（江苏专用）高考数学 考前三个月 必考题型过关练 第36练 直线与圆锥曲线问题 理.doc

第36练直线与圆锥曲线问题题型一直线和椭圆的位置关系例1如图所示，椭圆c1：1(ab0)的离心率为，x轴被曲线c2：yx2b截得的线段长等于c1的短轴长c2与y轴的交点为m，过坐标原点o的直线l与c2相交于点a，b，直线ma，mb分别与c1相交于点d，e.(1)求c1，c2的方程；(2)求证：mamb；(3)记mab，mde的面积分别为s1，s2，若，求的取值范围破题切入点(1)利用待定系数法求解曲线c1，c2的方程(2)设出直线ab和曲线c2联立，利用坐标形式的向量证明(3)将s1和s2分别表示出来，利用基本不等式求最值(1)解由题意，知，所以a22b2.又22b，得b1.所以曲线c2的方程：yx21，椭圆c1的方程：y21.(2)证明设直线ab：ykx，a(x1，y1)，b(x2，y2)，由题意，知m(0，1)则x2kx10，(x1，y11)(x2，y21)(k21)x1x2k(x1x2)1(1k2)k210，所以mamb.(3)解设直线ma的方程：yk1x1，直线mb的方程：yk2x1，由(2)知k1k21，m(0，1)，由解得或所以a(k1，k1)同理，可得b(k2，k1)故s1mamb|k1|k2|.由解得或所以d(，)同理，可得e(，)故s2mdme，则的取值范围是，)题型二直线和双曲线的位置关系例2已知双曲线c：x2y21及直线l：ykx1.(1)若l与c有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若l与c交于a，b两点，o是坐标原点，且aob的面积为，求实数k的值破题切入点(1)联立方程组，利用0求出k的取值范围(2)联立方程用根与系数的关系求解解(1)双曲线c与直线l有两个不同的交点，则方程组有两个不同的实数根，整理得(1k2)x22kx20.解得k|x2|时，soabsoadsobd(|x1|x2|)|x1x2|；当a，b在双曲线的两支上且x1x2时，soabsodasobd(|x1|x2|)|x1x2|.soab|x1x2|，(x1x2)2(2)2，即()28，解得k0或k.又k0，b0)的上焦点为f，上顶点为a，b为虚轴的端点，离心率e，且sabf1.抛物线n的顶点在坐标原点，焦点为f.(1)求双曲线m和抛物线n的方程；(2)设动直线l与抛物线n相切于点p，与抛物线的准线相交于点q，则以pq为直径的圆是否恒过y轴上的一个定点？如果是，试求出该点的坐标，如果不是，请说明理由破题切入点(1)根据双曲线的性质，用a，c表示已知条件，建立方程组即可求解双曲线的方程，然后根据抛物线的焦点求出抛物线的方程(2)设出点p的坐标，根据导数的几何意义求出切线方程，并求出点q的坐标，然后根据圆的性质列出关于点p的坐标的方程，将问题转化为方程恒成立的问题来解决解(1)在双曲线中，c，由e，得，解得ab，故c2b.所以sabf(ca)b(2bb)b1，解得b1.所以a，c2，其上焦点为f(0,2)所以双曲线m的方程为x21，抛物线n的方程为x28y.(2)由(1)知抛物线n的方程为yx2，故yx，抛物线的准线为y2.设p(x0，y0)，则x00，y0x，且直线l的方程为yxx0(xx0)，即yx0xx.由得所以q(，2)假设存在点r(0，y1)，使得以pq为直径的圆恒过该点，也就是0对于满足y0x(x00)的x0，y0恒成立由于(x0，y0y1)，(，2y1)，由0，得x0(y0y1)(2y1)0，整理得2y0y0y12y1y0，即(y2y18)(2y1)y00，(*)由于(*)式对满足y0x(x00)的x0，y0恒成立，所以解得y12.故以pq为直径的圆恒过y轴上的定点，定点坐标为(0,2)总结提高直线和圆锥曲线的位置关系问题，万变不离其宗，构建属于自己的解题模板，形成一定的解题思路，利用数形结合思想来加以解决1已知圆c：(x1)2y28，定点a(1,0)，m为圆上一动点，点p在am上，点n在cm上，且满足2，0，点n的轨迹为曲线e.(1)求曲线e的方程；(2)若直线ykx与(1)中所求点n的轨迹e交于不同的两点f，h，o是坐标原点，且，求k2的取值范围解(1)如图所示，连结na.由2，0，可知np所在直线为线段am的垂直平分线，所以nanm，所以ncnancnm22ca，所以动点n的轨迹是以c(1,0)，a(1,0)为焦点的椭圆，且长轴长为2a2，焦距2c2，即a，c1，b1.故曲线e的方程为y21.(2)设f(x1，y1)，h(x2，y2)由消去y，得(2k21)x24kx2k20，8k20，由根与系数的关系，得x1x2，x1x2，所以x1x2y1y2x1x2(kx1)(kx2)(k21)x1x2k(x1x2)k21k21.由，得，解得k21.2(2013广东)已知抛物线c的顶点为原点，其焦点f(0，c)(c0)到直线l：xy20的距离为.设p为直线l上的点，过点p作抛物线c的两条切线pa，pb，其中a，b为切点(1)求抛物线c的方程；(2)当点p(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线ab的方程；(3)当点p在直线l上移动时，求afbf的最小值解(1)依题意知，c0，解得c1.所以抛物线c的方程为x24y.(2)由yx2得yx，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则切线pa，pb的斜率分别为x1，x2，所以切线pa的方程为yy1(xx1)，即yxy1，即x1x2y2y10.同理可得切线pb的方程为x2x2y2y20，又点p(x0，y0)在切线pa和pb上，所以x1x02y02y10，x2x02y02y20，所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程x0x2y02y0 的两组解，所以直线ab的方程为x0x2y2y00.(3)由抛物线定义知afy11，bfy21，所以afbf(y11)(y21)y1y2(y1y2)1，联立方程消去x整理得y2(2y0x)yy0，y1y2x2y0，y1y2y，afbfy1y2(y1y2)1yx2y01y(y02)22y012y2y0522，当y0时，afbf取得最小值，且最小值为.3(2013浙江)如图，点p(0，1)是椭圆c1：1(ab0)的一个顶点，c1的长轴是圆c2：x2y24的直径l1，l2是过点p且互相垂直的两条直线，其中l1交圆c2于a，b两点，l2交椭圆c1于另一点d.(1)求椭圆c1的方程；(2)求abd面积取最大值时直线l1的方程解(1)由题意得所以椭圆c1的方程为y21.(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，d(x0，y0)由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为ykx1.又圆c2：x2y24，故点o到直线l1的距离d，所以ab22 .又l2l1，故直线l2的方程为xkyk0.由消去y，整理得(4k2)x28kx0，故x0.所以pd.设abd的面积为s，则sabpd，所以s，当且仅当k时取等号所以所求直线l1的方程为yx1.4已知双曲线e：1(a0，b0)的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线xy0相切(1)求双曲线e的方程；(2)已知点f为双曲线e的左焦点，试问在x轴上是否存在一定点m，过点m任意作一条直线交双曲线e于p，q两点(p在q点左侧)，使为定值？若存在，求出此定值和所有的定点m的坐标；若不存在，请说明理由解(1)由题意知a，a.又2c4，c2，b1.双曲线e的方程为y21.(2)当直线为y0时，则p(，0)，q(，0)，f(2,0)，(2,0)(2,0)1.当直线不为y0时，可设l：xtym(t)代入e：y21，整理得(t23)y22mtym230(t)(*)由0得m2t23.设方程(*)的两个根为y1，y2，满足y1y2，y1y2，(ty1m2，y1)(ty2m2，y2)(t21)y1y2t(m2)(y1y2)(m2)2.当且仅当2m212m153时，为定值，解得m13，m23(舍去)综上，过定点m(3，0)任意作一条直线交双曲线e于p，q两点，使1为定值5已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于a(x1，y1)，b(x2，y2)(x10，y00)，则切线斜率为，切线方程为yy0(xx0)，即x0xy0y4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为s.由xy42x0y0知当且仅当x0y0时，x0y0有最大值，即s有最小值，因此点p的坐标为(，)由题意知解得故c1的方程为x21.(2)由(1)知c2的焦点坐标为(，0)，(，0)，由此设c2的方程为1，其中b10.由p(，)在c2上，得1，解得b3，因此c2的方程为1.