质疑侔 式推理的映射处理.doc

质疑侔式推理的映射处理宋文坚 北京大学哲学系 原东德逻哲学家格克劳斯的形式逻辑导论（中译本1981年由上海译文出版社出版）第六章第十五节谓词逻辑的进一步发展，有映照和遗传理论附论一小节。其中所讲映照理论，错误颇多。影响到我国中国逻辑史的研究。本文想就这方面的问题，作些探讨。不当处，敬请学界同仁指教。一 “映照”，为译者译名。因无原文查照，只好推测。从该小节看，“映照”该是集合论中通常所讲的“映射”（有引用者，亦当作映射）。故本文以映射来立论。下面引克劳斯关于映射的描述：“在许多场合，所谓类通过关系的映照具有巨大意义。如果存在着这样一个类Ak，它的任何一个元素x与K的一个或几个元素y有关系R（x,y）,我们便说类K通过R关系而映照。类Ak称为K的R映象，用符号记为R”K。对映照这个概念下定义需要使用广义谓词演算的方法：(=存在)（x）（k）(R)XR”KY（R(x,y)）yk.例如，如果R表示关系是兄弟，而K表示拳击家的类，则R”K便是拳击家的兄弟的类。再如：设W是真理关系，而真理关系如我们已经提到过的，乃是判断u与现象s之间的一定联系W（u，s）。这时，如果K是现象的类，则W”K便是真判断的类。用这里所考察的这个概念，还可以表述和证明（这里我们不来证明）这样一些句子，这些句子，如德摩根早就指出的， 在亚里士多德逻辑中是根本没有地位的。我们指出的是这样一种句子（ = 包含于）：(B)(A)(R) （A B）R”A R”B即如果类A包含在类B中，则它的R映象也包含于B的R映象中。例如，所有西德矿工都是无产者，则西德矿工的拳头都是无产者的拳头。”按照这些描述，克劳斯可能把映射和一般的关系弄混了。并不是所有关系都是映射关系。“函数是数学中的重要概念。函数的主要特征是，对定义域的每个自变量，有唯一的函数值。数学中函数的定义域主要是实数或实数的子集。将函数推广到一般集合就是映射。”（刘壮虎素补集合论第39页，北京大学出版社2001年版）因而，映射乃是关系中的一种特殊的关系。我们把两个集合间具有函数关系的才叫做映射。记为：XY.集合X称作映射的定义域（dom）或叫象源。集合 Y 称作的值域（ran），或叫做映象。映射关系和一般关系的特殊处在于。（1）X的每个元素xi均对应Y的一个元素yj。即是说，的元素（xi，yj）对所有的xi（i=1，2，3n）均出现。也就是说X的元素均有Y的元素与之对应。（2）X的每个元素xi 均仅对应Y的一个元素yj 。即是说关系的元素（xi，yj）对每个 xi（i=1，2，3n）均只能出现一次。也就是说，X的元素 xi只能对应到Y中的某一个元素 yj上，不能再对应到其它的yj上。我们用一些直观图形来表示可能的几种映射关系（映射的复合除外）。图一 X Y x1x2x3x4x5x6y1y2y3y4y5 X Yy1y2y3y4y5x1x2x3x4图二 X Yy1y2y3y4y5x1x2x3x4x5图三我们来看克劳斯的所谓映射。他说的类K相当于映射的定义域，或象源，即他举例的拳击家的类。他说的类Ak相当于映射的值域，或映象，即他举例的拳击家的兄弟的类。由于克劳斯的映射定义没有规定（1） 对每个xK，必存在yAk使得（x，y）。（2） 对每个xK，也只存在一个yAk，使得（x，y）。因而，对克劳斯的映射定义可以给出如下图式描述：（映源） （映象） K(拳击家) Ak （拳击家的兄弟）x1x2x3x4x5y1y2y3y4y5这一图像刻画满足克劳斯的定义。同时这一图像刻画也满足“兄弟”这一关系，因为会有拳击手没有兄弟，如y5 ；也会有拳击手有几个兄弟如（y2 x1）、（y2 x2）、（y3 x3）、（y3 x4）。但这一图像描述显然不符合映射这种关系。它既不满足所有映源都有映象与之对应，即上述规定（1）。y5就没有x与之对应；也不满足每个映源对映象对应的唯一性，即上述规定（2）。y2、y3对应的x都不是唯一的。因而，克劳斯所说的映射（译名映照）并非是逻辑和集合论的映射。它的映射只是一般的关系，其中也可能包括映射关系，但他的映射的定义却是错误的，混乱的。就克劳斯关于映射所举的两个例子来看，他说的映射也并非映射。（1） 兄弟关系不是映射关系。因为并非每人都能有兄弟，也并非一个人只能有一个兄弟。（2） 真理关系也不是映射关系。就现象的类和真判断的类来说，它们既不是一多对应的，也不是一一对应的。我们未知的现象还太多太多，许许多多的现象的真解释也并非唯一的。由于克劳斯没有提出一个准确的映射概念，因而他所提出的用广义谓词逻辑演算方法给出的映照的定义，即（x）(k)(R) XR”KY（R(x,y)）y K以及他所提出的“如果类A包含于类B中，则它的R映照也包含于B的映照中”，即（B）（A）(R) (AB)(R“A R”B)就也都值得研究了。因为这些公式都是以一个有问题的映射概念，即克劳斯所提出的R”K，R”B以及R”的什么为基础的。二我国中国逻辑史界有学者用克劳斯的映射概念来处理墨经小取篇中的侔式推理。为侔式推理做出了现代逻辑的刻画。例如，把“白马，马也。乘白马，乘马也”，刻画为（A=白马，B=马，R”A =乘白马，R”B =乘马）：AB,所以，R”A R”B。（ = 包含于）我们来看看映射理论能否适用于小取的侔。先讨论“乘马”，“乘白马”的乘是否是一种映射关系。“白马，马也。乘白马，乘马也”，确是可以把骑（乘）马理解为一种关系命题，即“人骑马”。但小取讲侔时所说“乘马”，“乘车”，“入船”，“爱弟”,“杀盗”，“好读书”，“好斗鸡”，“入井”，以及“欲无盗”，“恶多人”等等，都是在讲一种情况，一种事。这就是中国语言包括古汉语之妙。这里实际都是一些可无主语的句子。它们重点在讲事，讲情况，不在讲关系。因而我觉得用关系来分析它是可以的，但和原文原意差别甚大。原文那里所强调的意味都没有了。现在，把“骑”作关系来分析，看看它是否是一种映射关系，以及在什么特定情况下它可以是一种映射关系。作为关系理解的“骑马”可有以下理解：a、 人骑马b、 某人骑某匹马c、 某人骑一些马d、 一些人骑某匹马e、 一些人骑一些马f、 所有人骑某匹马g、 所有人骑一些马h、 所有人骑所有马i、 有些人骑所有马在所有这些可能的含义中，a可能最接近墨经原意。但作为命题中的关系设法用映射概念分析。b也较为接近原意，但这种映射分析没有意义。d、f既不接近原意，做出的映射分析也无意义。下面，我们把人作为映射关系的定义域或（象源），把马作为映射的值域（或映象）此外，还需作出另一些约定，即“人”限定为“骑过马的人”，“马”限定为“被骑过的马”。因为映射关系无法面对所有人和所有马。在这样的约定下，我们试作一些分析。显然，c不构成映射关系。此外e，g,h,i只有在某种特定安排的情况下，才能构成映射关系。这些安排就是再作出规定：所有人，包括e,i中的部分人，在映射关系中只骑特定的一匹马。这样，i显然是不可能的。剩下的e,h即一些人骑一些马，所有人骑所有的马，对它们的映射要求是：人、马的基数相等，而且人、马在映射中要一一对应。这乃是在某场赛马场里的映射。g，即所有人骑一些马，在遵守上述规定的条件下，是可以构成映射。但也还需做出规定，即人不能太多，马不能太少。否则，马会累死，人会等死。显然，这都不能是现实关系中的映射。没有这样的映射。这样的映射毫无意义。因而骑（乘）这种关系并非映射关系。即便能花精巧力量设定出来一种映射，如一场赛马中的骑手和赛马的一一对应，这种特定设计的映射也并不能改变乘、骑关系基本上的非映射性质。当然更不能对小取侔式推理的映射解释有任何帮助。因而用克劳斯的错的映射概念，以及甚至是正确的映射概念来分析侔式推理和确定它的逻辑结构还不成功。三能否用一般关系来处理小取的侔式推理呢？这里所说的处理是指给出侔的有效形式结构。笔者不是认为这个问题不能解决，而是认为，目前提出的用关系处理侔式推理的方法，至少是用克劳斯的那类方法的，都未见成功。克劳斯的方法是用映射关系来确定一个类。他的处理不对，首先是因为他的映射理论有误。我们现在试用克劳斯的处理方法把映射扩大到一般关系。看看能否处理“白马，马也。乘白马，乘白也”这类推理。关系能确定或构作一个类，如兄弟关系、朋友关系、同学关系、父亲关系、同时代人关系、大于关系、少于关系等等。其中的函数关系，映射关系也能确定一个类。如“拳击家的父亲”。如R是父亲关系，x是父亲，y是儿子，记为R(x,y)。这一关系命题可以改写为xR y,也可以改记为x=R(y),即“x是那y的父亲”。“拳击家的兄弟”也可以这么照葫芦画瓢，其它许许多多的关系也可以这么做。但有些类关系如动态型动词如打、追、杀、骑、恨等及物动词所表示的关系，在处理上就会出现麻烦。“人骑马”，x 为人，y为马，R为骑关系，记为R(x,y)，这命题能否象“x是y的父亲”那样记为x=R(y)，即”x是骑马的人”呢？显然不能。“骑马”和“骑马者”是两个不同概念，有不同所指。同样显然，“骑马”也不能改记为“被骑之马”。因而在“骑马”这句中，由骑这种关系所确定的类、集合，既不是“骑者”，也不能是“被骑者”。在“骑”这种关系下，“骑马”所确定的类、集合就只能是“骑马”这类事。有学者用集合论来定义“乘马”，“乘白马”:乘马=xEy（x乘y）并且y是马（E=存在）乘白马=xEy（x乘y）并且y是白马从两个定义看，它们定义的乃是“乘马者”，”乘白马者”。因而和墨经小取“乘马”、“乘白马”大不相同。因而，依据这样的定义来构建小取侔的逻辑结构也很难成功。如，有学者用A表示白马，用B表示马。“白马是马”表示为AB。“乘（骑）白马”表示为R”A。“乘（骑）马”表示为R”B。小取