高考数学解题中突破思维障碍的技巧

高考数学解题中突破思维障碍的技巧 泉州五中数学组赵志毅 高考数学解题中，如何突破思维障碍，促进思维流畅，正常发挥，取得优异成绩呢？笔者经过近三十年的教学，带出十几届高三毕业生，总结出以下几点，有失偏颇之处，还请各位同行不吝指正： 1、高考数学解题中形成思维障碍、思维屏蔽的原因： 1.1基础知识不系统，不扎实，重要概念一知半解，似懂非懂，定理、法则、公式丢三落四，囫囵吞枣，不了解知识的内涵、外延、公式、定理的使用条件； 1.2基本数学思想方法意识淡薄，不能用学科思想指导解题； 1.3缺乏学科整体意识，不善于发现数学知识间的联系与转化，不了解知识网络的交汇点； 1.4学法呆板，学习中死记硬背，练习时机械摹仿； 1.5思维方式低下，只知顺向思维，缺少转换视角、逆向思维或发散思维的意识和能力； 1.6解题习惯不良，不遵循解题格式思维和表述，随手乱画草图，随意省略过程，甚至丢三落四，盲目添加、默认或修改条件和结论，乱套数学模型； 1.7对题目的新颖情境辨析能力差； 1.8心理素质欠佳，一遇困难，情绪陡下，不能集中注意力，积极思维 2、高考数学解题中，出现解题思维障碍的表征： 2.1题目情境新，涉及知识深，背景材料不熟，无法寻求相近、相似的数学模式； 2.2条件众多且分散，无法发现它们间的联系或转化途径； 2.3数学记号与数学语言新奇、陌生、抽象，不能理解其数学内涵； 2.4目标不明确、不具体，且无法与条件沟通； 2.5条件不充分，且无法发现足够的隐含条件； 2.6按常规思路计算量大，解题长度太长； 2.7应用题所列实际问题情境不熟悉，专用名词，术语生辟，无法建立数学模型； 2.8在实施解题计划中，原有演算或推理无法继续施行 3、高考数学解题中突破思维障碍的常规策略： 3.1语言转译 数学语言是数学知识的载体，是数学高考必考的数学能力的要素之一，也是考生读不懂高考数学试题，形成解题思维障碍的第一个关卡 数学语言包括文字语言、符号语言及图形语言三种基本样式，每种样式各有自己独特的规律和长处，优势互补，形成数学交流中风格各异、丰富多彩的语言特色，数苑奇观，也同时构筑了外行无法逾越的关卡，竞争者艰难攀登的一个阶梯及时将题目条件与结论中读不懂的部分，由原有的表述样式，转译为新一种表述样式，利用不同的语言样式的优点，凸现题目的数学本质，如将普通语言改译为符号语言，或将符号语言改译为图形语言，常常可以帮助我们突破语言关卡，读懂或切入题意 例题1已知集合Ax| x23x100，B=x| m+1x2m1，若ABA, 求实数m的取值范围 分析：本小题解答中，一些考生读不懂条件AB=A，因而思维短路 突破思维障碍的策略有两种： (1) 通法：将ABA转译为图形语言，由文氏图可得A BABA； (2) 特例法：化简条件，易知A=2, 5是固定集合，B=m+1, 2m1是可变集合，由数轴可知将B分为B=或B两类情况，相对于A集变动，即得m的取值范围(, 3. 点拨解疑：忽视B的存在，是一个常见错误 例题2函数yf(x)在(, 0上是减函数，而函数yf(x+1)是偶函数，设 af()，bf(3)，c=farcos(1)，试比较a，b，c的大小关系 分析：易得af(2)，c=f()，但一些考生读不懂函数yf(x+1)是偶函数的内含，无法转化为f(x)的单调性来求，思路不畅 转换语言样式，运用图形语言和图形变换考察题设条件，知函数 yf(x+1)的图像关于 y轴对称，而函数 y=f(x+1)的图像由函数yf(x)的图像向左平移1个单位得到，所以yf(x)的图像关于直线x1对称， 由y=f(x)在(, 0上递减，知y=f(x)在x2, )上递增， f(2)=f(4), 而234，f(3)f()f(4), 故bca 例题3设m等于|a|，|b|和1中最大的一个，当|x|m时，求证：m|a|，从而 , =2.3.2数形结合数形结合思想是重要的基本数学思想，从人脑思维功能看，人的左半脑主抽象思维，代数推理思维；右半脑主形象思维，几何直观思维，数形结合思想完美地调动了左、右半脑的思维功能，极大地促进数学解题者的思维能力，从数学对象的本质看，数即数学记号具有高度的抽象性，简约性，形即数学图形具有高度的直观性，形象性，数形结合思想相辅相成，完美地凸现了数学对象的各种本质及本质间的联系 数学解题中，不能充分揭露题目的隐含条件，找不到解题的突破口时，有意识地运用数形结合思想转换思维角度，赋条件和结论中的数式以图形，或给条件和结论中的图形以数式的解释，以形释数，由数思形，把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述有机地结合起来，尽现题目丰富的种种联系，许多思维障碍便不攻自破了例题4已知奇函数f(x) 的定义域是x| x0, xR，且在(0, +)上单调递增，若f(1)=0试求满足xf(x)0的x的范围分析：由于函数f(x)没有给出具体的函数式，目标不等式无法直接解出，形成思维障碍转换思维角度，注意到xf(x)0表明此函数的自变量与函数值异号，结合题没条件，即可见运用数形结合思想，构造一个符合条件的简单函数的图像（如图）由图像立知，满足xf(x)0的x的取值范围是(1, 0)(0, 1) 点拨解疑：抽象函数问题常采用特例法解，根据题设构造一个最简单的函数即可例题5设函数f(x)a+，g(x)x+1，已知x4, 0时，恒有f(x)g(x), 求实数a的取值范围 分析：f(x)g(x)，即a+x+1, 由于参数a取值范围不易由x0， 4时，将原不等式同解变换得到，思路不畅转换视角，观察不等式结构特征，数形结合，易知变形为不等式a+x+1后，可令 y1= , y2=x+1a , 由得(x2)2y2=4（y0），表示以点(-2，0)为圆心，2为半径的半圆； 式表示斜率为，截距为1a的平行直线系, 显然直线系中与半圆O相切的直线AT（T为切点）即为所求临界值 如图，设直线AT的倾斜角为，则tan= (0), sin=, 在BOT中, =, 在AOB中，OA|OB|tan= 6, 要使f(x)g(x)恒成立，直线必须位于AT上方或AT重合 1a6, a5. 3.3逆向思维 逆向思维是较高层次的思维方式，也是数学高考思维能力考查的一个要点 逆向思维包含多种形式，常见形式有： 逆向分析，当直接证法受阻时，变换视角，从待证结论出发，递次寻找结论成立的充分（充要）条件，直至题设或显然的数学事实，此执果寻因的证法通常叫分析法，是不等式证明中的重要间接证法； 逆用知识：当定理、法则、公式顺用不符合题没条件，只有逆向运用才能解题时，根据题没逆用知识就成为解题的必须策略，但解题成败的关键是对知识能否逆用的认识，即对定理、公式、法则使用范围的深刻理解； 逆向推求，在一些难度较大的探索型开放题，如存在性问题，从问题结论出发，假设问题结论存在（成立），结合题设条件，逆向推理或演算，找到确切的数值或明显的矛盾，使问题获解； 反证法：当结论的正面不易证明时，假定结论反面成立，通过归谬，穷举等严格推理，引出矛盾，否定“反设”，从而肯定结论正确； 反面求补，当结论的正面比较复杂，而反面比较简单时，求结论的补集 （去杂法 ），在高考数学解题中，顺向思考遇到障碍，并经过语言转译，数形结合仍不奏效时，应积极转换视角，尝试逆向思维 例题6已知集合 M=( x, y)| y22x，N=(x, y)| (xa)2y2=9，求 MN的充要条件 分析：易知MN的充要条件是方程组至少有一个实数解，且x0, 即x2+2(1a)x+a29=0至少有一个非负根由0，得a5，此时若顺向思维，则情形较繁，求解困难，若逆向思维，考虑至少有一个非负根的反面是两个负根（只有一种情形）立知上述方程有两个负根的充要条件应为0，且 x1x20，x1x20，即2(1a)0，且a290，解得a3，从而知所求充要条件为3a5 例题7设k和r是实数，且r0使得直线y= kx1既与圆 x2y2=r2相切，又与双曲线 x2y2=r2有两个交点，试问：直线 y=kx1能否经过双曲线 x2y2r2的焦点？为什么？ 分析：由于两个参数k和r的联系较隐蔽，很难顺向确定，形成思维障碍，若转换思维角度，用反证法则目标明确，化难为易了 解：不可能，下面用反证法双曲线x2y2=r2的焦点是F1(r，0), F2(r，0)，如果直线ykx1过点F1，则有rk+1=0, 即 r=, (1)因为直线ykx1与x2y2=r2圆相切，所以圆心(0, 0)到直线的距离等于半径r, 即有 , 因为r20, 故=1, (2) 又因为直线 ykx十1与双曲线x2y2=r2相交，故交点坐标(x，y)满足方程组 将（3）代人（4）得 (1k2)x22kx(1+r2)0 （5） 由直线与双曲线有两个交点，且对于任意实数k，直线不平行于y轴，故（5）式有两个不同的实数根，因而1k20, 即|k|1 但将（1）代入（2），得(k)2k2=1，即k=1与|k|1矛盾， 故直线ykx1不可能过双曲线x2y2=r2的左焦点 同理可证也不可能过右焦点 3.4联想迁移联想是一种富于发现、创造功能的思维方式，它把两个不同领域中的事物联系起来进行思考并由此激发新的认识，促成问题的解决，高考数学解题中思维受阻时，将题目的条件和结论，与数学各分支中不同的数学知识，数学方法乃至兄弟学科或现实生活中的其他知识常识，充分展开接近联想、相似联想、对比联想，改变问题情境，常能有效地使思路畅通，甚至诱发直觉、顿悟，激发灵感，获得创造性的解法思维求变、求异、多向发散、拓展联想空间，促进信息迁移，使问题获得多种不同的解题途径，优化解法是决胜数学高考的一个不可缺少的思维策略例题8如图，小圆圈表示网络的结点，两点之间的线段表示它们的网线相联，连线标注的数字表示该网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为A26 B24 C20 D19 分析：这是2001年高考数学选择题第12题，一道颇具时代气息的优秀创新题，属线性规划范畴，很多考生读不懂题意如果转换思维角度，广泛联想，可将信息传递联想为水的流动，这条虚拟的河便化生为熟，立即使你明白最大流量就是每条线路的最小流量的和，从而轻松地获得正确选项为（D） 例题9函数f(x)对于任何xR，恒有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，若f(8)=3，则f() . 分析：由于映射法则f没有给出，直接计算较难，思维受阻，联想f(x1x2)=f(x1)+f(x2)恰好是对数函数的一个运算性质，立即思路畅通 由f(8)3，想到可设f(x)=log2x，故得f()=. 3.5归纳猜想归纳是通过分析部分特殊的事例去概括出普遍的结论的一种由特殊到一般的推理方法，当题目条件抽象性强，不易直接进行演绎推理获得结论时，转换思维角度，从特值、特例出发，经过观察，运用抽象或类比，猜想其一般规律，再给予严格证明，是高考数学解答题中难度较大的综合题归纳猜想型开放性题的必由思路例题10已知函数f(x)=其中f1(x)=2(x)2+1, f2(x)=2x+2, 设y=f2(x)（x, 1）的反函数为 yg(x)，a1=1, a2g(a1)，an=g(an1)，求数列an的通项公式，并求 an.分析：本小题许多考生用迭代法得到a11，a2, a3=, a4=, 据此观察，猜想得an=, 但发现无法求an，思维受阻重新审题：可知an=g(an1)是递推关系式，迭代结果应展现递推规律，不应合并成一个数，从而可知 a1=1, a2=1，a3=1+, a4=1+ 据此再观察，归纳，推测得 an=1+()n1, 思路畅通，得an. 点拨解疑：在运用归纳法推测数列通项公式中，要注意展示数值递推过程，以利抽象、概括，不可轻易将前四项中每一项的值分别合并为一个数 3.6分解突破 对不易识别模式，进行形式转换，或情境较复杂，不易整体突破的非常规问题，根据问题的结构，数学对象的内涵（本质属性）和外延（使用范围），灵活转换思维角度，运用分解、分割、分离、分情况等策略，转化为一些相关连的小的子题目，就常常化新为旧，化生为熟，化难为易，思路顿开 例题11如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，求异面直线 BD与 B1 C的距离 分析：此题若用公垂线法，一些考生对公垂线的位置不清晰，产生思维障碍，根据正方体的数学本质，从正方体中特殊元素间的垂直关系出发，可将本题结论所需作出的异面直线BD与B1C的公垂线，由公垂线的定义分解为两个要素（垂直、相交），依此分两个步骤，即第一步，找到正方体AC1中与BD、B1C分别垂直但不相交的直线，第二步通过平移变换，作出与BD、B1C分别垂直且相交的直线 通过上述分解第一步，由三垂线定理，易得体对角线AC1，分别垂直于BD和B1C，第二步连AC，过AC的中点O作 OM/ AC1，交 C1C于点 M，连 BM，交B1C于E，过点E在面BOM中作EF/OM，交BO于F，则EF为异面直线BD与B1C的公垂线 由此易得EF=a为所求 例题12设f(x)x2xk，若log2f(a)2f(log2a)=k(a0, a1)，求使得 成立的x的取值范围 分析：这是一道较复杂的综合题，由于参数a、k的值是用抽象的函数记号的方程隐蔽地给出的，不能一眼看透，主条件不等式同样抽象隐蔽，许多考生读不懂题意，形成思维障碍 若从参数着眼，顺藤摸瓜，把它分解为几个基本题，逐步突破，思路便畅通了由题意可分解为下列四个子问题（1）由方程f(log2a)=k，求a的值； （2）由方程log2f(a)2，求k的值； （3）求f(x)的值； （4）解不等式组求x的取值范围 依次，解（1）可得a2，解（2）得k2，从而知f(x)=2，解（4）得0x13. 7，整体思想 当题目条件分散，联系隐蔽或形式复杂，不易处理时，灵活变通思维，整体观察、分析、代入、替换、配凑、构造、消元，常能另辟途径，使思路奇巧、运算简捷 例题13函数f(x)=axb满足2f(1)1，1f(1) 2时，求f(2)的取值范围 分析：若按常规，将f(1)=ab，f(1)=ab代入条件式，得2ab1，1ab2, 试图把a、b从两个约束不等式解出来，再求f(2)的取值范围，就会扩大解集（请思考为什么？），引起不同解变形，然而，转换视角把f(1)、f(1)看成一个整体，解集就不会扩大了解：设f(2)Af(1)Bf(1)。即2abA(ab)B(ab)=(BA)a(AB)b, , 解得A=, B=, 又 2a+b1, 1a+b2, (a+b)1, (a+b)3, 12a+b=(a+b)+(a+b)4, 即1f(2)4.（说明：本题也可以利用线性规划解答）3