三角函数与复数.doc

【知能目标】1. 掌握同角的三角函数的基本关系式: 掌握正弦,余弦的诱导公式;掌握两角和与两角差的正弦,余弦,正切公式;掌握二倍角的在正弦，余弦,正切公式.2. 能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简,求值和恒等式证明.【综合脉络】【知识归纳】一、三角函数的基本概念1终边相同的角的表示方法（终边在轴上；终边在轴上；终边在直线上；终边在第一象限等），理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算；2任意角的三角函数的定义（三个三角函数）、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角函数的关系式（三个：平方关系、商数关系、倒数关系）、诱导公式（奇变偶不变，符号看象限、）；3有用的结论（1）半角所在的象限：（2）和的符号规律：二、两角和与差的三角函数1和（差）角公式（1）= ；（2）= .（3）= ；（4）= .（5）= ；（6）= .2二倍角公式（1）= ；（2）= = = ；（3）= .3有用的公式（1）升（降）幂公式：、；（2）辅助角公式：（由具体的值确定）；（3）正切公式的变形：.4有用的解题思路（1）“变角找思路，范围保运算”；（2）“降幂辅助角公式正弦型函数”；（3）巧用与的关系；（4）巧用三角函数线数形结合.三、三角函数的图象与性质1列表综合三个三角函数，的图象与性质，并挖掘：（1）最值的情况；（2）了解周期函数和最小正周期的意义会求的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，了解加了绝对值后的周期情况；（3）会从图象归纳对称轴和对称中心；的对称轴是，对称中心是；的对称轴是，对称中心是的对称中心是注意加了绝对值后的情况变化.（4）写单调区间注意.2了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数的简图，并能由图象写出解析式（1）“五点法”作图的列表方式；（2）求解析式时处相的确定方法：代（最高、低）点法、公式.3正弦型函数的图象变换切记： 注意图象变换有时用向量表达，注意两者之间的转译.四、解三角形1三个重要结论（1）正弦定理：（为三角形ABC的外接圆直径）或写成 （2）余弦定理：，或写成（3）三角形ABC面积公式：2在使用正弦定理时判断一解或二解的方法：ABC中，3解三角形在测量等中的实践运用.五、复数1虚数单位是i，2复数为实数、虚数、纯虚数的充要条件分别是两复数相等的充要条件为：实部与虚部分别相等；复数Z=a+bi的共轭复数为a-bi，在复平面内它对应的点坐标为(a,b)，其模|Z|=3复数的加减法法则：实部与实部相加，虚部与虚部相加。两复数乘法法则：与多项乘法法则相同。两复数除法法则：分子分母同时乘以分线的共轭复数，再化简，使分母不含虚数。【考点聚焦】考点1：函数y=Asin(的图象与函数y=sinx图象的关系以及根据图象写出函数的解析式考点2：三角函数的定义域和值域、最大值和最小值；考点3：三角函数的单调区间、最小正周期和三角函数图象的对称轴问题；考点4：和、差、倍、半、诱导公式、和差化积和积化和差公式、万能公式、同角的三角函数关系式；考点5：三角形中的内角和定理、正弦定理、余弦定理；考点6、复数的基本概念及运算.【自我检测】1 同角三角函数基本关系式：，.2 诱导公式是指的三角函数与，180,90,270,360，k360+(kZ)三角函数之间关系：奇变偶不变，符号看象限.3 两角和与差的三角函数：sin()=_;cos()=_;tan()=_.4 二倍角公式：sin2=_;cos2=_=_=_tan2=_.5 半角公式：sin=_，cos=_,tan=_=_=_.6 万能公式sin=_,cos=_,tan=_.7 三角函数的图象与性质：y=sinxy=cosxy=tanx定义域值域图象单调性奇偶性周期性【重点难点热点】问题1：三角函数的图象问题关于三角函数的图象问题，要掌握函数图象的平移变化、压缩变化，重点要掌握函数y=Asin(的图象与函数y=sinx图象的关系，注意先平移后伸缩与先伸缩后平移是不同的，要会根据三角函数的图象写出三角函数的解析式.例1（05天津理）要得到的图象，只需将函数的图象上所有的点的A、横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）,再向左平行移动个单位长度B、横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度C、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度D、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度思路点拨：将化为，再进行变换.解答：变换1：先将的图象向左平移个单位，得到的图象，再将的图象的横坐标缩短到原来的2倍得到.变换2：先将的图象的横坐标缩短到原来的2倍，得到的图象，再将的图象向左平移个单位，得到.由上可得，应选C.演变1：函数的部分图象如图，则（）ABCD点拨与提示：根据图象得出函数的周期与振幅，再将（1,10坐标代入即可.问题2：三角函数的求值问题关干三角函数的求值问题,要注意根据已知条件,准确判断角所在的范围,合理选择公式,正确选择所求三角函数值的符号例2：已知. （I）求sinxcosx的值； （）求的值.思路分析：将sinx-cosx=平方，求出sinxcosx的值，进而求出（sinx-cosx）2，然后由角的范围确定sinx-cosx的符号. 解法一：（）由 即 又 故 （） 解法二：（）联立方程 由得将其代入，整理得 故 （） 点评：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等基本知识，以及推理和运算能力.演变1：已知.点拨与提示：用已知中的角表示所求的角.问题3：三角函数的单调性、周期性、奇偶性等问题有关三角函数的单调性、周期性等问题，通常需要先变形化简，然后求解.例3：设函数图像的一条对称轴是直线.（）求；（）求函数的单调增区间；（）画出函数在区间上的图像.思路点拨：正弦y=sinx的图象的对称轴为直线，其对称轴与x轴交点的横坐标即是使函数取得最值的x值.解：（）的图像的对称轴， （）由（）知由题意得 所以函数（）由x0y1010故函数点评：本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力.演变3：已知向量.求函数f(x)的最大值，最小正周期，并写出f(x)在0，上的单调区间.问题4：“拆项”与“添项”的问题“拆项”与“添项”是指在作三角变换时，对角或三角函数可以分别进行面或添项处理.例4：（1）求的值；（2）已知：，求：的值.思路分析：解此题的关健是能否抓住题中各角之间的内在联系.如（1）中的含有角7、15、8，发现它们之间的关系是1578，故可将7拆成158；同理在第（2）题中可以拆成两角差，即.解：（1）tan15=(2) =tan()=tan点评：进行三角变换的技巧常常是变角注意角的和、差、倍、半、互余、互补关系，根据实际情况，对角进行“拆”或“添”变形，这样可以大大减少运算量.演变4：求的值.点拨与提示：103020.问题五：复数方程和共轭复数复数方程常见解法是将复数方程转化为实数方程组；关于共轭复数有两个充要条件：ZR，非零复数y为纯虚数，这两个充要条件是用整体观点处理复数的生要工具.例5：求实数k的值，使方程至少有一个实根.思路分析：已知方程是一元二次方程，系数含有参数，并且方程有一个实根，设出实根，利用复数相等可得出实数方程组，从而得解.解：设是方程的实根，则，即根据复数相等的充要条件得：，消去得k2=8，k=点评：如果利用一元二次方程的判别式（k+2i）24(2+ki)k212，要使方程至少有一个实根，只需0，即k,k，这样的解法是错误的.错误的原因在于：一元二次方程的判别式b2-4ac0是实系数一元二次方程有实根的充要条件，不适合于复系数一元二次方程.对于这类虚数系数一元二次方程有实根的常见解法是设实根为，将x代入方程，根据复数相等的条件来解.演变5：解复数集中的方程：点拨与提示：整理成关于x的一元二次方程，用求根公式求解.例6：设z是虚数，是实数，求证：u为纯虚数.思路分析：本题证法很多，可以从共轭复数运算的角度给出证明.证明：R，z是纯虚数，|z|1，.z是虚数，u为纯虚数.点评：用整体观点处理复数问题时，应注意利用前面提到的充要条件.演变6：设z1,z2为两个非零复数，且z1+z2=|z1z2|，求证：为负数.点拨与提示：利用复数加、减法的几何意义求解.专题小结1三角变换常用的方法技巧有切割化弦法，升幂降幂法、辅助元素法，“1”的代换法等对于三角公式要记忆准确（在理解基础上），并要注意公式成立的条件，在应用时，要认真分析，合理转化，避免盲目性2三角函数图象的对称性和有界性是高考命题的一个热点最基本的三角函数图象的形状和位置特征，要准确掌握，它是利用数形结合思想解决三角函数问题的关键三角函数图象各种变换的实质要熟练掌握，不能从形式上简单判断3解三角形时，要根据条件正确选择正、余弦定理以及三角变换式要充分发挥图形的作用，注意三角形外接圆半径在正弦定理中的转化功能【活学巧练】一、选择题1已知f(cosx)=cos3x，则f(sin30)的值为（C）A0B1C1D2（2006年辽宁卷）的三内角所对边的长分别为设向量,若,则角的大小为(B)(A) (B) (C) (D) 3（2006年安徽卷）将函数的图象按向量平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ C ） A BC D4把函数的图象适当变动，就可得到y=sin3x的图象，这种变动可以是（D）A沿x轴向右平移B沿x轴向左平移C沿x轴向右平移D沿x轴向左平移5已知复数z1，z2在复平面上对应的点分别是A，B，O为坐标原点，当z1=2（cos60+isin60）z2,|z2|=2，则AOB的面积为（B）ABCD26复数z1cosisin（34）的辐角主值是（B）ABCD7函数y=3sin(x+20)+5sin(x+80)的最大值为（C）ABC7D88在OAB中，O为坐标原点，则当OAB的面积达最大值时，（D ）ABCD9在ABC中，若，其中a,b分别是A，B的对边，则ABC是（D）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形10函数y=的最小正周期为（D）A2BCD二、填空题11 已知sin=，(，)，tan()= ，则tan(2)=_ _ 12 设()，(0，)，cos()=，sin(+)=，则sin(+)=_ _ 13已知复数：，复数满足，则复数 1-i 14设函数f (x)的图象与直线x =a，x =b及x轴所围成图形的面积称为f(x)在a，b上的面积，已知函数ysin（nx）在0，上的面积为（nN* ），（i）ysin3x在0,上的面积为；（ii）ysin（3x）1在，上的面积为 三、解答题15 不查表求值：16 （2006年安徽卷）已知（）求的值；（）求的值.17在复数范围内解方程：(i为虚数单位).18（2006年四川卷）已知是三角形三内角，向量，且.（）求角；（）若，求.19 已知cos+sin=，sin+cos的取值范围是D，xD，求函数y=的最小值，并求取得最小值时x的值 参考答案 1C提示：2 B提示：，利用余弦定理可得，即，故选择答案B.3C提示：将函数的图象按向量平移，平移后的图象所对应的解析式为，由图象知，所以.4D提示：5B提示AOB60，z2|=2|z1|=4，6B提示：，7C提示：y=3sin(x+20)+5sin(x+80)3sin(x+20)+5sin(x+20)608D提示： ， 当即时，面积最大. 9D提示：由正弦定理得：，或或AB或AB9010D提示：，则11 提示 sin=,(,),cos=则tan=,又tan()=可得tan=,12 提示 (),(0, ),又cos()= 131-i提示：设z=a+bi,由(3+2i)(a+bi)=3(a+bi)+3+2i,得3a-2b=3a+3,2a+3b=3b+2,a=1,b=.14 提示：由题意得：为一个半周期结合图象分析其面积为.15 答案 216解：()由得，即，又，所以为所求.（）=17解：原方程化简为, 设z=x+yi(x、yR),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1i，x2+y2=1且2x=1,解得x=且y=, 原方程的解是z=-i.18 解：（） 即, （）由题知，整理得 或而使，舍去 19 解 设u=sin+cos 则u2+()2=(sin+cos)2+(cos+sin)2=2+2sin(+)4 u21,1u1 即D=1,1,设t=,1x1,1t x= 【挑战自我】设a,b,c为ABC的三边，abc，R是ABC的外接圆半径，令f=a+b2R-8R，试用C的大小来判定f的符号.解：f=2R（sinA+sinB14）2R4R4R2R由abc，得ABC，所以0BABA，因此，所以故当f0时，则0C当f0时，则C当f0时，则C【答案及点拨】演变1：由图得,由T=,得,在y=sin()中令x=1,y=1,得,得,选(C)演变2：（解法一）由题设条件，应用两角差的正弦公式得，即 由题设条件，应用二倍角余弦公式得 故 由式和式得 .因此，由两角和的正切公式解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得解得由由于，故在第二象限，于是.从而，以下同解法一.演变3： =.所以，最小正周期为上单调增加，上单调减少.演变4：103020，原式2cos30=.演变5：原方程可化为.而18i的平方根为，所以方程的根为，.演变6：提示：z1+z2=|z1z2|（y1y2），.即在复平面内对应的点到（1,0）、（1,0）的距离相等，对应的点在虚轴上，即为纯虚数.演变题要有点拨，原创题有详解，一般题给答案【实战演练】一、选择题1.函数的最小正周期为（B）2.（理科做）已知复数z满足（3i）z3i，则z（ D ）A B. C. D.（文科做）已知(,)，sin=,则tan()等于(A)A. B.7 C. D.73.（06湖北）若的内角满足，则(A)A. B C D4（06湖南）设点P是函数的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值，则的最小正周期是(B)A2 B. C. D. 5.（理科做）已知(C)A.1+2i B. 1-2i C.2+i D.2- i （文科做）函数的单调增区间为(C)A BC D6.（06安徽）对于函数，下列结论正确的是（ B ）A有最大值而无最小值 B有最小值而无最大值C有最大值且有最小值 D既无最大值又无最小值7若f(sinx)3cos2x，则f(cosx)(C)A.3cos2x B.3sin2x C.3cos2x D.3sin2x8.等式sin(+)=sin2成立是、成等差数列的( A )A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件9.（06四川）下列函数中，图象的一部分如右图所示的是(D)A. B. C. D.10.（06天津）已知函数、为常数，的图象关于直线对称，则函数是(D)A.偶函数且它的图象关于点对称 B.偶函数且它的图象关于点对称C.奇函数且它的图象关于点对称 D.奇函数且它的图象关于点对称二、填空题11.（理科做）设为实数，且，则 4 。（文科做）cos43cos77+sin43cos167的值为 12.（理科做）若复数同时满足2，（为虚数单位），则i1（文科做）如果，且是第四象限的角，那么 13.(06重庆)已知，sin()= sin则cos=_.14.已知函数在区间上的最小值是，则的最小值是。15.（06湖南）若是偶函数,则有序实数对()可以是 a=1，b=1. (注:只要填满足的一组数即可)16.（06全国I）设函数。若是奇函数，则_ _。三、解答题17. 已知，求和的值18.（06福建）已知函数f(x)=sin2x+xcosx+2cos2x,xR.（I）求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；（）函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(xR)的图象经过怎样的变换得到？19.（06山东）已知函数f(x)=A(A0,0,00，可知A这锐角，所以sinAcosA0，又，故选A4 B解：设点P是函数的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值， 最小正周期为，选B.5 （理）C 解析：，由、是实数，得，故选择C。（文）C解：函数的单调增区间满足， 单调增区间为，选C.6 B解：令，则函数的值域为函数的值域，而是一个减函减，故选B。7 C 解:所以,因此故选C本题主要考察函数解析式的变换和三角函数的二倍角公式,记忆的成分较重,难度一般8 A解：若等式sin(+)=sin2成立，则+=k+(1)k2，此时、不一定成等差数列，若、成等差数列，则2=+，等式sin(+)=sin2成立，所以