的动点，且1op2，则弦ab所对的圆周角的度数是( )a60b120c60或120d30或1508若二次函数y=x26x+c的图象经过a（1，y1）、b（2，y2）、c（3+，y3）三点，则关于y1、y2、y3大小关系正确的是( )ay1y2y3by2y3y1cy3y1y2dy1y3y29如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=1且过点（，0），有下列结论：abc0；a2b+4c=0；25a10b+4c=0；3b+2c0；abm（amb）；其中正确的结论有( )a1个b2个c3个d4个10如图，在平面直角坐标系xoy中，直线ab经过点a（6，0）、b（0，6），o的半径为2（o为坐标原点），点p是直线ab上的一动点，过点p作o的一条切线pq，q为切点，则切线长pq的最小值为( )ab3c3d二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共18分不需写出解答过程，只需把答案直接写在答卷上相应的位置处）11圆心角为120，半径长为6cm的扇形面积是_cm212已知函数是关于x的二次函数，则m的值为_13在同圆中，若，则ab_2cd（填，=）14若函数y=，则当函数值y=10时，自变量x=_15如图，在矩形abcd中，ab=4，ad=2，以点a为圆心，ab长为半径画圆弧交边dc于点e，则的长度为_16关于x的一元二次方程ax23x1=0的两个不相等的实数根都在1和0之间（不包括1和0），则a的取值范围是_17一个包装盒的设计方法如图所示，abcd是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得abcd四个点重合于图中的点p，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，e、f在ab上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设ae=fb=xcm若广告商要求包装盒侧面积s（cm2）最大，试问x应取的值为_cm18如图1所示的纸杯，经测量（接缝处忽略不计），纸杯的杯口直径为10cm，底面直径为7.5cm，母线长为10cm，该纸杯的侧面展开如图2所示（1）纸杯的侧面展开图2中杯口所在圆的半径oa的长为_cm；（2）若一只小虫从纸杯底面的点c出发，沿纸杯侧面爬行一周（如图3）回到点a，则小虫爬行的最短路程为_cm（精确到1cm）三、解答题（本大题共10小题，共82分请在答卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19我们都知道“三角形的三条高（或高所在直线）交于同一点”，如图，ab是半圆的直径，图1中，点c在半圆外；图2中，点c在半圆内，请仅用无刻度的直尺画出ab边上的高20（1）抛物线y=kx2+（2k+1）x+2图象与x轴的两个交点为_，_（2）若（1）中两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，试求出该二次函数的表达式；（3）已知抛物线y=kx2+（2k+1）x+2恒过定点，直接写出定点的坐标21如图，已知ab为o的直径，过o上的点c的切线交ab的延长线于点e，adec于点d且交o于点f，连接bc，cf，ac（1）求证：bc=cf；（2）若ad=6，de=8，求be的长22如图，我们可以用“三角形面积等于水平宽（a）与铅垂高（h）乘积的一半”的方法来计算三角形面积已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c交x轴于a（1，0）、b（5，0）两点，交y轴于点c（0，5）（1）求抛物线的解析式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点m的坐标；（3）求bcm的面积23如图，pq为圆o的直径，点b在线段pq的延长线上，oq=qb=1，动点a在圆o的上半圆上运动（包含p、q两点），以线段ab为边向上作等边三角形abc，（1）当线段ab所在的直线与圆o相切时，求阴影部分的面积（图1）（2）设aob=，当线段ab与圆o只有一个公共点（即a点）时，求的范围（图2）24如图，矩形abcd中，ab=，ad=3，将adc绕点a顺时针旋转角（090）得到adc，且ac与bc交于e（1）当=15时，求证：ab=be；（2）求旋转过程中边dc扫过的面积25某公司准备投资开发a、b两种新产品，信息部通过市场调研得到两条信息：x（万元）12ya（万元）0.61.2yb（万元）2.44.4信息一：如果投资a种产品，所获利润ya（万元）与投资金额x（万元）之间满足正比例函数关系：y=kx；信息二：如果投资b种产品，所获利润yb（万元）与投资金额x（万元）之间满足二次函数关系：yb=ax2+bx根据公司信息部报告，ya、yb（万元）与投资金额x（万元）的部分对应值如上表所示：（1）填空：ya=_； yb=_；（2）如果公司准备投资15万元同时开发a、b两种新产品，设公司所获得的总利润为w（万元），b种产品的投资金额为x（万元），试求出w与x之间的函数关系式；（3）请你设计一个在（2）中公司能获得最大总利润的投资方案26设a、b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式axb的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为a，b对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当mxn时，有myn，我们就称此函数是闭区间m，n上的“闭函数”（1）一次函数y=x+7是闭区间3，4上的“闭函数”吗？请判断，并说明理由；（2）若二次函数y=x24x1是闭区间a，b上的“闭函数”，a2b，求实数a，b的值27如图1至图4中，两平行线ab、cd间的距离均为6，点m为ab上一定点思考如图1，圆心为0的半圆形纸片在ab，cd之间（包括ab，cd），其直径mn在ab上，mn=8，点p为半圆上一点，设mop=当=_度时，点p到cd的距离最小，最小值为_探究一在图1的基础上，以点m为旋转中心，在ab，cd 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，得到最大旋转角bmo=_度，此时点n到cd的距离是_探究二将如图1中的扇形纸片nop按下面对的要求剪掉，使扇形纸片mop绕点m在ab，cd之间顺时针旋转（1）如图3，当=60时，求在旋转过程中，点p到cd的最小距离，并请指出旋转角bmo的最大值；（2）如图4，在扇形纸片mop旋转过程中，要保证点p能落在直线cd上，请确定的取值范围（参考数椐：sin49=，cos41=，tan37=）28如图，抛物线c1：y=（x+m）2+m2（m0）的顶点为a，抛物线c2：y=（xn）2+n2（nm）的顶点为b，抛物线c2的对称轴与抛物线c1相交于点c，抛物线c1的对称轴与抛物线c2相交于点d（1）请你用含有m、n的代数式表示线段ad、bc的长度；（2）若抛物线c1是y=（x+1）2+1，om=3，求抛物线c2的解析式和的值；（3）若在抛物线c1上存在点n，使得andbmc，求m、n所满足的关系2015-2016学年江苏省无锡市天一实验学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把答案直接写在答卷上相应的位置处）1下列各式中，y是x的二次函数的是( )aby=2x+1cy=x2+x2dy2=x2+3x【考点】二次函数的定义 【分析】利用二次函数定义就可以解答【解答】解：a、，分母中含有自变量，不是二次函数，错误；b、y=2x+1，是一次函数，错误；c、y=x2+x2，是二次函数，正确；d、y2=x2+3x，不是函数关系式，错误故选c【点评】本题考查二次函数的定义2o的半径为5cm，点a到圆心o的距离oa=3cm，则点a与圆o的位置关系为( )a点a在圆上b点a在圆内c点a在圆外d无法确定【考点】点与圆的位置关系 【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断【解答】解：o的半径为5cm，点a到圆心o的距离为3cm，即点a到圆心o的距离小于圆的半径，点a在o内故选b【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设o的半径为r，点p到圆心的距离op=d，则有点p在圆外dr；点p在圆上d=r；点p在圆内dr3在平面直角坐标系中，二次函数y=a（xh）2（a0）的图象可能是( )abcd【考点】二次函数的图象 【专题】压轴题【分析】根据二次函数y=a（xh）2（a0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上，即可解答【解答】解：二次函数y=a（xh）2（a0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上，故选：d【点评】本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明二次函数的顶点坐标4已知圆锥的底面的半径为3cm，高为4cm，则它的侧面积为( )a15cm2b16cm2c19cm2d24cm2【考点】圆锥的计算；弧长的计算；扇形面积的计算 【专题】计算题【分析】先利用勾股定理计算出母线长pa，然后根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，利用扇形的面积公式计算即可【解答】解：如图，oa=3cm，高po=4cm，在rtpao中，pa=5，圆锥的侧面积=235=15（cm2）故选a【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长也考查了扇形的面积公式以及勾股定理5把二次函数y=x24x+5化成y=a（xh）2+k（a0）的形式，结果正确的是( )ay=（x2）2+5by=（x2）2+1cy=（x2）2+9dy=（x1）2+1【考点】二次函数的三种形式 【分析】加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式【解答】解：y=x24x+5=x24x+44+5=（x2）2+1，即y=（x2）2+1故选：b【点评】本题考查了二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（xh）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（xx1）（xx2）6如图，一块直角三角板abc的斜边ab与量角器的直径重合，点d对应54，则bcd的度数为( )a27b54c63d36【考点】圆心角、弧、弦的关系 【分析】先根据圆周角定理得到acd=aod=27，然后利用互余求解【解答】解：一块直角三角板abc的斜边ab与量角器的直径重合，点a、b、c、d都在以ab为直径的圆上，点d对应54，即aod=54，acd=aod=27，bcd=90acd=63故选c【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等也考查了圆周角定理7如图，o的半径是2，ab是o的弦，点p是弦ab上的动点，且1op2，则弦ab所对的圆周角的度数是( )a60b120c60或120d30或150【考点】圆周角定理；含30度角的直角三角形；垂径定理 【专题】分类讨论【分析】作odab，如图，利用垂线段最短得od=1，则根据含30度的直角三角形三边的关系得oab=30，根据三角形内角和定理可计算出aob=120，则可根据圆周角定理得到aeb=aob=60，根据圆内接四边形的性质得f=120，所以弦ab所对的圆周角的度数为60或120【解答】解：作odab，如图，点p是弦ab上的动点，且1op2，od=1，oab=30，aob=120，aeb=aob=60，e+f=180，f=120，即弦ab所对的圆周角的度数为60或120故选c【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半也考查了含30度的直角三角形三边的关系8若二次函数y=x26x+c的图象经过a（1，y1）、b（2，y2）、c（3+，y3）三点，则关于y1、y2、y3大小关系正确的是( )ay1y2y3by2y3y1cy3y1y2dy1y3y2【考点】二次函数图象上点的坐标特征 【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x=3，图象开口向上；利用y随x的增大而减小，可判断y2y1，根据二次函数图象的对称性可判断y3y2；于是y1y3y2【解答】解：根据二次函数图象的对称性可知，c（3+，y3）中，|3+3|32|=1，a（1，y1），b（2，y2）在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，因为112，于是y1y3y2故选b【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性9如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=1且过点（，0），有下列结论：abc0；a2b+4c=0；25a10b+4c=0；3b+2c0；abm（amb）；其中正确的结论有( )a1个b2个c3个d4个【考点】二次函数图象与系数的关系 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点判定系数符号，及运用一些特殊点解答问题【解答】解：由抛物线的开口向下可得：a0，根据抛物线的对称轴在y轴左边可得：a，b同号，所以b0，根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c0，abc0，故正确；直线x=1是抛物线y=ax2+bx+c（a0）的对称轴，所以=1，可得b=2a，a2b+4c=a4a+2=3a+2，a0，3a0，3a+20，即a2b+4c0，故错误；抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=1且过点（，0），抛物线与x轴的另一个交点坐标为（，0），当x=时，y=0，即a（）2b+c=0，整理得：25a10b+4c=0，故正确；b=2a，a+b+c0，b+b+c0，即3b+2c0，故错误；x=1时，函数值最大，ab+cm2amb+c（m1），abm（amb），所以正确；正确答案为：三个故选c【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式10如图，在平面直角坐标系xoy中，直线ab经过点a（6，0）、b（0，6），o的半径为2（o为坐标原点），点p是直线ab上的一动点，过点p作o的一条切线pq，q为切点，则切线长pq的最小值为( )ab3c3d【考点】切线长定理 【分析】连接op根据勾股定理知pq2=op2oq2，当opab时，线段op最短，即线段pq最短【解答】解：连接op、oqpq是o的切线，oqpq；根据勾股定理知pq2=op2oq2，当poab时，线段pq最短；又a（6，0）、b（0，6），oa=ob=6，ab=6op=ab=3，oq=2，pq=，故选：d【点评】本题考查了切线的判定与性质、坐标与图形性质以及矩形的性质等知识点运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角来解决有关问题二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共18分不需写出解答过程，只需把答案直接写在答卷上相应的位置处）11圆心角为120，半径长为6cm的扇形面积是12cm2【考点】扇形面积的计算 【分析】将所给数据直接代入扇形面积公式s扇形=进行计算即可得出答案【解答】解：由题意得，n=120，r=6cm，故=12故答案为12【点评】此题考查了扇形面积的计算，属于基础题，解答本题的关键是熟记扇形的面积公式及公式中字母所表示的含义，难度一般12已知函数是关于x的二次函数，则m的值为1【考点】二次函数的定义 【分析】根据二次函数的定义列出不等式求解即可【解答】解：根据题意得：，解得：m=1故答案是：1【点评】本题考查二次函数的定义，注意到m10是关键13在同圆中，若，则ab2cd（填，=）【考点】圆心角、弧、弦的关系；三角形三边关系 【分析】首先找出的中点e，连接ae、be，根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等可得ae=eb=cd，再根据三角形的三边关系可得ae+ebab，进而可得ab2cd【解答】解：找出的中点e，连接ae、be，的中点e，=，=，ae=eb=cd，ae+ebab，ab2cd，故答案为：【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，以及圆心角、弧、弦的关系，关键是掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等14若函数y=，则当函数值y=10时，自变量x=2或5【考点】二次函数的图象；正比例函数的图象 【分析】因为不确定x的范围，所以解答本题只需将y值代入两个方程即可【解答】解：当x2时，x2+2=10，解得：x=2；当x2时，2x=10，解得：x=5故答案为：2或5【点评】本题考查函数值的知识，比较简单，解答本题的关键是讨论x的范围，避免漏解15如图，在矩形abcd中，ab=4，ad=2，以点a为圆心，ab长为半径画圆弧交边dc于点e，则的长度为【考点】弧长的计算；含30度角的直角三角形 【分析】连接ae，根据直角三角形的性质求出dea的度数，根据平行线的性质求出eab的度数，根据弧长公式求出的长度【解答】解：连接ae，在rt三角形ade中，ae=4，ad=2，dea=30，abcd，eab=dea=30，的长度为：=，故答案为：【点评】本题考查的是弧长的计算和直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，30所对的直角边是斜边的一半和弧长公式是解题的关键16关于x的一元二次方程ax23x1=0的两个不相等的实数根都在1和0之间（不包括1和0），则a的取值范围是a2【考点】抛物线与x轴的交点 【专题】压轴题【分析】首先根据根的情况利用根的判别式解得a的取值范围，然后根据根两个不相等的实数根都在1和0之间（不包括1和0），结合函数图象确定其函数值的取值范围得a，易得a的取值范围【解答】解：关于x的一元二次方程ax23x1=0的两个不相等的实数根=（3）24a（1）0，解得：a设f（x）=ax23x1，如图，实数根都在1和0之间，1，a，且有f（1）0，f（0）0，即f（1）=a（1）23（1）10，f（0）=10，解得：a2，a2，故答案为：a2【点评】本题主要考查了一元二次方程根的情况的判别及抛物线与x轴的交点，数形结合确定当x=0和当x=1时函数值的取值范围是解答此题的关键17一个包装盒的设计方法如图所示，abcd是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得abcd四个点重合于图中的点p，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，e、f在ab上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设ae=fb=xcm若广告商要求包装盒侧面积s（cm2）最大，试问x应取的值为15cm【考点】二次函数的最值；等腰直角三角形；正方形的性质 【专题】压轴题【分析】可设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），写出a，h与x的关系式，并注明x的取值范围再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积s关于x的函数解析式，最后求出何时它取得最大值即可；【解答】解：设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），则a=x，h=（30x），0x30s=4ah=8x（30x）=8（x15）2+1800，当x=15cm时，s取最大值故答案为：15【点评】考查函二次函数的最值、等腰直角三角形及正方形的性质，同时还考查了考查运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力属于基础题18如图1所示的纸杯，经测量（接缝处忽略不计），纸杯的杯口直径为10cm，底面直径为7.5cm，母线长为10cm，该纸杯的侧面展开如图2所示（1）纸杯的侧面展开图2中杯口所在圆的半径oa的长为40cm；（2）若一只小虫从纸杯底面的点c出发，沿纸杯侧面爬行一周（如图3）回到点a，则小虫爬行的最短路程为28cm（精确到1cm）【考点】圆的综合题 【分析】（1）设o的度数是n，根据弧长公式得出10=，7.5=，求出oa和n即可；（2）沿ca剪开，得出扇形aoa，连接ca，则ca的长度是小虫爬行的最短路程，过c作ceoa于e，求出ce和oe，求出ae，根据勾股定理求出ca即可；【解答】解：（1）设o的度数是n，则10=，7.5=，解得：oa=40cm，n=45；（2）在图2中，沿ca剪开，得出扇形aoa，连接ca，则ca的长度是小虫爬行的最短路程，过c作ceoa于e，在rtcoe中，oc=30，o=45，ce=15，oe=15，ae=4015，在rtcea中，ca=28cm故答案为：40，28【点评】本题考查了平面展开最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，含45度角的直角三角形等知识点的综合运用，画出平面展开图是解答此题的关键三、解答题（本大题共10小题，共82分请在答卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19我们都知道“三角形的三条高（或高所在直线）交于同一点”，如图，ab是半圆的直径，图1中，点c在半圆外；图2中，点c在半圆内，请仅用无刻度的直尺画出ab边上的高【考点】作图复杂作图；圆周角定理 【分析】对于图1，ac、bc交圆于f、e，连结ae、bf，它们相交于p点，然后连结cp并延长交ab于d，根据圆周角定理得到aebc，bfac，所以点p为高的交点，则cd为ab边上的高；对于图2，分别延长ac、bc交圆于e、f点，再延长af和be交于点q，则延长qc交ab于d，则cd为ab边上的高【解答】解：如图1，cd为所作；如图2，cd为所作【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了圆周角定理20（1）抛物线y=kx2+（2k+1）x+2图象与x轴的两个交点为，2（2）若（1）中两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，试求出该二次函数的表达式；（3）已知抛物线y=kx2+（2k+1）x+2恒过定点，直接写出定点的坐标【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征 【分析】（1）令抛物线解析式的值为0，根据解一元二次方程的方法，求出x的值即可；（2）根据交点的横坐标为整数，且k为正整数，即可求出k的值，即可求出二次函数的表达式；（3）抛物线的解析式中c的值是个定值，故与y轴的交点是确定的，直接写出定点即可【解答】解：（1）令y=0，得：kx2+（2k+1）x+2=0，解得：x1=2，故答案为：，2；（2）两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，k=1，二次函数的解析式为：y=x2+3x+2；（3）抛物线y=kx2+（2k+1）x+2恒过定点，则定点为（0，2）【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，解决此题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法21如图，已知ab为o的直径，过o上的点c的切线交ab的延长线于点e，adec于点d且交o于点f，连接bc，cf，ac（1）求证：bc=cf；（2）若ad=6，de=8，求be的长【考点】切线的性质 【分析】（1）根据切线的性质首先得出coed，再利用平行线的判定得出coad，进而利用圆周角、圆心角定理得出bc=cf；（2）首先求出eocead，进而得出r的长，即可求出be的长【解答】（1）证明：如图，连接oc，ed切o于点c，coed，adec，coad，oca=cad，oca=oac，oac=cad，=，bc=cf；（2）解：在rtade中，ad=6，de=8，根据勾股定理得ae=10，coad，eocead，=，设o的半径为r，oe=10r，=，r=，be=102r=【点评】此题主要考查了切线的性质定理和圆周角及弧的关系、相似三角形的判定与性质等知识，得出=，是解题关键22如图，我们可以用“三角形面积等于水平宽（a）与铅垂高（h）乘积的一半”的方法来计算三角形面积已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c交x轴于a（1，0）、b（5，0）两点，交y轴于点c（0，5）（1）求抛物线的解析式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点m的坐标；（3）求bcm的面积【考点】二次函数的应用 【分析】（1）利用a，b，c点坐标结合交点式，求出二次函数解析式即可；（2）利用配方法求出二次函数对称轴和顶点坐标即可；（3）利用bcm的面积=s四边形cobmscob=s四边形codm+smdbscob，进而得出答案【解答】解：（1）将a，b点代入二次函数解析式可得：y=a（x+1）（x5），再将c（0，5）代入函数解析式得：5=5a，解得：a=1故二次函数解析式为：y=（x+1）（x5）=x2+4x+5；（2）y=x2+4x+5=（x2）2+9，该抛物线的对称轴为：直线x=2，顶点m的坐标为；（2，9）；（3）如图所示：过点m作mdx轴于点d，bcm的面积=s四边形cobmscob=s四边形codm+smdbscob=（5+9）2+9355=15【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及三角形面积求法和配方法求二次函数顶点坐标，正确分割图形求出其面积是解题关键23如图，pq为圆o的直径，点b在线段pq的延长线上，oq=qb=1，动点a在圆o的上半圆上运动（包含p、q两点），以线段ab为边向上作等边三角形abc，（1）当线段ab所在的直线与圆o相切时，求阴影部分的面积（图1）（2）设aob=，当线段ab与圆o只有一个公共点（即a点）时，求的范围（图2）【考点】切线的性质；扇形面积的计算 【专题】计算题【分析】（1）连结oa，如图1，由切线的性质得oaba，而oq=bq=1，于是根据直角三角形斜边上的中线性质得到aq=oq=bq=1，所以oaq为等边三角形，得到aoq=60，然后根据扇形面积公式，利用s阴影部分=s扇形aoqsaoq进行计算；（2）如图2，当点a在q点时，易=0，当点a为切点，由（1）得=60，于是可判断线段ab与圆o只有一个公共点（即a点）时，060【解答】解：（1）连结oa，如图1，线段ab所在的直线与圆o相切，oaba，oq=bq=1，aq=oq=bq=1，oaq为等边三角形，aoq=60，s阴影部分=s扇形aoqsaoq=12=；（2）如图2，当点a在q点时，=0，当点a为线段ab的所在的直线与o相切时切点，由（1）得=60，所以当线段ab与圆o只有一个公共点（即a点）时，060【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题也考查了扇形的面积公式24如图，矩形abcd中，ab=，ad=3，将adc绕点a顺时针旋转角（090）得到adc，且ac与bc交于e（1）当=15时，求证：ab=be；（2）求旋转过程中边dc扫过的面积【考点】旋转的性质 【分析】（1）由于ab=，ad=3，可得cab=60，结论显然；（2）画出图形，旋转过程中边dc扫过的面积就是两个扇形面积之差，这两个扇形面积都是四分之一圆的面积，且半径分别为ac、ad【解答】解：（1）矩形abcd中，ab=，ad=3，tancab=，cab=60，cac=15，eab=45，abe是等腰直角三角形，ab=be；（2）如图2，设旋转过程中边dc扫过的面积为s，ab=，ad=3，ac=2，=，=3，s=s扇形adds扇形acc=【点评】本题考查了旋转的性质、矩形的性质、特殊角的三角函数、等腰直角三角形的判定性质、扇形面积计算等知识点，难度适中注意旋转变换的“不变”特征，即旋转前后对应的线段和角度是不变的25某公司准备投资开发a、b两种新产品，信息部通过市场调研得到两条信息：x（万元）12ya（万元）0.61.2yb（万元）2.44.4信息一：如果投资a种产品，所获利润ya（万元）与投资金额x（万元）之间满足正比例函数关系：y=kx；信息二：如果投资b种产品，所获利润yb（万元）与投资金额x（万元）之间满足二次函数关系：yb=ax2+bx根据公司信息部报告，ya、yb（万元）与投资金额x（万元）的部分对应值如上表所示：（1）填空：ya=0.6x； yb=0.2x2+2.6x；（2）如果公司准备投资15万元同时开发a、b两种新产品，设公司所获得的总利润为w（万元），b种产品的投资金额为x（万元），试求出w与x之间的函数关系式；（3）请你设计一个在（2）中公司能获得最大总利润的投资方案【考点】二次函数的应用 【分析】（1）由待定系数法将（1，0.6）代入正比例函数解析式ya=kx，将（1，2.4），（2，4.4）代入二次函数关系yb=ax2+bx，求出其解即可；（2）根据总利润=两种产品的利润之和就可以求出解析式；（3）将（2）的解析式化为顶点式即可【解答】解：（1）由题意，得k=0.6，解得：k=0.6，ya=0.6x，yb=0.2x2+2.6x；故答案为：0.6x，0.2x2+2.6x（2）设公司所获得的总利润为w（万元），b种产品的投资金额为x（万元），则a种产品投资（15x）万元，由题意，得w=ya+yb=0.6（15x）0.2x2+2.6x；w=0.2x2+2x+9；（3）w=0.2x2+2x+9；w=0.2（x5）2+14，a=0.20，当x=5时，w最大=14最大利润的投资方案是：b种产品的投资金额为5万元，a种产品投资10万元【点评】本题考查了运用待定系数法求函数的解析式的运用，二次函数的性质的运用，二次函数的顶点式的运用，解答时求出函数的解析式是关键26设a、b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式axb的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为a，b对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当mxn时，有myn，我们就称此函数是闭区间m，n上的“闭函数”（1）一次函数y=x+7是闭区间3，4上的“闭函数”吗？请判断，并说明理由；（2）若二次函数y=x24x1是闭区间a，b上的“闭函数”，a2b，求实数a，b的值【考点】二次函数的性质；一次函数的性质 【专题】新定义【分析】（1）分别计算出自变量为3或4时的函数值，然后根据闭函数的定义进行判断；（2）首先求出二次函数y=x24x1最小值，结合闭函数的定义以及二次函数的增减性即可求出a和b的值【解答】解：（1）x=3时，y=x+7=4；当x=4时，y=x+7=3，所以y=x+7是闭区间3，4上的“闭函数”；（2）二次函数解析式为y=x24x1，y=（x2）25，当x=2时，y有最小值为5，当a2b时，二次函数y=x24x1是闭区间a，b上的“闭函数”，a=5，b24b1=b，b=【点评】本题主要考查了二次函数的性质以及一次函数的性质的知识，解答本题的关键是理解闭区间以及闭函数的意义，此题难度不大27如图1至图4中，两平行线ab、cd间的距离均为6，点m为ab上一定点思考如图1，圆心为0的半圆形纸片在ab，cd之间（包括ab，cd），其直径mn在ab上，mn=8，点p为半圆上一点，设mop=当=90度时，点p到cd的距离最小，最小值为2探究一在图1的基础上，以点m为旋转中心，在ab，cd 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，得到最大旋转角bmo=30度，此时点n到cd的距离是2探究二将如图1中的扇形纸片nop按下面对的要求剪掉，使扇形纸片mop绕点m在ab，cd之间顺时针旋转（1）如图3，当=60时，求在旋转过程中，点p到cd的最小距离，并请指出旋转角bmo的最大值；（2）如图4，在扇形纸片mop旋转过程中，要保证点p能落在直线cd上，请确定的取值范围（参考数椐：sin49=，cos41=，tan37=）【考点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离；平行线之间的距离；旋转的性质；解直角三角形 【专题】压轴题【分析】思考：根据两平行线之间垂线段最短，以及切线的性质定理，直接得出答案；探究一：根据由mn=8，mo=4，oy=4，得出uo=2，即可得出得到最大旋转角bmo=30度，此时点n到cd的距离是 2；探究二：（1）由已知得出m与p的距离为4，pmab时，点mp到ab的最大距离是4，从而点p到cd的最小距离为64=2，即可得出bmo的最大值；（2）分别求出最大值为omh+ohm=30+90以及最小值=2moh，即可得出的取值范围【解答】解：思考：根据两平行线之间垂线段最短，直接得出答案，当=90度时，点p到cd的距离最小，mn=8，op=4，点p到cd的