（基础数学专业论文）f调和映照的liouville性质和能量增长性质.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 在本文中，我们主要研究了，一调和映照的肋c 砌口，一型公式，r e f 砂一型公式 及它们的应用，最后还讨论了f 一调和映照的能量增长性质，得到了有关的一些结 果。 第一章，我们对涉及本文研究领域的有关各种调和映照的研究现状作了简单的 阐述并叙述了本文的主要结果。 第二章，介绍了本文研究所需的预备知识。 第三章，我们推导了f 一调和映照的艿d c 厅 p ，一型公式，并借助它研究了具有非 负尺七c f 曲率的紧致无边流形与截面曲率非正的流形之间的f 一调和映照的刘维尔 性质。 第四章，我们推导了，一调和映照的r e 跏一型公式，并利用它研究了一类更广 的具有非负r f c c i 曲率的紧致流形( 包括带边界的流形) 与截面曲率非正的流形间 的f 一调和映照的刘维尔性质。此种情形包括了第三章的结论，但是我们的证明方 法不同。 第五章，我们讨论了一类f 一调和映照的能量增长性质，利用黎曼几何中的 虢船砌比较定理得到了f 一调和映照能量增长的特殊估计。 关键词： ，一调和映照；r f c c f 曲率；b d c 厅刀口，一型公式；r e f 砂一型公式； 刘维尔性质；f 一能量 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s a b s t r ac t i nt h i sp 印e r ，w em a i l l l y 咖d y 恤b o c l u l e r - 啪e df o m u l aa n dr e i l l y t y p e df o 姗u l a o ff - h a n n o l l i cm a p sa 1 1 dt l l e i ra p p l i c a t i o n s a tl a s t ，w ea l s o 咖d yf - e n e 玛yg r o w t l l p r o p e r t y ，也e no b t a i ns o m er e s u l t s i nc h 印t e r1 ，w e 谢um a k eag e n e r a ld e s c r i p t i o no nt h er e s e a r c h e si no u rf i e l da j l d s h o wt h em a j nr e s u l t so ft h i sp 印e r i nc h a p t e r2 ，、ei n t r o d u c et h ep r e l i m i n a d e sf o r t h ep a p e r i nc h 印t e r3 ，w ee 渤b l i s hab o c h n e r - 咖e df o n n u l ao ff - h a l l t l o l l i cm a p s ，a i l du s ei t t os t u d yt h el i o u v i l l ep r o p e r t yo ff - h a u r m o i l i cm 印s 仔o mt 1 1 e 黜e m a i l nm a l l i f o l d sw l l i c h i sc o m p a c t 丽t h o u tb o u n d a 巧a l l dh a sn o i l l l e g a t i v e 鼬c c ic u r v a n 鹏t 0t l l e 鼬e m 锄 m a n j f o l d sw h i c hh a sn o n p o s i t i v es e c t i o n a lc u r v a t u r e i nc h a p t e r4 ，w ee s 协l i s ht h er e i l l y t y p e df o m l u l ao ff - h a 珊o m cm a p sa n du s ei t t os t u d yt h el i o u v i l l ep r o p e r t ) ro faw i d ec l a s so ff - h a m l o n i cm a p sf - r o mt l l e 融e m a l r m m a l l i f o l d sw h i c hi sc o m p a c ta i l dh a sn o r u l e g a t i v e 对c c ic u r v a t u r e ( i n c l u d i n gm e m a n i f o l d sw i t hb o u i l ( 1 a 巧) t ot h em e m 锄m a n i f o l d sw h i c hh a sn o n p o s i t i v es e c t i o n a l c u r v a t l 】r e t h i sc a s ei n c l u d e st 1 1 er e s u l to fc h 印t e r3 ，b u tt 1 1 ep r o o fi sd i f f e r e m i nc h 印t e r5 ，w ed i s c u s st l l ef e n e r g y 伊o w t l lp r o p e r t ) rf o ral a r g ec l a s so f f - h a n n o m cm 印s ，a i l do b t a i nas p e c i a le s t i m a t i o no ff e n e r g y 伊o 、矾h ，u s i n gh e s s i a j l c o m p a r i s o nt h e o r e mi nr i e m 锄i a ng e o m e t r y k e yw o r d s ： f - h a n i l o n i cm 印 ；砒c c ic u r v a t u r e；b o c l l e r - t y p e df o m u l a； i k i l l y - t ) ，p e df o m u l a ；l i o u v i l l ep r o p e i t y ；f - e n e r g y 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：f 司汛 日期：矽吁年，月矿日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：f 司肌导师签名：旷懒 日期：矽孑年f 月谚日 日期：施障阳q 日 。 i 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。 作者签名：国 日期：v q 3 年j 月 ，日 日期：妒厂月弋日 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第一章引言 对于两个r f 口埘册刀流形m 和，考虑映射空间c 7 ( m ，) ，一个自然的问题 是找出这个空间中好的代表元。对于映照“：肘一可以定义它的能量 e ( 甜) = 二il 幽r 咖，一个调和映照“就是这个能量的临界映射。这是调和函数与极 、，1j ，i5 小子流形的推广。 近几十年来，有关各种调和映照的b d c 办刀p ，一型公式，r e f 砂一型公式及它们 在调和映照中的应用和能量的特殊估计等方面的研究取得了很大的进展，得到了一 些有效的方法和漂亮的结果。 1 9 6 4 年，胁和勋唧s d 刀将经典的b d c 厅刀p ，一型公式应用到一般的调和映照中， 得到了如下的结果： 定理爿n 1 设m 是r i c c f 曲率非负的紧致流形，为截面曲率非正的流形。设 “：mj 是调和映照，那么“一定全测地映照。进而 1 ) 如果m 的r f c c f 曲率至少在有些点为正，那么“为常值映照。 2 ) 如果的截面曲率为负，那么甜或者是常值映照，或者”( m ) 是中的测 地线。 1 9 8 1 年，髭砂在文 2 中改进了上述结果，考虑了有边界流形上的调和映照， 得到了类似的结果( 略) 。 1 9 8 8 年，伍鸿熙在 3 中又对肋c 办玎p ，技巧进行了专门的论述，并详细介绍了 b d c 办即盯技巧在微分几何各方面的展开和运用，为以后的研究奠定了基础。 1 9 9 7 年，张运涛等借助经典的b d c 办玎p r 技巧来计算能量密度的三印肠c f 册，得 到了关于负指数调和映照的召d 幽行p ，一型公式，并利用它得到如下的结果： 定理bh 1 若m 是r f c c f 曲率非负的无边流形，为截面曲率非正的黎曼流 1 形，i 出1 2 去，掰：m 专为负指数调和映照，则有 z 1 ) “为全测地映照； 2 ) 若m 的r f c c f 曲率在某些点为正，则“为常值映照；若的截面曲率为负， 则“或者是常值映照，或者秩为1 。 1 9 9 9 年，m 彳m 在文 5 中定义了f 一能量泛函，一调和映照作为调和映照， p 一调和映照，指数调和映照( 包括负指数调和映照) 的统一和推广，其研究意义 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 十分明显。 p 2 0 0 0 年，尬胞，在文 6 中分别推导了p 一调和映照( 即f ( f ) ：竺生) 的 p 曰d c 厅玎p ，一型公式和r e f 砂一型公式，并利用它们研究了p 一调和映照的刘维尔性质。 这是对凰和& 咖的结果的推广与改进。具体结果如下： 定理c若m 是r f c c f 曲率非负的黎曼流形，为截面曲率非正的黎曼流形， 甜：m 斗是p 一调和映照。则 1 ) “是全测地映照； 2 ) 如果m 的r f c c f 曲率至少在有些点为正，那么甜为常值映照； 3 ) 如果的截面曲率为负，那么甜或者是常值映照，或者扰( m 1 是中的测地 线。 特别地，若跏，增加下列两个条件中的任何一个，上述结论仍成立。 ( ) ：撕是凸的( 见定义1 ) 且也( 叩) = o ； ( d ) ：何o 且甜i 鲋= ，耐。 定理d若m 是r 纪“曲率非负的黎曼流形，为截面曲率非正的黎曼流形， 甜：mj 是p 一调和映照。 1 ) 若聊为凸的且至少在一点为严格凸的，幽( 叩) = o ，则“为常值映照； 2 ) 若日o 且至少在抛上的一点为日o ，甜 谢= 脚，则材为常值映照。 其中刀为撕向外的单位法向量场，日为撕的平均曲率( 见第二章预备知识) 。 2 0 0 3 年和2 0 0 7 年，周振荣和左莉芳分别在文 7 和文 8 中，利用带位势的p 一 调和映照的b d c 办疗p ，一型公式和，一调和映照的曰d c 办玎e ，一型公式讨论了带位势的 p 一调和映照的聊性质和f 一调和映照的聊性质，得到了很好的结果。 本文是把凰和讹纪f 的方法应用到f 一调和映照上，分别得到了f 一调和映照 的曰d c 办刀p ，一型公式( 第三章引理1 ) ，r e f 缈一型公式( 第四章引理1 ) 及它们在f 一 调和映照中的应用，得到如下定理： 定理1 设( m ，g ) 是尺记c f 曲率非负的紧致无边流形，( ，忍) 为截面曲率非正的 流形，“：mj 是f 一调和映照，f 0 ，f ”o ，那么，z ，一定是全测地映照。 进而 1 ) 如果m 的月f f 曲率至少在有些点为正，那么“为常值映照。 2 ) 如果的截面曲率为负，那么“或者是常值映照，或者“( m ) 是j v 中的测地线。 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 定理2 设( m ，g ) 是r 泐f 曲率非负的黎曼流形，( ，办) 为截面曲率非正的流形， 甜：m 专是f 一调和映照，f o ，f ”o 。若谢，还需增加下列条件之一： ( ) ：跏是凸的且幽( 彳) = o ； ( d ) ：日o 且“1 w = c d ，2 肼 则有下面的结论成立： 1 ) “是全测地映照： 2 ) 如果m 的r f c c f 曲率至少在有些点为正，那么“为常值映照； 3 ) 如果的截面曲率为负，那么“或者是常值映照，或者“( m ) 是中的测地 线。 定理3 设( m ，g ) 是r f c c f 曲率非负的黎曼流形，( ，办) 为截面曲率非正的流 形，z ，：m 专是f 一调和映照，f 0 ，”o ，则 1 ) 若a 膨为凸的且至少在一点为严格凸的，幽( 刁) = o ，则甜为常值映照； 2 ) 若日芝。且至少在跏上的一点为h o ，“l 洲= c d 舢r ，则“为常值映照。 注：定理2 的结果包含了定理l 的结论，即当定理2 中始流形的边界跏= 时 就是定理1 的结果，但是在证明这两个定理时我们采用的方法不同。 另一方面，对于各种调和映照的守恒律在刘维尔定理中的应用及结果我们都很 熟悉：只要映照的能量慢发散并加上其他一些附加条件，我们就可以得到该映照为 常值映照。那么，反过来，若该映照为非常值映照( 其他条件不变) ，我们会得到 怎么样的结论呢? 基于这种考虑，2 0 0 4 年刘建成在文 9 中利用黎曼几何中的胁船切疗比较定理得 到了p 一调和映照的能量增长的特殊估计： 定理e 设m 是完备单连通非紧黎曼流形，其截面曲率k 满足下列条件之一： 1 )一口2 尼 ，一6 2 ，型6 一口 o ； p 2 ) 一专o ，彳( 1 一占) 2 一言，o s 1 ) 维黎曼流形，它的 截面曲率满足一口2 k 一6 2 ，为任何光滑黎曼流形。若“：m 专是非常值 f 一调和映照且f o ，则当( 研一1 ) 6 f ( f ) 一2 砸( r ) o ，对v g o ，都有 舰击k f ( 譬) 以 其中d ，6 是正常数，廓( ) 表示以肘为中心，半径为尺的测地球。 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第二章预备知识 令f ： o ，佃) 一【o ，佃) 是c 2 函数，满足对v r ( o ，佃) ，( f ) o 。设( m ，g ) 是 聊维紧致黎曼流形，( ，办) 是玎维完备黎曼流形，甜：m 专是一光滑映照。对任何 紧致区域d m ，m 彳m 在 5 中定义了“在d 上的f 一能量( 泛函) 为： 砟( “) ：l f ( 学) 叱 其中i 幽i 是微分幽r ( 丁士mo 甜1 州) 关于度量g 和厅的胁场p ，f s c 办朋f 西模，魄是 m 的黎曼体积元。称光滑映照“为f 一调和映照，如果对任何紧致区域d s m ，“ 都是f 一能量泛函的临界点。 当分别取f ( f ) ：f ，笠，p ，p 一，时，甜分别就是通常的调和映照，p 一调和映照， 指数调和映照，负指数调和映照。由此可见，f 一调和映照是对调和映照，p 一调 和映照，指数调和映照，负指数调和映照的统一和推广。 记m 和上的三p v f c f v f 幻联络分别为v 和v ，甜一1 刚上的诱导联络记为9 ， 即对m 上光滑切向量x 及”一1 刀v 上的截面国，仇缈= v 。x 国。若取m 上的局部幺 正标架场 p 。，吃，) ，定义映照“：( m ，g ) 专( ，办) 的f 一张力场为 咖) ：彳( f t 埠) 幽) ：水c f 蝉洋飓0 州峪+ “删c f ，掣，) 其中彳o ) = ( 晚玩q 一敞v e q ) 是掰的张力场，d 为外微分算子d 的共轭算子。熟 知( 见 5 ) ，“是f 一调和映照当且仅当印( ”) 暑o 。 对于光滑映照甜：膨专，m 彳厂口在 5 中也定义了“的相应于f 一能量泛函的 f 一应力一能量张量为 跏) 叫哔) g - 耿筚矿 它是m 上的二阶对称张量，且对m 上的任何光滑向量场x ，都有 ( 旃峨 ) ) ( x ) = 一乃( o ( “) ，以x ) 若卉心f ) 三o ，则称“满足守恒律。有时候我们也用内积符号( ， 记m 和上的 黎曼度量g 和办。 另外，我们知道经典的b d c 办行p ，一w p 汜p 加d 如公式为 幽：d v 咖+ 咖。尺f c m 一尺f c ” 这里：= 谢+ + d + d 为胁姆一沈r 办口聊三印肠c 伽算子，r f c 肘为( m ，g ) 的r 记c ，曲 率。眠m ，r 峨”( x ) = r ( 幽( q ) ，幽( x ) 肛( q ) ，其中r 为( ，矗) 的曲率张 量。由此我们可以得到下式 = 丢( 1 幽1 2 ) + i v 幽1 2 + ，( 幽) 这里如，( 也) = = ( 幽。r f c m ( q ) ，咖( q ) ) 一r ( 幽q ，咖勺，幽q ，幽巳) 。 若m 可定向且撕，记7 7 为撕向外的单位法向量场。v x 跏， 耽渺刀算子4 ：跏专互跏定义为4 矿= v 矿穆，y 正谢，撕的平均曲率 日= ( 加c 叫，叩) 。 定义1若跏m ，x 拟，我们说跏在x 点是凸的( 严格凸的) ，如果 耽忉r 把门算子4 的特征值( 即主曲率) 均为非负的( 正的) 。若跏在每一点都是 凸的( 严格凸的) 那么我们就说撕是凸的( 严格凸的) 。 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第三章f 一调和映照的b 。c 办刀卯一型公式及其应用 b d 如刀p ，技巧在微分几何的诸多方面都有重要应用。本章的目的是推导f 一调 和映照中的肋c 厅刀p ，一型公式，并且给出了它的一个应用( 刘维尔性质) 。 3 1 引理和主要结论 引理1 ( b d c 办胛e ，一型公式) 设：肘专是f 一调和映照，那么下式成立 竹( 毕m 和( 毕 ( 单i v 幽i z f 社竽) + ，l ( 譬) + f ”( j 掣) 胁i zl v i 幽i l ： 定理1 设( m ，g ) 是尺泐，曲率非负的紧致无边流形，( ，厅) 为截面曲率非正 的流形，甜：m 哼是，一调和映照，f o ，”o ，那么，“一定是全测地映照。 进而 1 ) 如果m 的r f c c f 曲率至少在有些点为正，那么甜为常值映照。 2 ) 如果的截面曲率为负，那么“或者是常值映照，或者“( m ) 是中的测 地线。 3 2 引理和结论的证明 引理1 的证明 取m 上任伺一点p 附近的幺正法标架场 q ) ：。，并且 v 岛巳( p ) = o ，从耽f 忽阴6 d 以公式立即得到 三j 幽1 2 = 吉( 幽，幽 = v 2 圭 = ( v 2 如，幽 + l v 砌1 2 = 一( 咖，砌 + i v 幽1 2 一俾( 如q ，幽巳) 幽q ，砌勺 + ( 3 1 ) 另外，一，t ( 譬) ( 咖，砌 ：一，( 拳 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s ：耿譬) v 和( 吐幽矿 呻旭 v q f 蝉) _ ( 小) 川譬岷毗 叱“如，洋) 抛 七( 珐确) ：v 略( f ( “) ，州鹄幽哆 又竹( 譬即 f ( 譬瑚( 譬悃i v 脚1 ) ：f 1 ( 毕) i 幽l zi v l 砌1 1 2 + f - ( 蝗壬碍i 出| 2 将f 3 1 1 ，f 3 2 、l 式代入f 3 3 1 式，引理1 得证。 ( 3 2 ) ( 3 3 ) o ：一lf ( 单) 但( 幽q ，幽勺) 幽q ，咖巳 以 + 譬) 眠毗) 以+ 肛”( 譬槲m l l 2 ( 譬) 叫2 】机 即 l 【p ( 毕) | 幽l zj vf 巍f 1 2 + f ，( 毕) 】呶 一l 【f ( 拳) 俾( 如哆，幽巳) 幽哆，幽勺 】嗷 ：一l 州毕) i v 也l o 由定理假设知，上式等号左边每一项均非负，从而 f i ( 譬糊2 川譬黼m 降蝉) ：f - ( 哔) 但( 幽乞，幽巳) 如g ，幽巳 三o ( 3 4 ) 8 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 义f o ，所以 i v 幽j 2 ：f ”( 毕) j 幽1 2i v i 如1 1 2 ： = 俾( 幽q ，幽勺) 幽q ，咖p ， 三。 由i v 砒1 2 兰。知，“为全测地映照。进而 1 ) 如果必的足幻c f 曲率在某点x 为正，那么取x 点尺纪c f 主方向所生成的局部标 架场 q ，因而r 把m ( q ) = 墨，q ，置， o 。那么在x 点有 ( 幽r f 乞，幽q = r ( 幽乞，幽q 暑o 所以 2 p ( ”) = ( 出色，幽q i 未万( ( 幽q ，幽茚) = o i 也l ，= o( 3 5 ) 另一方面，由( 3 4 ) 式知， f ( 毕) i 出f ：f v f 幽f 1 2 + f ( 单) v 砌1 2 ：。 又由勋幻不等式l v 咖1 2 i v l 幽1 1 2 得 。掣蝉榭m 即蝉剃2 妒洋w 川譬删酬2 f ( 单) i v w o 所以v l 幽i = d i 幽i = o 从而l 幽j _ ，z 盯( 3 6 ) 由( 3 5 ) ，( 3 6 ) 式得i 如i 兰。 即掰为常值映照。 2 ) 由上面的证明及定理假设知 童0 ( f ，不作和) 。 如果存在一点x ，使幽q 中至少有两个向量独立，不妨设幽q ，如乞独立，那么当 的截面曲率为负时， 叽：l f ”( 譬) i d i 如1 1 2 i 幽1 2 + ，( 毕) i v 幽1 2 】以 + l f ( 拳) ，( 幽地+ l f - 出乒) b ( “墩 其中曰( z f ) = ( 如。彳一v ( 锄( 叩) ) ，如) 踟一 + i 出( 7 7 ) 1 2 。 定理1 设( m ，g ) 是尺f c c f 曲率r f 非负的黎曼流形，( ，办) 为截面曲率盯非 正的流形，材：m 专是f 一调和映照，f 0 ，f ”o 。若a 膨西，还需增加下 列条件之一： ( ) ：搠是凸的且也( 彳) = o ； ( d ) ：o 且“i 栅= c d 埘 则有下面的结论成立 1 ) “是全测地映照； 2 ) 如果m 的r ，c c f 曲率至少在有些点为正，那么”为常值映照； 3 ) 如果的截面曲率仃1 0 ，f 0 ，若尺f 0 ， 仃o ，则 1 ) 若跏为凸的且至少在一点为严格凸的，幽( 7 7 ) = o ，则“为常值映照： 2 ) 若日o 且至少在谢上的一点为日o ，“i m = c d 瑚f ，则甜为常值映照。 1 0 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 4 2 引理和定理的证明 引理1 的证明 慨m ，取x 附近的幺正标架场 q j ：l 且v 岛巳l ，= o ， _ ( ( “) ，甜) ( x ) ：一艺 ) ( q ) ( x ) + 兰州毕) ( 也q ，v p ( x ) ：d ( ( f - ( 筚) 幽( ) ，甜 ) ( x ) + ，( 壁马( 幽，如) ( x ) 所以 一l ( 印( 班甜 以：一l 耿譬) ( 幽( ，7 ) 加 叱+ l 耿譬) 叽 另一方面， = 丢i 幽1 2 + l v 幽1 2 + ，( 幽) 州譬，c 砒枷：丢f 洋) l 幽1 2 ( 单) i v 幽m 蝉k 舶) ( 4 1 ) 又因为 d ( 川筚础帅) - - v 岛( 单础帅) 川岛( 单坝帅 ) 】+ 耿譬础帅v e q 川q 耿譬础帅( 咿耿譬) v e d ( 帅 ) ：一2 f - i ( 缝) l 幽 zl dl 幽1 1 2 + ，( 缝) ( 1 幽1 2 ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 扣州拳删2 ”：川譬w 1 2 + 扣譬) ( 帅( 4 2 ) 将( 4 2 ) 式代入( 4 1 ) 式得 f 洋肭触) 掣t 洋黼p ( 譬巾幽f 2 洋心肋) + 扫以毕喇2 ) l 州鹄( 幽，砒) 叱：l 旷( 譬榭- ( 譬) 叫2 】呶 + l f 洋k 舶魄 l 耿譬耿帅吨 ：l 旷f i ( 拳) i 砒1 2 也1 1 2 + f ( 譬) l v 幽1 2 】也 + lf t ( 譬) ，( 幽魄一lf ( 譬) ( v 。幽，幽) 叽 因此 一l ( 印( “) ，“) 吨：l 【f - f ( 拳) i 幽1 2m 幽1 1 2 + f - ( 譬) i v 幽1 2 以 + lf t 洋) “砒魄一lf ( 拳) ( v 。幽，幽魄 一lf i ( 拳) 吨 又 ( 如( 7 ) ，甜) + ( v 开如，幽 = ( v ( 幽( 刁) ) ，幽 粼一( 如。爿，幽 谢 + ( 叫z ，幽( 刁) 一日i 幽( ，7 ) 1 2 所以一l ( 。( “) ，“) 也：l f t i ( 譬) h 幽幽1 2 + f ( 簪) i v 幽1 2 】以 + lf t 出乒) ，( 砌搬+ lf k 譬) 召( “搬 1 2 定理1 的证明因为甜为f 一调和映照，故( 掰) 2o 。 若谢= ，由引理1 知 。：妒( 譬) m 2 ( 譬巾幽1 2 】也+ l 耿拳( 幽地( 4 3 ) 由勋幻不等式j v 出1 2 l v i 幽1 1 2 得 p ( 譬) l 酬2 例2 洋巾咖1 2 妒( 譬w + f t ( 譬删酬2 耿单) l d 圳2 o ( 4 4 ) 由假设知， ，( 幽) = ( 幽。r 七肘一尺f 矿，咖) o 事实上，坛m ，取x 附近的幺正法标架场 q ) 三。，并且对角化r ，则有 ( 如。r j ，幽 ，：羔( 砒。r 纪( q ) ，幽q t 羔l 幽q 1 2 = t l 幽仨o 其中丸为r f c 了的最小特征值。 而且 ( r 矽，幽 ，：艺l 幽q 幽p 斤盯( 幽q 八咖p ，) o 由( 4 3 ) 和( 4 4 ) 式知，i 幽i 在m 上为常值且f ( 哔) i v 幽1 2 ：o ，因此 或者幽= o ，此时“为常值映照； 或者幽0 ，则v 幽= 0 ，此时“为全测地映照。 另外，方程( 4 3 ) 意味着f - ( 单) ，( 幽) ：o ，因此，m ， t i 如印鹄：o 且耿吗邓矽，：o 。 一若r 碟 o ( 即畿 o ) ，则l 幽l = o ，又i 幽| - c d 刀甜，故i 幽| o ，从而”为常 值映照； 若仃 ：芝鸬i 幽量1 2 “窆l 幽乞1 2 ：“l 幽仨o 这里m 心心一l 为彳在x 点的特征值。 ( ) 若“j 谢= c d 脚，则b ( 掰) = 胃l 幽( 刁) 1 2 = 日l 砌1 2 o ，因为这里h o 。证毕。 足理2 的证明由定理2 的1 段设及定理1 的证明知，引理1 中等式右边非负， 因此，l 幽l ：c 。瑚f 且f ( 筚) b ( “) ：o 。 1 ) 若a m 为凸的且在x 点严格凸，幽( 7 7 ) = o ，则 。卅蝉) 协荆抄峭如e 因为m o ( 因为a m 在x 点严格凸) ，所以i 幽i ，= o ，而l 幽l = c d 琊f 因此l 砌f 三o ，即甜为常值映照。 2 ) 若日o 且h l ， o ，“i 踟= 脚，则 。叫( 筚) 协荆叫( 哔) 例，眦o 所以l 出f ，= o又肛j = c d 删 故i 幽l 兰o ，即“为常值映照。证毕。 1 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第五章f 一调和映照的能量增长性质 在本章里我们讨论了一类f 一调和映照的能量增长性质，主要用到了黎曼几何 中的胁黜砌比较定理，得到了f 一调和映照能量增长的特殊估计。 5 1 引理和主要结论 引理1 坦1设d m 是一紧致区域，它的边界a d 是m 中的光滑超曲面，则对 c 2 一映照甜：( m ，g ) 专( ，办) 及m 上的任一光滑向量场x ，都有 l f ( 譬煅，玎：l 耿毕以地疗魄 + j d ( 旃僻( “) ) ( x ) 妣+ l ( 昂( “) ，跗挑 其中，z 为扣的法向量。 定理1 设m 是完备单连通具有非正截面曲率k 的研( 1 ) 维黎曼流形，它的 截面曲率满足一日2 k 一6 2 ，为任何黎曼流形。若：m 专是非常值，一调 和映照且f o ，则当( m 一1 ) ( ，) 一2 舻( f ) o ，对v g o ，都有 舰面寻l 。而，f ( 譬) 嗷= 悯 其中口，6 是正常数，坟( ) 表示以m 为中心，半径为尺的测地球。 5 2 引理和定理的证明 引理1 的证明 设 巳) ：。是m 上局部幺正法标架常，且定义 跚( g ，巳) = ( v q x ，巳 ，则 v 以譬洋n c 譬， ：，( 譬) 旃v ( 办( 地x ，玑q ) p ，办( 玑x ，r ) ) 一( 跗，甜乃 ) 1 5 硕士学位论文 m a s t e r s 丁h e s i s ：咖( 川毕撇蛾啪叫必州砌一 于是 咖( ，( 譬闳印轵哆舭咖州譬鹇砒) 巩f ( 哔m ( 单) ( 跗，g ：咖( f ( 坦望) 办( 地x ，地乞) q ) 一办( 地x ，印( “) ) + ( 5 1 ) 现在，对m 中紧致区域d ，沿扣取m 的局部幺正法标架场 q ，使得 q ，乞，p 。一。i ( 丁扣) ，而p 。是的单位法向量刀。将( 5 1 ) 式在d 上积分，并利用 g ，p 玎宗理臣宗戊弓i 理1 的证明 ( 品 ) ，踏) ：( f ( 壁乒) 一f 止錾) ) ( 阢。x ，) 叫单胛a 掣洋嘶 ( 阢。x 跗 ( 5 2 ) 选取昧( ) 上的局部幺正标架场 乞) 二。= q ，巳，导) 。令x = ，导，简单计算 可得 v 昙x = 昙，v e x = ，v 白导= ，薯乃勺，疣议= = - + r 薯 其中= ( v q 昙，勺) 。将以上三式代入( 5 2 ) 式得到 c 品c 破跗，= f c 譬+ ，薯，一f c 譬渺善瓴q ，纭勺，+ c 编导，编昙 若m 的截面曲率满足定理1 中的条件，应用觑傩i 口聍比较定理可以得到 f ( 单) 1 + ( 朋一1 ) ( c 。t h ( 6 厂) ) 1 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 洋，忙卜徊吣姒茚) f ( 学) 1 + ( m _ 1 ) ( c 。t h ( 一f 洋，胁州甜蚓2 伽徊 ：f ( 挈s 1 + ( 聊一1 ) ( 打) c 。t h ( 打) ，止娑) ( 甜) c 。n 1 ( ) i ( i k i ： 川譬加c 。蚴厂，f c 川网譬一例2 州譬) 于是，当( 聊一1 ) 6 f ( f ) 一2 幻f ( f ) o 时，由上式 f 掣) ( 5 3 ) 令d = 缘( 而) 是膨中以m 为中心， 足为半径的测地球。再令 x = ，- 兰& m ( 昙表示单位径向向量场，= ，( x ) 为到的距离函数) 。取局部幺 o r 、 o r 正法标架场 p 1 ，巳中昙 ，将d ：昧( ) 及x ：厂昙应用到引理1 中，我们有 i甜j 甜 l ( 而) ( 疥僻 ) ) ( z ) 也+ l ( 而) o ，由( 5 7 ) 式得到 高kf e 譬，哦c o 击c m 叫恨。c h 中l + - 嘲c h 妒9 令r 专+ ，贝i j 牌赤。洋胁 1 8 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 参考文献 【1 】 e e l i sa i l ds a m p s o njh h a h n o i l i cm a p p i n g so f 硒e m a n j l i a nm a l l i f o l d s 叨a m e r j m a t h ，1 9 6 4 ；8 6 ：1 0 6 - 1 6 0 【2 】h c j s e a l y h 黝o m cm a p so f 锄a l le n e r g y j 】b u l l l o n d o nm a t hs o c ，19 81 ， 13 ：4 0 5 4 0 8 3 】 w uh u n g - h i s ，1 1 1 eb o c l u l e rt e c l u l i q u ei nd i 疏r e n t i a lg e o m e 蚵【m 】，m a t hr 叩o r t v 3 ，h a r 、o o da c a d e m i cp u b l i s h e r ，19 8 8 ，2 8 9 - 5 3 8 4 张运涛，王幼宁等，负指数调和映照【j 】，北京师范大学学报( 自然科学版) ，第 3 3 卷第4 期( 1 9 9 7 ) ：4 5 7 4 6 1 5 】m a r a ，g e o m e t r yo f f - h a n n o n i cm a p s j 】，k o d a i ，m a t h j ，1 9 9 9 ，2 2 ：2 4 3 - 2 6 3 【6 】a 一m m a t e i ，g a pp h e n o m e n af o rp - h a n n o i l i cm a p s j 】a u 1 g l o b a la n a l g e o m ， 2 0 0 0 1 8 ：5 4 1 5 5 4 【7 】 z h o uz r ，s t a 【b i l i 锣a j l dq u a n t u mp h e n o m e ma 1 1 dl i o u v i l l et l l e o r e m so fp - h 舭n o m cm a p s 、v i mp o t e n t i a l 【j 】，k o d a im a t h ，2 0 0 3 ，2 6 ：1 0