第十一章-无穷级数(习题及解答).doc

高等数学 第十一章 无穷级数 第 20 页 学院 专业 学号 姓名 第十一章 无穷级数11.1 级数的概念、性质一、单项选择题1. 若级数收敛(为常数)，则满足条件是( )； ； ； 答2. 下列结论正确的是( )若，则收敛；若，则收敛；若收敛，则；若发散，则. 答3. 若级数与分别收敛于，则下述结论中不成立的是( )； ； 答.4. 若级数收敛，其和，则下述结论成立的是( )收敛； 收敛；收敛； 收敛. 答.5. 若级数收敛，其和，则级数收敛于( )； ； ； 答.6. 若级数发散，收敛则 ( ) 发散； 可能发散，也可能收敛； 发散； 发散. 答.二、填空题1. 设，则 答：. 2. 级数的和为 答： .3. 级数，其和是 答： .4.数项级数的和为答： . 5*. 级数的和为 答： 3. 三、简答题1 判定下列级数的敛散性(1) 答： 收敛.解：(2) 答： 发散.解：(3) 答： 发散.解：(4) 答： 发散.解：(5) 答： 收敛.解： 11.2 正项级数收敛判别法、P 级数一、单项选择题1. 级数与满足，则( ) 若发散,则发散；若收敛,则收敛；若收敛,则发散；若发散，则发散. 答.2. 若，则下列级数中肯定收敛的是( )； ； 答.3. 设级数 (1) 与 (2) ，则( ) 级数(1)、(2)都收敛； 级数(1)、(2)都发散；级数(1)收敛，级数(2)发散； 级数(1)发散，级数(2)收敛 答.4. 设级数(1) 与 (2) , 则( ). 级数(1)、(2)都收敛； 级数(1)、(2)都发散；级数(1)收敛,级数(2)发散； 级数(1)发散,级数(2)收敛 答.5. 下列级数中收敛的是( ) ； ； 答.6*. 若级数，则级数( ). ; ; ; . 答.7. 设与均为正项级数,若，则下列结论成立的是( ).收敛, 发散； 发散, 收敛；与都收敛,或与都发散. 不能判别. 答.8. 设正项级数收敛，则( ). 极限； 极限；极限； 无法判定. 答9. 用比值法或根值法判定级数发散，则( ). 可能发散； 一定发散；可能收敛； 不能判定. 答二、填空题1. 正项级数收敛的充分必要条件是部分和答：有上界.2. 设级数收敛，则的范围是 答：3. 级数的部分和，则 答：.4. 级数是收敛还是发散 答：收敛. 5. 若级数收敛，则的范围是 答：. 6. 级数是收敛还是发散 答：发散. 三、简答题1. 用比较法判定下列级数的敛散性：(1) ； 答：发散. (2) ； 答： 收敛.(3) ； 答：收敛. (4) .答收敛;发散. 2. 用比值法判定下列级数的敛散性：(1) ； 答：发散. (2) ； 答： 收敛. 解：(3) ； 答： 收敛. (4) 答： 收敛.解：3. 用根值法判定下列级数的敛散性：(1) ； 答： 收敛. (2) ； 答：收敛. 解：解： (3) ； 答：收敛. 解：(4) 其中，均为正数答：当时收敛，当时发散，当时不能判断11.3 一般项级数收敛判别法一、单项选择题1. 级数与满足,则( ) 若收敛,则发散； 若发散,则发散； 若收敛,则发散； 若收敛,则未必收敛答.2. 下列结论正确的是( ) 收敛，必条件收敛； 收敛，必绝对收敛； 发散，则必条件收敛； 收敛，则收敛答 .2. 下列级数中，绝对收敛的是( ) ; ； ； 答 . 3. 下列级数中，条件收敛的是( ) ； ； ； 答 .4. 设为常数，则级数( ). 绝对收敛； 条件收敛； 发散；敛散性与的取值有关 答.5. 设，则级数( ).与都收敛. 与都发散. 收敛，发散. 发散，收敛. 答.6.设,则下列级数中肯定收敛的是( ). . . . 答.7.下列命题中正确的是( ). 若与都收敛,则收敛.若收敛,则与都收敛. 若正项级数发散,则.若,且发散,则发散. 答.二、填空题1. 级数绝对收敛，则的取值范围是 答： 2. 级数条件收敛，则的取值范围是 答：3. 级数收敛，则是条件收敛还是绝对收敛 答：绝对 三、简答题1. 判定下列级数的敛散性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？(1) ； 答： 解：(2) ； 答： 解：(3) ； 答： 解：(4) ； 答： 解：(5) ； 答： 解：(6) 答： 解：11.4 幂级数收敛判别法一、单项选择题1. 幂级数的收敛区间是( ) ； ； ； 答.2. 幂级数的收敛区间是( )； ； ； 答.3. 幂级数的收敛半径是( ).； ； ； 答.（A） (C) （B） (D) 4. 若级数在处是收敛的，则此级数在处( ).发散；条件收敛； 绝对收敛； 收敛性不能确定 答.5. 若级数在处是收敛的，则此级数在处( ).发散；条件收敛； 绝对收敛； 收敛性不能确定 答.6若幂级数在处条件收敛，则级数( ).条件收敛； 绝对收敛； 发散； 敛散性不能确定. 答.二、填空题1. 幂级数的收敛域是 答： 2. 幂级数的收敛域是 答： 3. 幂级数的收敛半径 ，和函数是 答：4. 幂级数的收敛半径 ，和函数是 答：5. 设的收敛半径为，则的收敛半径为答：6. 设幂级数的收敛半径为，则的收敛半径为答：7. 幂级数的收敛域是 . 答：8. 幂级数在处条件收敛，则其收敛域为 .答：.一、简答题1. 求下列幂级数的收敛域(1) ； 答： (2) ； 答： (3) ； 答： (4) ； 答：(5) ; 答： (6) 答：2. 用逐项求导或逐项积分，求下列幂级数的和函数(1) ； 答：解：(2) 答：解：3*. 求级数的和答：解：11.5 函数展开成幂级数一、单项选择题1. 函数展开成的幂级数是( ) ； ； ； 答.2. 如果的麦克劳林展开式为，则是( ) ；答.3. 如果在的泰勒级数为，则是( ) ；答.4. 函数展开成的幂级数是( ) ； ； 答.二、填空题1. 函数的麦克劳林展开式为答： 2. 函数的麦克劳林展开式为答： 3. 幂级数的和函数是 答： 4. 函数的麦克劳林级数为 答：5. 函数的麦克劳林级数为 答：6. 函数的麦克劳林级数为答： 7. 函数在处的泰勒级数答： 8. 函数在处的泰勒级数答： 9. 函数展开成的幂级数为 答： 10. 函数展开成的幂级数为 答：11. 级数的和等于. 答：.三、简答题1. 将下列函数展开成的幂级数，并求展开式成立的区间(1) ； 解：答：(2) ； 解：答：(3) ； 解：答：(4*) ； 解：答：(5). 解：答：2. 将函数展开成的幂级数解：答： 3*. 将函数在展开成幂级数解：答： 4*. 将函数展开成的幂级数.解：答： 11.6 为周期的傅里叶级数一、单项选择题1. 函数系 在区间上正交； 在区间上不正交； 在区间上正交； 以上结论都不对答.2. 函数系 在区间上正交； 在区间上不正交； 不是周期函数； 以上结论都不对答.3. 下列结论不正确的是( ) ；答.4. 是以为周期的函数，当是奇函数时，其傅里叶系数为( ) ；答.5. 是以为周期的函数，当是偶函数时，其傅里叶系数为( ) ； 答.二、填空题1. 是以为周期的函数，傅里叶级数为答：其中2. 是以为周期的偶函数，傅里叶级数为 答： 3. 是以为周期的奇函数，傅里叶级数为 答： 4. 在的傅里叶级数中，的系数为答：5. 在的傅里叶级数中，的系数为答：6. 在的傅里叶级数中，的系数为答：三、简答题1. 下列函数的周期为，试将其展开为傅里叶级数(1) ； 解：答： (2) ； 解：答：2. 将函数展开为傅里叶级数解：答： 3. 将函数展开成傅里叶级数解：答：4. 将函数展开成正弦级数解：答：5. 将函数展开成正弦级数和余弦级数解：答：11.7 一般周期函数的傅里叶级数一、单项选择题1. 下列结论不正确的是( )；答. 2. 是以为周期的函数，则的傅里叶级数为( )； 答.3. 是以为周期的函数，当是偶函数时，其傅里叶级数为( )； ； 答.4. 是以为周期的函数，当是奇函数时，其傅里叶级数为( )； ； 答.二、填空题1. 是以为周期的函数, 的傅里叶级数为答：2. 是以为周期的偶函数, 的傅里叶级数为答： 3. 是以为周期的奇函数，的傅里叶级数为答： 4. 设是以为周期的函数，