物理难题解析_续二_.pdf

1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 第卷第期 年月 苏州教育学院学报 冶铭 丫乞 瓦 物理难题解析续二 胡铮浩 七 题 目 轰炸机以速度 作水平匀速飞行 飞行高度为 在地 面上有一高射炮 距轰炸目标的距离 为 假设轰炸机 轰炸 目标和高射炮位于同一竖直平面内 为使炸弹能命中地面 目标 试问飞 机应在离目标多大水平距离处投弹高射炮在飞机投弹的同时发射炮弹 为使炮弹能击中飞行 中的炸弹 试问炮弹出口速度 至少要多大 若取最小值 试问炮弹的发射角是多少空 厂日 一 一 肠别训 犷 一 一 娇 一 版 盖 乳 气阻力均忽略不计 解炸弹离开飞机 以飞机的飞行速度为水平初速 在竖直平 面 内作平抛运 动 设轰炸机距目标物 的水平距 离 为 则有 飞 和 立 很容易得 出 口林物 厄自 一人 丫 可以有两种情形 如图 图 一 高射炮距轰炸 目标水平距离 为 一 在图中 蕊 卜 乙 嗽 补 公 蔽瘫厂 一不 图 一 图 一 高射炮击中炸弹可以有两种方案 即击中点在或 在图中 假设击中点为 建立图中所示 的坐标系 以轰炸机投弹时它的地面投影点为坐标原点 炸弹的运动方程是 又 护 一 一 高射炮炮弹先设是图中的 户清形 的发射角为 出口速度为 它的运动方程是 一 一 土 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 假设炮弹和炸弹在处相遇 则有 一 为 二 宾 卜 式和 有么 骥 全 镇群 馨 二 一 分别解出 尸 琴二和 一井气 一 盯 一 盯 门 码 从而得出 一一 的 方程中有两个待定参数几和 题中要求 的最小值 意味着日的大小不是主要因素 仅有解 就可以了 也就是说 竹 应取怎样的值 才能保证式中的日有解 为此 将式中的 日化成 了 一 则有 一 处 万二蕊 布 一处 一 丫 丁石而竺 一 吸 为了书写简便 令 毕 一 牛 代入并式子两边平方对 一 一 梦 且 对 日按其幂进行整理 日一 日 一 其解 耐 有实数解的条件是 一 一 多 即 妻 一 十 二二一 弓多吸 月 一 巧 彼派一 一立上一 一 二 一 十叉一 丁一 日 由此得炮弹出口速度的最小值 一 不不薪 图 一 中击中点 的情形包 含在 的讨论 中 仅是日角的不同而已 图 一 中 的隋形 要求炮弹击中炸弹 则显然要有下面的条件 共手 二 旦 即 粤 一 焦 以 万甲 丫 处 的最小值对应于 甲 即 二 一 摄 对应于 炮弹的发射角是对于图 一 八 一二 八 气廿凉 下李斤 一产二蔽于于二 和对于图 一 甲 甲二 卜 丫丫 一 一 一 对于炮弹出口速度和发射角创或叻再作些讨论 首先从式可以看出 除了对应于 只有一个确定的日值 否则 咖将可取两个不同值 二 士 若 的值等于 十 有一个值将是另一个小于 属于 当然 若 更大 则会 出现一个日 属于 另一个日 属于 也就是说 对应于一定的处 有 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 若碑只 则一个 竖直向上发射 另一个氏 属 一 一一 一 谧 戈若 妻 耐 则 均属于 若 叨 则一个 属于 另一个仇 属于 对应于图 一 式给出的甲二 从这里联想到一个问题为了防止目标物被炸 不仅 要求炮弹能击中飞行中的炸弹 而且要求在离目标物一定范围之外的空间击中 如果炮弹是在目 标物上或目标物临近上空击中炸弹 则也许不仅不是好事反而使事情更糟 为此我们可以将题目 改动一下 要求炸弹距 目标物水平距离为之外就被击中如图 一 即最迟要在点 处被击中 仍可沿用式和 但 二为簇 二 一 处 介 考虑极限情形 由式可得 标 一 一 一 告 二 一 一 告 导 代 人式 一一 一 卜 一 一一一一一封 整理 闭二 一一 百巧二 二一 百石二 显然 日 另有坐标关系式 一 当 州胡 一 鑫 所以 图 一 二 一 是 一 一 由式和可得 气 二兰二 丫 一 一 一 一 取第二象限角 本题 目可简单地说成高射炮弹空中拦截炸弹 在不计空气阻力的情形 下 式的计算应属 简单的 实战中 当然不能不考虑空气尤其是风的影响 百发百 中是非常困难的 现代战争则技 术更先进 近距离的轰炸机投掷巡航导弹 用高射炮弹拦截几乎是不可能的 然而 在略为放大的 战斗空间 用导弹拦截短 中 长程乃至洲 际导弹正是人们期望 的 海湾战争中已有拦截成功的战 例 然而它毕竟不似本题目所述的那样简单 第一 空间大范围的导弹飞行不论是发射方还是拦 截方不再是抛体运动 而属有心力下的椭圆运动请参阅作者撰写的物理继续教育研究 第二 飞行器飞行速度大 对轨道 击 中点的计算不仅复杂而且要求计算快 这就必须运用大型电子计算 机第三 导弹空中飞行受到的干扰比较多 不是单靠发射初速度 发射角就能决定整个过程 这就 需要遥感遥测 遥 控技术 再依靠计算机进行实时控制和调节 题 目仁 无限长直导线与矩形导线框共面且平行放置 边长 边长 的边与无限 长直导线平行且间距为 线中电流分别为 和 电流方向如图中所示 试求矩形载流导线框对 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 无限长载流直导线的作用力 解 题目要求矩形载流线框对无限长载流直 导线的作用力 按照通 电导线在磁场中受到的 安培力的计算 应先计算矩形载流线框在无限长 载流直导线各处的磁感强度 再计算作用力 然 而 有限长一段载流直导线的磁感强度的计算是 比较复杂的 况且受力导线又是无限长的 使计 算更显困难 原书巧妙地用了牛顿第三运动 定律作用力和反作用力的关系 解答了本题 此 处先按原书的计算方法给出如下 尸尸尸 户户户 图 一 首先 边与边均平行于无限长载流直导线 边上各处的磁感强度均相等 它受到的力为 脚 一 一产竺 一 一 二 方向可按 中学物理的左手定则 或大学物理的矢 量积右手 确定 在此也可用 平行直导线间同 向电流相吸的结论判定 的方向如图 一 所 示 相似 边受力 洲洲一 一一 火 一叫 方向也在图中标出 图 一 边和边的受力不太好求 因为沿此两边 磁场是不均匀的 不可套用汁算和玛的公式 二 但是 如果我们如图中所示取两小段 和 要求 和 均与无限长 载流直导线平 行 这样 一是因为 和 都很 短 线段上各处磁感强度可视为相同二是 与 至 无 限长 载流直导线距离相等 因此它们受的力分别是 瓦 厅 奥擎 方向垂直边向上 抽一下尸下 十内二出 二 内丫 和民 旱兰 方向垂直边向下 口 兀 尸子 刁 一 因此整个边受的垂直边向上的力与整个边受的垂直边向下的力大小相等 方向相反 且在同一直线上 合力为零 因此 无限长载流直导线对矩形载流线框的作用力就等于筑 反 但 和凡方向相反 故它们的合力为 反的大小 一一 凡 一 粉 令 一 击 会 一 的方向向左 因此 矩形载流线框对无限长直导线的作用力 题目是解完了 但这里有两个问题 丝 代 方向向右 即是一种引力 电流之间的作用力是否一定符合牛顿第三定律本题的解法的普遍适用性如何 边和受的合力为零 这是正确的 如果单求一边或受的力又如何计算呢 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 首先讨论第一个问题 电流在其周围将要产生磁 场 依照毕奥 萨伐尔定律电流元了在距它为 处产生的磁感强度为 石 内 一二一 拜 一一 又按照安培定律 安培力为 处于磁场中的电流元受到的图 一 如果要求空间两电流元 和 之间的相互作用 力 则受到产生的磁场作用力为 民 一 孕 正鱼些兰卫 件兀 一 图 一 而受到产生的磁场作用力为 瓦一 粉 朴 一 卜 为了看出和之间的关系 我们运用二重矢量积的公式 只 二 一 用到式和式 分别有 民一 拾 以 取 珍一六 珍 动 和 民一 希 咖 咖杯 一 而和咖 比较两式 前面的标量部分是相同的 且有相反符号 中括号内第二项是完全相同的 但第一项不 一定同方向 因此一般情形下和几并非等值反向 不遵从力学中的牛顿第三定律 当然中括 号中第一项也不是不可能相等 例如在本题 中 的 边上电流元 兀 均与无限长载流直导线 的 石 方向恰相同 故 石 兀 丁 兀石 劝 边 的 兀 与 方 向均相反 它们与下的夹角的 余弦也是等值反向 故也有 盯 补 二 刃叮 补 因此作用力和反作力等值反向 其次讨论一下第二个问题 如何计算通有电 流的导线长受到无限长载流直导线 的作用力大小和作用点 建立如图 一 的坐标 系 在上任取一无限短的线元 线元处坐标 为 它受到的作用力为 二 脚 兀 方向垂直向上 整个通 电线段受到的合力为各线元同向平行力之合成 一厂 今万 气 卜 压 一 只飞且 一 了 一不 气 十 一 件兀 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 我们应注意到 段上各处受到的作用力方向均垂直向上 即一系列平行力 故合力 的 大小为所有分力之和 式 但是的大小告诉我们 由于磁场的不均匀性 段上各处力 的大小是不等的 最左端附近 力最大 由向 力渐减小 既然是不均匀的