量子力学课件完整版(适合初学者).ppt

1 量子力学 2 为什么要学习量子力学和统计物理学 1960年代 著名微波电子学家Pirls曾说 量子力学 统计物理学是高度抽象的科学 不需要所有的人都懂得这种理论物理科学 然而 在1990年代 随着高技术科学的发展 要求我们必须掌握理论物理学 包括量子力学和统计物理学 例如 微电子器件的集成度越来越高 组成器件的每一个元件的体积越来越小 目前 元件的尺寸可以达到nm级 3 这面临着两个问题 1 信号电磁波所覆盖的区域包括大量的元件 每个元件的工作状态有随机性 但器件的响应具有统计性 2 构成元件的材料的体积属于原子团物理的范畴 即每个粒子含有有限个原子 102 109个原子 这时的统计平均具有显著的涨落 必须考虑量子效应 4 量子力学 南京工业大学理学院吴高建 第一章绪论 5 1 1经典物理学的困难 6 19世纪末 物理学界建立了牛顿力学 电动力学 热力学与统计物理 统称为经典物理学 其中的两个结论为1 能量永远是连续的 2 电磁波 包括光 是这样产生的 带电体做加速运动时 会向外辐射电磁波 7 牛顿力学 支配天体和力学对象的运动 杨氏衍射实验 确定了光的波动性 Maxwell方程组的建立 把光和电磁现象建立在牢固的基础上 统计力学的建立 经典物理学的成就 8 而一旦深入到分子 原子领域 一些实验事实就与经典理论发生矛盾或者无法理解 9 20世纪初物理学界遇到的几个难题 1两朵乌云 W Thomson 电动力学中的 以太 人们无法通过实验测出以太本身的运动速度 物体的比热 观察到的物体比热总是低于经典物理学中能量均分定理给出的值 10 2原子的稳定性问题 原子塌缩按照经典理论 电子将掉到原子核里 原子的寿命约为1ns 3黑体辐射问题 紫外灾难按照经典理论 黑体向外辐射电磁波的能量E与频率的关系为 11 4 光电效应的解释光照射到金属材料上 会产生光电子 但产生条件与光的频率有关 与光的强度无关 12 能量量子化的假设 造成以上难题的原因是经典物理学认为能量永远是连续的 如果能量是量子化的 即原子吸收或发射电磁波 只能以 量子 的方式进行 那末上述问题都能得到很好的解释 13 能量量子化概念对难题的解释 原子寿命 原子中的电子只能处于一系列分立的能级之中 即E1 E2 En 当电子从能级En变化到Em时 将伴随着能量的吸收或发射 能量的形式是电磁波 能量的大小为E h En Em 由此 提出了产生电磁波的量子论观点 即电磁波源于原子中电子能态的跃迁 从而 电子就不会掉到原子核里 原子的寿命就会很长 14 能量量子化概念对难题的解释 黑体辐射从能量量子化假设出发 可以推导出同实验观测极为吻合的黑体辐射公式 即Planck公式 15 普朗克 Planck 大胆假设 无论是黑体辐射也好 还是固体中原子振动也好 它们都是以分立的能量显示 即能量模式是不连续的 所以 辐射的平均能量可如此计算得 16 经典的能量分布几率 所以对于连续分布的辐射平均能量为 玻尔兹曼几率分布 在能量范围内 17 而对于Planck假设的能量分布几率 则为 从而 18 于是 用电动力学和统计力学导出的公式 Rayleigh Jeans 这就是Planck假设下的辐射本领 它与实验完全符合 应改为 19 当 高频区 Wein公式当 低频区 Rayleigh Jeans公式 20 能量量子化概念对难题的解释 对光电效应的解释如果电子处于分立能级且入射光的能量也是量子化的 那么只有当光子的能量 E h 大于电子的能级差 即E h En Em时 光电子才会产生 如果入射光的强度足够强 但频率 足够小 光电子是无法产生的 21 1 2光的波粒二象性 22 爱因斯坦方程 对光电效应的解释是爱因斯坦于1905年做出的 他也因此获得诺贝尔奖 其中 他对光子的能量E是如此假定的 23 光子的能量与动量 并用 c 和狭义相对论中的公式p E c推出光子的动量p为p h E h 频率 波长 h 普朗克常数 24 光的波粒二象性 波粒二象性 又称为波动粒子两重性 是指物体 小到光子 电子 原子 大到子弹 足球 地球 都既有波动性 又有粒子性 频率为 的单色光波是由能量为E h 的一个个粒子组成的 这样的粒子被称为光子 或光量子 光子的粒子性 光电效应 光子的波动性 光的衍射和干涉 25 光的波粒二象性 杨氏干涉实验和惠更斯衍射实验都表明了光的波动性 光电效应又证实了光子的粒子性 26 1 3微粒的波粒二象性 27 1物质波的概念 法国人DeBroglie从光的量子论中得到启发 假设任何物体 无论是静止质量为零的光子 还是静止质量不为零的实物粒子 都具有粒子波动两重性 其中的波动 通称为物质波 认为物质波的频率和波长分别为 E h h p这就是著名的德布罗意公式 28 2实物粒子的波动 从德布罗意物质波的观点出发 就会得出一种违背常理的结论 躲在靶子后面仍然会被绕过来的子弹打中 子弹之所以不能绕到靶子后面 是因为子弹的波长 h p太小了 h 6 62 10 34Js p mv 29 3电子与分子的衍射与干涉实验 电子衍射C60分子干涉图 30 4波粒二象性既不是经典的粒子 也不是经典的波 5物理意义 概率波与概率幅 概率波 M Born 1926 物质波描述了粒子在各处发现的概率 概率幅 波函数 也叫概率幅 概率密度 波的叠加是概率幅叠加 而非概率叠加 31 1 4不确定关系 32 物质波的观点直接导致这样一个结论 无法同时准确测量一个粒子的坐标和动量q 坐标 p 动量 另有 能量和时间的不确定关系 33 量子力学的特点 能量量子化 波粒二象性 不确定关系 需要用一个完整的理论将这些离散的假设和概念统一起来 量子力学 应运而生 34 量子力学 的作用 一般工科 建立概念与启迪思维 重点在了解 材料学 重点是建立正确的 系统的 完整的概念 为后续课程以及将来从事材料学领域的研究奠定基础 理科 四大力学之一 应该精通 并作为日后从事研究的工具 35 学习 量子力学 时应注意的问题 概念是灵魂 建立起清晰的概念数学是桥梁 不必过分拘泥于数学推导结论是收获 铭记结论在材料学中的作用 36 学习量子力学 其困难在于 发现它与我们熟悉的经典物理学中的习惯或概念不一致 b 量子力学中的新的物理概念不是直观的 c 处理问题时 与经典物理学在手法上截然不同 它的重要性在状态 算符和演化 37 所以 我们强调 掌握实验事实 及它给我们的启示 不直接与主观经验联系 不先入为主 b 掌握和理解量子力学的基本概念 新的概念的依据和特点 新在什么地方 如何理解 c 掌握理论中建立的方程和所用的数学方法以及处理它们的思路和步骤 38 参考书目 曾谨言 量子力学 科学出版社周世勋 量子力学教程 高等教育出版社 39 量子力学 第二章波函数及薛定谔方程 40 2 1波函数及其统计解释 41 自由粒子指的是不受外力作用 静止或匀速运动的质点 因此 其能量E和动量都是常量 根据德布罗意波粒二象性的假设 自由粒子的频率和波长分别为又因为波矢为 因此 自由粒子的 和k都为常量 得到 一 自由粒子的波函数 42 和k都为常量的波应该是平面波 可用以下函数描述或将上式代入 得到这就是自由粒子的波函数 它将粒子的波动同其能量和动量联系了起来 它是时间和空间的函数 即 43 二 一般粒子的波函数及其物理意义 1当粒子受到外力的作用时 其能量和动量不再是常量 也就无法用简单的函数来描述 但总可以用一个函数来描述这个粒子的特性 称其为粒子的波函数 44 2物理意义 对实物粒子的波动性有两种解释 1 第一种解释 认为粒子波就是粒子的某种实际结构 即将粒子看成是三维空间中连续分布的一种物质波包 波包的大小即粒子的大小 波包的群速度即粒子的运动速度 粒子的干涉和衍射等波动性都源于这种波包结构 45 能量和动量的关系为 利用得到物质波包的观点夸大了波动性的一面 抹杀了粒子性的一面 与实际不符 46 2 第二种解释 认为粒子的衍射行为是大量粒子相互作用或疏密分布而产生的行为 然而 电子衍射实验表明 就衍射效果而言 弱电子密度 长时间 强电子密度 短时间由此表明 对实物粒子而言 波动性体现在粒子在空间的位置是不确定的 它是以一定的概率存在于空间的某个位置 47 3 概率波 粒子的波动性可以用波函数来表示 其中 振幅表示波动在空间一点 x y z 上的强弱 所以 应该表示粒子出现在点 x y z 附近的概率大小的一个量 因此 粒子的波函数又称为概率波 48 由波函数还可以决定粒子的其它各种物理可观察量 以后讲 所以波函数完全描写了微观粒子 或一般地说 量子体系 的状态 这种描写在本质上具有统计的特征 49 三 波函数的统计诠释 表示粒子出现在点 x y z 附近的概率 表示点 x y z 处的体积元中找到粒子的概率 这就是波函数的统计诠释 必然有以下归一化条件 50 四 常数因子不定性 设C是一个常数 则和对粒子在点 x y z 附件出现概率的描述是相同的 如果则有 等同于 51 说明 1即使要求波函数是归一化的 它仍有一个位相因子的不确定性 相位不确定性 例如 常数 则和对粒子在点 x y z 附近出现概率的描述是相同的 2有些波函数不能 有限地 归一 如平面波 52 五 对波函数的要求 1 可积性2 归一化3 单值性 要求单值4 连续性 53 六 态的叠加原理 波的干涉 衍射现象的本质原因是因为它满足叠加原理 微观粒子所显示的波动性表明 波函数也应满足叠加原理 54 如果 1和 2是体系可能的状态 那么 c1 1 c2 2也是体系的可能状态 对于合成的状态 其中 就是干涉项 其中 其中 55 一般地说 叠加原理可以写成 这导致了量子力学中的一个重要概念 对于一个指定的量子体系 如果我们找到了它的 完备的基本状态 例如 那么任何状态都可以由这些基本状态叠加而得到 运动的状态是平面波 因此 自由电子的任何状态都可以写成 即是各种不同动量的平面波的叠加 例如 一个自由电子以动量 和能量 56 这个例子在数学上就是函数的Fourier变换 引入 那么任何波函数 不一定是自由粒子的 都可以写成 其中的系数由下式得出 这个 的物理意义是 动量测量几率振幅 对于一维情形 57 七 动量分布概率 设 则表示粒子出现在点附件的概率 设为粒子的动量 那么粒子具有动量的概率如何表示 平面波的波函数为任意粒子的波函数可以按此平面波做傅立叶展开 58 其中 可见 代表中含有平面波的成分 因此 应该代表粒子具有动量的概率 59 2 2薛定谔方程 60 一Schrodinger方程 量子力学的基本定律是波函数所满足的偏微分方程 这个基本定律在本质上是一个假说 deBroglie波 满足的方程是 而 所以 61 这可以看做是在经典关系 中进行代换 可以推广地说 若粒子在外势场 中运动 其能量的表达式为 62 则它的波函数应该满足方程 此即单粒子运动的Schrodinger方程 1926 63 二几率守恒定律 粒子的空间几率密度是 根据Schrodinger方程 64 记 则 而这表示了一种守恒定律 65 因为 对任何体积V 等式右方用Gauss定理 得 是在体积V内发现粒子的总几率 而 穿过封闭曲面S向外的总通量 所以 是 几率流密度 而上式表现了几率守恒 几率守恒也就是粒子数守恒 66 三定态Schrodinger方程 若与时间无关 则Schrodinger方程可以分离变量求解 67 波函数成为 这样的波函数 或者是波函数 称为定态波函数 对比deBroglie波 我们发现常数E的物理意义正是粒子的能量 所以定态是体系的能量有确定值的状态 在定态中 体系的各种力学性质不随时间而改变 68 的方程称为该算符的本征方程 常数称为本征值 方程的解称为 该算符的属于该本征值的 本征函数 所以定态Schrodinger方程也就是能量本征方程 形如 算符作用于波函数 常数乘以这波函数 69 2 3一维运动的一般分析 70 一 一维势场中粒子能量本征态的一般性质 1 定态2 简并如果系统的能级是分立的 即 若对同一个能级 有两个及其以上的本征函数与其对应 则称这个能级是简并的 71 3 宇称 函数在空间反演下表现出的特性 72 4 定态薛定格方程 能量本征方程 73 5 束缚态与非束缚态 74 定理1 75 推论1 76 定理2 77 78 79 80 81 82 83 84 2 4一维无限深势阱和方势阱 85 一 一维无限深方势阱 1 势函数如果在 由能量本征方程 有其解为 其中由边界条件和 有和 波函数为 86 2 能量量子化由 和得到 这说明 一维无限深方势阱中的粒子的能量是量子化的 称为体系的能量本征值 与对应的波函数称为能量本征函数 87 将波函数进行归一化 即令 得到归一化波函数为 3 归一化波函数 88 最低能量经典粒子 可以有一维无限深方势阱中的粒子 由测不准关系 得到因此 粒子能量 4 讨论 89 在 有个节点 其上说明粒子在这些节点上出现的概率为零 对于经典粒子来说 它在内任何一点都有可能出现 90 二 有限深对称方势阱 设粒子能量条件在阱内能量本征方程解 91 在阱外能量本征方程解 说明粒子不会出现在 说明的粒子也有到达势阱外的可能 92 2 5量子隧道效应 93 一 方势垒的反射与透射 在 能量本征方程解粒子流密度反射系数透射系数 94 在 能量本征方程解 95 解代数方程 得到势垒贯穿隧穿效应 96 电子的势垒贯穿12510当势垒宽度为原子限度时 透射相当可观 97 二 势的反射与透射 设质量为m的粒子 E 0 从左射入 势垒 98 99 100 101 讨论 102 2 6线性谐振子 103 1 能量本征方程 简谐运动 体系在平衡位置附件的微小振动一维谐振子 粒子一维情况下的简谐运动 同时粒子的势能可以表示为例如 双原子分子中两原子之间的势能一维谐振子的能量本征方程 104 2 能量本征方程的解 能量本征方程变为当时 有 其解能量本征方程的解可表示为其中 为待求函数 代入能量本征方程 有其解为亦即厄密多项式 当时 要求得到 105 3 能量本征值 因为同时故讨论 1 能级是均匀分布的 2 相邻能级差相同 3 基态能量 称为零点能 4 谐振子吸收能量后 有可能从下能级跃迁到上能级 相反 放出能量后 有可能从上能级跃迁到下能级 106 4 能量本征态 1 因为 其中 要根据的归一化条件确定 即由于得到能量本征态正交归一化 107 4 能量本征态 2 最低三条能级上的波函数为 108 扫描隧道显微镜 109 扫描隧道显微镜 110 扫描出的纳米级图像 111 扫描隧道显微镜拍下的DNA 112 扫描隧道显微镜 下拍摄的 血细胞 113 用扫描隧道显微镜拍摄到的图像 114 STM工作原理 115 用STM移动氙原子排出的 IBM 图案 116 作为一种扫描探针显微术工具 扫描隧道显微镜可以让科学家观察和定位单个原子 它具有比它的同类原子力显微镜更加高的分辨率 此外 扫描隧道显微镜在低温下 4K 可以利用探针尖端精确操纵原子 因此它在纳米科技既是重要的测量工具又是加工工具 扫描隧道显微镜scanningtunnelingmicroscope 117 STM使人类第一次能够实时地观察单个原子在物质表面的排列状态和与表面电子行为有关的物化性质 在表面科学 材料科学 生命科学等领域的研究中有着重大的意义和广泛的应用前景 被国际科学界公认为20世纪80年代世界十大科技成就之一 118 基本结构 隧道针尖 三维扫描控制器 减震系统 电子学控制系统 在线扫描控制和离线数据处理软件 119 工作原理 扫描隧道显微镜的工作原理简单得出乎意料 就如同一根唱针扫过一张唱片 一根探针慢慢地通过要被分析的材料 针尖极为尖锐 仅仅由一个原子组成 一个小小的电荷被放置在探针上 一股电流从探针流出 通过整个材料 到底层表面 当探针通过单个的原子 流过探针的电流量便有所不同 这些变化被记录下来 电流在流过一个原子的时候有涨有落 如此便极其细致地探出它的轮廓 在许多的流通后 通过绘出电流量的波动 人们可以得到组成一个网格结构的单个原子的美丽图片 120 优越性 具有原子级高分辨率 STM在平行于样品表面方向上的分辨率分别可达0 1nm和0 01nm 即可以分辨出单个原子 可实时得到实空间中样品表面的三维图像 可用于具有周期性或不具备周期性的表面结构的研究 这种可实时观察的性能可用于表面扩散等动态过程的研究 121 可以观察单个原子层的局部表面结构 而不是对体相或整个表面的平均性质 因而可直接观察到表面缺陷 表面重构 表面吸附体的形态和位置 以及由吸附体引起的表面重构等 可在真空 大气 常温等不同环境下工作 样品甚至可浸在水和其他溶液中不需要特别的制样技术并且探测过程对样品无损伤 122 配合扫描隧道谱 STS 可以得到有关表面电子结构的信息 例如表面不同层次的态密度 表面电子阱 电荷密度波 表面势垒的变化和能隙结构等 利用STM针尖 可实现对原子和分子的移动和操纵 这为纳米科技的全面发展奠定了基础 123 局限性 STM所观察的样品必须具有一定程度的导电性 对于半导体 观测的效果就差于导体 对于绝缘体则根本无法直接观察 如果在样品表面覆盖导电层 则由于导电层的粒度和均匀性等问题又限制了图象对真实表面的分辨率 宾尼等人1986年研制成功的AFM可以弥补STM这方面的不足 124 量子力学 第二章波函数及薛定谔方程 125 2 1波函数及其统计解释 126 自由粒子指的是不受外力作用 静止或匀速运动的质点 因此 其能量E和动量都是常量 根据德布罗意波粒二象性的假设 自由粒子的频率和波长分别为又因为波矢为 因此 自由粒子的 和k都为常量 得到 一 自由粒子的波函数 127 和k都为常量的波应该是平面波 可用以下函数描述或将上式代入 得到这就是自由粒子的波函数 它将粒子的波动同其能量和动量联系了起来 它是时间和空间的函数 即 128 二 一般粒子的波函数及其物理意义 1当粒子受到外力的作用时 其能量和动量不再是常量 也就无法用简单的函数来描述 但总可以用一个函数来描述这个粒子的特性 称其为粒子的波函数 129 2物理意义 对实物粒子的波动性有两种解释 1 第一种解释 认为粒子波就是粒子的某种实际结构 即将粒子看成是三维空间中连续分布的一种物质波包 波包的大小即粒子的大小 波包的群速度即粒子的运动速度 粒子的干涉和衍射等波动性都源于这种波包结构 130 能量和动量的关系为 利用得到物质波包的观点夸大了波动性的一面 抹杀了粒子性的一面 与实际不符 131 2 第二种解释 认为粒子的衍射行为是大量粒子相互作用或疏密分布而产生的行为 然而 电子衍射实验表明 就衍射效果而言 弱电子密度 长时间 强电子密度 短时间由此表明 对实物粒子而言 波动性体现在粒子在空间的位置是不确定的 它是以一定的概率存在于空间的某个位置 132 3 概率波 粒子的波动性可以用波函数来表示 其中 振幅表示波动在空间一点 x y z 上的强弱 所以 应该表示粒子出现在点 x y z 附近的概率大小的一个量 因此 粒子的波函数又称为概率波 133 由波函数还可以决定粒子的其它各种物理可观察量 以后讲 所以波函数完全描写了微观粒子 或一般地说 量子体系 的状态 这种描写在本质上具有统计的特征 134 三 波函数的统计诠释 表示粒子出现在点 x y z 附近的概率 表示点 x y z 处的体积元中找到粒子的概率 这就是波函数的统计诠释 必然有以下归一化条件 135 四 常数因子不定性 设C是一个常数 则和对粒子在点 x y z 附件出现概率的描述是相同的 如果则有 等同于 136 说明 1即使要求波函数是归一化的 它仍有一个位相因子的不确定性 相位不确定性 例如 常数 则和对粒子在点 x y z 附近出现概率的描述是相同的 2有些波函数不能 有限地 归一 如平面波 137 五 对波函数的要求 1 可积性2 归一化3 单值性 要求单值4 连续性 138 六 态的叠加原理 波的干涉 衍射现象的本质原因是因为它满足叠加原理 微观粒子所显示的波动性表明 波函数也应满足叠加原理 139 如果 1和 2是体系可能的状态 那么 c1 1 c2 2也是体系的可能状态 对于合成的状态 其中 就是干涉项 其中 其中 140 一般地说 叠加原理可以写成 这导致了量子力学中的一个重要概念 对于一个指定的量子体系 如果我们找到了它的 完备的基本状态 例如 那么任何状态都可以由这些基本状态叠加而得到 运动的状态是平面波 因此 自由电子的任何状态都可以写成 即是各种不同动量的平面波的叠加 例如 一个自由电子以动量 和能量 141 这个例子在数学上就是函数的Fourier变换 引入 那么任何波函数 不一定是自由粒子的 都可以写成 其中的系数由下式得出 这个 的物理意义是 动量测量几率振幅 对于一维情形 142 七 动量分布概率 设 则表示粒子出现在点附件的概率 设为粒子的动量 那么粒子具有动量的概率如何表示 平面波的波函数为任意粒子的波函数可以按此平面波做傅立叶展开 143 其中 可见 代表中含有平面波的成分 因此 应该代表粒子具有动量的概率 144 2 2薛定谔方程 145 一Schrodinger方程 量子力学的基本定律是波函数所满足的偏微分方程 这个基本定律在本质上是一个假说 deBroglie波 满足的方程是 而 所以 146 这可以看做是在经典关系 中进行代换 可以推广地说 若粒子在外势场 中运动 其能量的表达式为 147 则它的波函数应该满足方程 此即单粒子运动的Schrodinger方程 1926 148 二几率守恒定律 粒子的空间几率密度是 根据Schrodinger方程 149 记 则 而这表示了一种守恒定律 150 因为 对任何体积V 等式右方用Gauss定理 得 是在体积V内发现粒子的总几率 而 穿过封闭曲面S向外的总通量 所以 是 几率流密度 而上式表现了几率守恒 几率守恒也就是粒子数守恒 151 三定态Schrodinger方程 若与时间无关 则Schrodinger方程可以分离变量求解 152 波函数成为 这样的波函数 或者是波函数 称为定态波函数 对比deBroglie波 我们发现常数E的物理意义正是粒子的能量 所以定态是体系的能量有确定值的状态 在定态中 体系的各种力学性质不随时间而改变 153 的方程称为该算符的本征方程 常数称为本征值 方程的解称为 该算符的属于该本征值的 本征函数 所以定态Schrodinger方程也就是能量本征方程 形如 算符作用于波函数 常数乘以这波函数 154 2 3一维运动的一般分析 155 一 一维势场中粒子能量本征态的一般性质 1 定态2 简并如果系统的能级是分立的 即 若对同一个能级 有两个及其以上的本征函数与其对应 则称这个能级是简并的 156 3 宇称 函数在空间反演下表现出的特性 157 4 定态薛定格方程 能量本征方程 158 5 束缚态与非束缚态 159 定理1 160 推论1 161 定理2 162 163 164 165 166 167 168 169 2 4一维无限深势阱和方势阱 170 一 一维无限深方势阱 1 势函数如果在 由能量本征方程 有其解为 其中由边界条件和 有和 波函数为 171 2 能量量子化由 和得到 这说明 一维无限深方势阱中的粒子的能量是量子化的 称为体系的能量本征值 与对应的波函数称为能量本征函数 172 将波函数进行归一化 即令 得到归一化波函数为 3 归一化波函数 173 最低能量经典粒子 可以有一维无限深方势阱中的粒子 由测不准关系 得到因此 粒子能量 4 讨论 174 在 有个节点 其上说明粒子在这些节点上出现的概率为零 对于经典粒子来说 它在内任何一点都有可能出现 175 二 有限深对称方势阱 设粒子能量条件在阱内能量本征方程解 176 在阱外能量本征方程解 说明粒子不会出现在 说明的粒子也有到达势阱外的可能 177 2 5量子隧道效应 178 一 方势垒的反射与透射 在 能量本征方程解粒子流密度反射系数透射系数 179 在 能量本征方程解 180 解代数方程 得到势垒贯穿隧穿效应 181 电子的势垒贯穿12510当势垒宽度为原子限度时 透射相当可观 182 二 势的反射与透射 设质量为m的粒子 E 0 从左射入 势垒 183 184 185 186 讨论 187 2 6线性谐振子 188 1 能量本征方程 简谐运动 体系在平衡位置附件的微小振动一维谐振子 粒子一维情况下的简谐运动 同时粒子的势能可以表示为例如 双原子分子中两原子之间的势能一维谐振子的能量本征方程 189 2 能量本征方程的解 能量本征方程变为当时 有 其解能量本征方程的解可表示为其中 为待求函数 代入能量本征方程 有其解为亦即厄密多项式 当时 要求得到 190 3 能量本征值 因为同时故讨论 1 能级是均匀分布的 2 相邻能级差相同 3 基态能量 称为零点能 4 谐振子吸收能量后 有可能从下能级跃迁到上能级 相反 放出能量后 有可能从上能级跃迁到下能级 191 4 能量本征态 1 因为 其中 要根据的归一化条件确定 即由于得到能量本征态正交归一化 192 4 能量本征态 2 最低三条能级上的波函数为 193 扫描隧道显微镜 194 扫描隧道显微镜 195 扫描出的纳米级图像 196 扫描隧道显微镜拍下的DNA 197 扫描隧道显微镜 下拍摄的 血细胞 198 用扫描隧道显微镜拍摄到的图像 199 STM工作原理 200 用STM移动氙原子排出的 IBM 图案 201 作为一种扫描探针显微术工具 扫描隧道显微镜可以让科学家观察和定位单个原子 它具有比它的同类原子力显微镜更加高的分辨率 此外 扫描隧道显微镜在低温下 4K 可以利用探针尖端精确操纵原子 因此它在纳米科技既是重要的测量工具又是加工工具 扫描隧道显微镜scanningtunnelingmicroscope 202 STM使人类第一次能够实时地观察单个原子在物质表面的排列状态和与表面电子行为有关的物化性质 在表面科学 材料科学 生命科学等领域的研究中有着重大的意义和广泛的应用前景 被国际科学界公认为20世纪80年代世界十大科技成就之一 203 基本结构 隧道针尖 三维扫描控制器 减震系统 电子学控制系统 在线扫描控制和离线数据处理软件 204 工作原理 扫描隧道显微镜的工作原理简单得出乎意料 就如同一根唱针扫过一张唱片 一根探针慢慢地通过要被分析的材料 针尖极为尖锐 仅仅由一个原子组成 一个小小的电荷被放置在探针上 一股电流从探针流出 通过整个材料 到底层表面 当探针通过单个的原子 流过探针的电流量便有所不同 这些变化被记录下来 电流在流过一个原子的时候有涨有落 如此便极其细致地探出它的轮廓 在许多的流通后 通过绘出电流量的波动 人们可以得到组成一个网格结构的单个原子的美丽图片 205 优越性 具有原子级高分辨率 STM在平行于样品表面方向上的分辨率分别可达0 1nm和0 01nm 即可以分辨出单个原子 可实时得到实空间中样品表面的三维图像 可用于具有周期性或不具备周期性的表面结构的研究 这种可实时观察的性能可用于表面扩散等动态过程的研究 206 可以观察单个原子层的局部表面结构 而不是对体相或整个表面的平均性质 因而可直接观察到表面缺陷 表面重构 表面吸附体的形态和位置 以及由吸附体引起的表面重构等 可在真空 大气 常温等不同环境下工作 样品甚至可浸在水和其他溶液中不需要特别的制样技术并且探测过程对样品无损伤 207 配合扫描隧道谱 STS 可以得到有关表面电子结构的信息 例如表面不同层次的态密度 表面电子阱 电荷密度波 表面势垒的变化和能隙结构等 利用STM针尖 可实现对原子和分子的移动和操纵 这为纳米科技的全面发展奠定了基础 208 局限性 STM所观察的样品必须具有一定程度的导电性 对于半导体 观测的效果就差于导体 对于绝缘体则根本无法直接观察 如果在样品表面覆盖导电层 则由于导电层的粒度和均匀性等问题又限制了图象对真实表面的分辨率 宾尼等人1986年研制成功的AFM可以弥补STM这方面的不足 209 量子力学 第二章波函数及薛定谔方程 210 2 1波函数及其统计解释 211 自由粒子指的是不受外力作用 静止或匀速运动的质点 因此 其能量E和动量都是常量 根据德布罗意波粒二象性的假设 自由粒子的频率和波长分别为又因为波矢为 因此 自由粒子的 和k都为常量 得到 一 自由粒子的波函数 212 和k都为常量的波应该是平面波 可用以下函数描述或将上式代入 得到这就是自由粒子的波函数 它将粒子的波动同其能量和动量联系了起来 它是时间和空间的函数 即 213 二 一般粒子的波函数及其物理意义 1当粒子受到外力的作用时 其能量和动量不再是常量 也就无法用简单的函数来描述 但总可以用一个函数来描述这个粒子的特性 称其为粒子的波函数 214 2物理意义 对实物粒子的波动性有两种解释 1 第一种解释 认为粒子波就是粒子的某种实际结构 即将粒子看成是三维空间中连续分布的一种物质波包 波包的大小即粒子的大小 波包的群速度即粒子的运动速度 粒子的干涉和衍射等波动性都源于这种波包结构 215 能量和动量的关系为 利用得到物质波包的观点夸大了波动性的一面 抹杀了粒子性的一面 与实际不符 216 2 第二种解释 认为粒子的衍射行为是大量粒子相互作用或疏密分布而产生的行为 然而 电子衍射实验表明 就衍射效果而言 弱电子密度 长时间 强电子密度 短时间由此表明 对实物粒子而言 波动性体现在粒子在空间的位置是不确定的 它是以一定的概率存在于空间的某个位置 217 3 概率波 粒子的波动性可以用波函数来表示 其中 振幅表示波动在空间一点 x y z 上的强弱 所以 应该表示粒子出现在点 x y z 附近的概率大小的一个量 因此 粒子的波函数又称为概率波 218 由波函数还可以决定粒子的其它各种物理可观察量 以后讲 所以波函数完全描写了微观粒子 或一般地说 量子体系 的状态 这种描写在本质上具有统计的特征 219 三 波函数的统计诠释 表示粒子出现在点 x y z 附近的概率 表示点 x y z 处的体积元中找到粒子的概率 这就是波函数的统计诠释 必然有以下归一化条件 220 四 常数因子不定性 设C是一个常数 则和对粒子在点 x y z 附件出现概率的描述是相同的 如果则有 等同于 221 说明 1即使要求波函数是归一化的 它仍有一个位相因子的不确定性 相位不确定性 例如 常数 则和对粒子在点 x y z 附近出现概率的描述是相同的 2有些波函数不能 有限地 归一 如平面波 222 五 对波函数的要求 1 可积性2 归一化3 单值性 要求单值4 连续性 223 六 态的叠加原理 波的干涉 衍射现象的本质原因是因为它满足叠加原理 微观粒子所显示的波动性表明 波函数也应满足叠加原理 224 如果 1和 2是体系可能的状态 那么 c1 1 c2 2也是体系的可能状态 对于合成的状态 其中 就是干涉项 其中 其中 225 一般地说 叠加原理可以写成 这导致了量子力学中的一个重要概念 对于一个指定的量子体系 如果我们找到了它的 完备的基本状态 例如 那么任何状态都可以由这些基本状态叠加而得到 运动的状态是平面波 因此 自由电子的任何状态都可以写成 即是各种不同动量的平面波的叠加 例如 一个自由电子以动量 和能量 226 这个例子在数学上就是函数的Fourier变换 引入 那么任何波函数 不一定是自由粒子的 都可以写成 其中的系数由下式得出 这个 的物理意义是 动量测量几率振幅 对于一维情形 227 七 动量分布概率 设 则表示粒子出现在点附件的概率 设为粒子的动量 那么粒子具有动量的概率如何表示 平面波的波函数为任意粒子的波函数可以按此平面波做傅立叶展开 228 其中 可见 代表中含有平面波的成分 因此 应该代表粒子具有动量的概率 229 2 2薛定谔方程 230 一Schrodinger方程 量子力学的基本定律是波函数所满足的偏微分方程 这个基本定律在本质上是一个假说 deBroglie波 满足的方程是 而 所以 231 这可以看做是在经典关系 中进行代换 可以推广地说 若粒子在外势场 中运动 其能量的表达式为 232 则它的波函数应该满足方程 此即单粒子运动的Schrodinger方程 1926 233 二几率守恒定律 粒子的空间几率密度是 根据Schrodinger方程 234 记 则 而这表示了一种守恒定律 235 因为 对任何体积V 等式右方用Gauss定理 得 是在体积V内发现粒子的总几率 而 穿过封闭曲面S向外的总通量 所以 是 几率流密度 而上式表现了几率守恒 几率守恒也就是粒子数守恒 236 三定态Schrodinger方程 若与时间无关 则Schrodinger方程可以分离变量求解 237 波函数成为 这样的波函数 或者是波函数 称为定态波函数 对比deBroglie波 我们发现常数E的物理意义正是粒子的能量 所以定态是体系的能量有确定值的状态 在定态中 体系的各种力学性质不随时间而改变 238 的方程称为该算符的本征方程 常数称为本征值 方程的解称为 该算符的属于该本征值的 本征函数 所以定态Schrodinger方程也就是能量本征方程 形如 算符作用于波函数 常数乘以这波函数 239 2 3一维运动的一般分析 240 一 一维势场中粒子能量本征态的一般性质 1 定态2 简并如果系统的能级是分立的 即 若对同一个能级 有两个及其以上的本征函数与其对应 则称这个能级是简并的 241 3 宇称 函数在空间反演下表现出的特性 242 4 定态薛定格方程 能量本征方程 243 5 束缚态与非束缚态 244 定理1 245 推论1 246 定理2 247 248 249 250 251 252 253 254 2 4一维无限深势阱和方势阱 255 一 一维无限深方势阱 1 势函数如果在 由能量本征方程 有其解为 其中由边界条件和 有和 波函数为 256 2 能量量子化由 和得到 这说明 一维无限深方势阱中的粒子的能量是量子化的 称为体系的能量本征值 与对应的波函数称为能量本征函数 257 将波函数进行归一化 即令 得到归一化波函数为 3 归一化波函数 258 最低能量经典粒子 可以有一维无限深方势阱中的粒子 由测不准关系 得到因此 粒子能量 4 讨论 259 在 有个节点 其上说明粒子在这些节点上出现的概率为零 对于经典粒子来说 它在内任何一点都有可能出现 260 二 有限深对称方势阱 设粒子能量条件在阱内能量本征方程解 261 在阱外能量本征方程解 说明粒子不会出现在 说明的粒子也有到达势阱外的可能 262 2 5量子隧道效应 263 一 方势垒的反射与透射 在 能量本征方程解粒子流密度反射系数透射系数 264 在 能量本征方程解 265 解代数方程 得到势垒贯穿隧穿效应 266 电子的势垒贯穿12510当势垒宽度为原子限度时 透射相当可