（江苏专用）2018高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数（Ⅰ）第11课 函数与方程教师用书.doc

第11课 函数与方程最新考纲 内容要求abc函数与方程1函数的零点(1)函数零点的定义对于函数yf(x)(xd)，把使函数yf(x)的值为0的实数x叫作函数yf(x)(xd)的零点(2)几个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)上有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根2二分法对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法3二次函数yax2bxc(a0)的图象与零点的关系b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数2101(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点()(2)函数yf(x)，xd在区间(a，b)d内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0.()(3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)f(b)0，则函数f(x)在a，b上有且只有一个零点()(4)二次函数yax2bxc在b24ac0时没有零点()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)函数f(x)ex3x的零点个数是_1f(1)30，f(0)10，f(x)在(1,0)内有零点，又f(x)为增函数，函数f(x)有且只有一个零点3下列函数中，既是偶函数又存在零点的是_(填序号)ycos x；ysin x；yln x；yx21.由于ysin x是奇函数；yln x是非奇非偶函数，yx21是偶函数但没有零点，只有ycos x是偶函数又有零点4函数f(x)3xx2的零点所在区间是_(填序号)(0,1)；(1,2)；(2，1)；(1,0)f(2)，f(1)，f(0)1，f(1)2，f(2)5，f(0)f(1)0，f(1)f(2)0，f(2)f(1)0，f(1)f(0)0.5函数f(x)ax12a在区间(1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是_函数f(x)的图象为直线，由题意可得f(1)f(1)0，(3a1)(1a)0，解得a1，实数a的取值范围是.函数零点所在区间的判断(1)函数f(x)x23x18在区间1,8上_(填“存在”或“不存在”)零点(2)已知函数f(x)ln xx2的零点为x0，则x0所在的区间是(k，k1)(kz)，则k_.(1)存在(2)2(1)法一：f(1)123118200，f(8)823818220，f(1)f(8)0，又f(x)x23x18，x1,8的图象是连续的，故f(x)x23x18在x1,8上存在零点法二：令f(x)0，得x23x180，(x6)(x3)0.x61,8，x31,8，f(x)x23x18在x1,8上存在零点(2)f(x)ln xx2在(0，)上是增函数，又f(1)ln 11ln 120，f(2)ln 200，f(3)ln 310，x0(2,3)，即k2.规律方法确定函数f(x)的零点所在区间的2种常用方法1定义法：使用零点存在性定理，函数yf(x)必须在区间a，b上是连续的，当f(a)f(b)0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)b有三个不同的根，则m的取值范围是_(1)(0,3)(2)(3，)(1)函数f(x)2xa在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)f(2)0，(a)(41a)0，即a(a3)0，0a3.(2)作出f(x)的图象如图所示当xm时，x22mx4m(xm)24mm2，要使方程f(x)b有三个不同的根，则有4mm20.又m0，解得m3.思想与方法1转化思想在函数零点问题中的应用方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题2判断函数零点个数的常用方法(1)通过解方程来判断(2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断(3)将函数yf(x)g(x)的零点个数转化为函数yf(x)与yg(x)图象公共点的个数来判断3利用函数零点求参数范围的常用方法：直接法、分离参数法、数形结合法易错与防范1函数的零点不是点，是方程f(x)0的实根2函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件课时分层训练(十一)a组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1若函数f(x)axb有一个零点是2，那么函数g(x)bx2ax的零点是_0，由题意知2ab0，即b2a.令g(x)bx2ax0，得x0或x.2(2017镇江期中)方程lg xsin x0的解的个数是_3lg xsin x0，lg xsin x，分别作出函数ylg x与函数ysin x的图象可知，两个函数有3个交点3已知函数f(x)则函数f(x)的零点为_1由f(x)0得，2x10或log2x10，解得x0或x(舍去)4已知函数f(x)x2xa(a0)在区间(0,1)上有零点，则a的取值范围为_. 【导学号：62172061】(2,0)由x2xa0得ax2x.又yx2x2x(0,1)，y(2,0)即a(2,0)5已知关于x的方程x2mx60的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m的取值范围是_(，1)设函数f(x)x2mx6，则根据条件有f(2)0，即42m60，解得m1.6若函数f(x)|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是_(0,2)由f(x)|2x2|b0得|2x2|b.在同一平面直角坐标系中画出y|2x2|与yb的图象，如图所示，则当0b2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)|2x2|b有两个零点7已知函数f(x)若关于x的方程f(x)kx有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_. 【导学号：62172062】0k函数y(x1)3在r上单调递增；函数y在2，)上单调递减，又因为x2时，(x1)31且1，所以f(x)的最大值为1，对应点为(2,1)，又ykx过原点(0,0)，所以k.可见0k0的情况，虚线表示k0，且x0时，k|x|可化为kx22kx10.由4k24k0得k1或k0(舍去)，结合图象可知，当k(0,1)时合题意(2)当k0时，结合图象可知，方程kx22kx10一定有实根，综上所述k的取值范围为(，0)(0,1)二、解答题11已知函数f(x)x3x2.证明：存在x0，使f(x0)x0.证明令g(x)f(x)x.g(0)，gf，g(0)g0.又函数g(x)在上连续，存在x0，使g(x0)0，即f(x0)x0.12已知二次函数f(x)x2(2a1)x12a.(1)判断命题：“对于任意的ar，方程f(x)1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若yf(x)在区间(1,0)及内各有一个零点，求实数a的取值范围解(1)“对于任意的ar，方程f(x)1必有实数根”是真命题依题意，f(x)1有实根，即x2(2a1)x2a0有实根因为(2a1)28a(2a1)20对于任意的ar恒成立，即x2(2a1)x2a0必有实根，从而f(x)1必有实根(2)依题意，要使yf(x)在区间(1,0)及内各有一个零点，只需即解得a.故实数a的取值范围为.b组能力提升(建议用时：15分钟)1已知函数f(x)(ar)，若函数f(x)在r上有两个零点，则a的取值范围是_(0,1因为当x0时，f(x)2x1，由f(x)0得x.所以要使f(x)在r上有两个零点，则必须2xa0在(，0上有唯一实数解又当x(，0时，2x(0,1，且y2x在(，0上单调递增，故所求a的取值范围是(0,12函数f(x)则函数yf(f(x)1的所有零点所构成的集合为_由题意知f(f(x)1，由f(x)1得x2或x，则函数yf(f(x)1的零点就是使f(x)2或f(x)的x的值解f(x)2得x3或x，解f(x)得x或x，从而函数yf(f(x)1的零点构成的集合为.3若关于x的方程22x2xaa10有实根，求实数a的取值范围解法一(换元法)：设t2x(t0)，则原方程可变为t2ata10，(*)原方程有实根，即方程(*)有正根令f(t)t2ata1.若方程(*)有两个正实根t1，t2，则解得1a22；若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根不合题意，舍去)，则f(0)a10，解得a1；若方程(*)有一个正实根和一个零根，则f(0)0且0，解得a1.综上，a的取值范围是(，22法二(分离变量法)：由方程，解得a，设t2x(t0)，则a2，其中t11，由基本不等式，得(t1)2，当且仅当t1时取等号，故a22.4已知二次函数f(x)x216xq3.(1)若函数在区间1,1上存在零点，求实数q的取值范围(2)是否存在常数t(t0)，当xt,10时，f(x)的值域为区间d，且区间d的长度为12t(视区间a，b的长度为ba)解(1)因为函数f(x)x216xq3的对称轴是x8，所以f(x)在区间1,1上是减函数因为函数在区间1,1上存在零点，则必有即所以20q12.(2)因为0t10，f(x)在区间0,8上是减函数，在区间8,10上是增函数，且对