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2 3 1抛物线及其标准方程 1 当e 1时 当e 1时 椭圆 双曲线 什么曲线 当0 e 1时 椭圆 双曲线的第二定义 问题 情景 平面内到一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹 F l P M N 即 一 定义 前提 1 平面内2 定点不在定直线上 定点F叫做抛物线的焦点 定直线l叫做抛物线的准线 平面内到一个定点F和一条定直线l l不经过点F 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 二 标准方程 椭圆和双曲线都有两条对称轴 我们以这两条对称轴为坐标轴 可以建立平面直角坐标系 而抛物线只有一条对称轴 我们以这条对称轴作为一条坐标轴 那么另一条坐标轴如何选择才使方程最简 思考 K 设 KF p p 0 则F 0 l x 设点M的坐标为 x y 由定义可知 MF MN 化简得y2 2px p 0 如图 建立直角坐标系 方程y2 2px p 0 叫做抛物线的标准方程 其中p为正常数 它的几何意义是 焦点到准线的距离 它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上 坐标是 它的准线方程是 练习 画出下列抛物线的草图并求焦点坐标和准线方程 1 y2 20 x 2 x2 y 3 2y2 5x 0 4 x2 8y 0 5 0 x 5 0 1 8 y 1 8 0 5 8 0 2 y 2 例1 1 已知抛物线的标准方程是y2 6x 求它的焦点坐标和准线方程 2 已知抛物线的焦点坐标是F 0 2 求它的标准方程 解 3 已知抛物线的标准方程是y 6x2 求它的焦点坐标和准线方程 例2求过点A 3 2 的抛物线的标准方程 解 当抛物线的焦点在y轴的正半轴上时 把A 3 2 代入x2 2py 得p 当焦点在x轴的负半轴上时 把A 3 2 代入y2 2px 得p 抛物线的标准方程为x2 y或y2 x 1 根据下列条件 写出抛物线的标准方程 1 焦点是F 3 0 2 准线方程是x 3 焦点到准线的距离是2 y2 12x y2 x y2 4x y2 4x x2 4y或x2 4y 实战演练 练习 抛物线焦点在直线x 2y 4 0上 求此时的标准方程 例3M是抛物线y2 2px P 0 上一点 若点M的横坐标为X0 则点M到焦点的距离是 X0 2 p 抛物线的焦半径长 发散探究 例4点M与点F 4 0 的距离比它到直线L x 5 0的距离小1 求点M的轨迹方程 1 椭圆 双曲线与抛物线的定义的联系及其区别 2 会运用抛物线的定义 标准方程求它的焦点 准线方程 3 充分体现数形结合的思想 小结 1 已知抛物线的方程 求它的焦点坐标和准线方程 1 y2 ax a 0 2 y 1 2 4 x 1 2001上海文 8 2 求以双曲线
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