材料力学第03章-06 (2)

； ； ； ptm a xNGIlTWTAF 31 静矩和形心 32 惯性矩和惯性半径 33 惯性积 34 平行移轴公式 35 转轴公式 主惯性轴 第三章 截面图形的几何性质 一、静矩： Ax AyS d定义： 称为图形对 x 和 y轴 的静矩。 yx SS 、 3-1 静矩和形心 （面积矩、一次矩） Ay AxS d二、形心： AAxx AdAS yAS xAAyy AdxyC dA y x x y O yAS x 则： xAS y Ax AyS d（ 1）简单图形的形心和静矩： yASxASxy（ 2）组合图形的静矩和形心： ASx yASy xy x C yxy x C yx iA Ay d ii yAiiyiixxASyAS y x 1 2 3 AxA ii AyA ii （ 3）图形有对称轴时，形心在对称轴上。 （ 4） 轴过形心。xS x 00 yAS x0 yC x y dA x y y x yC xAAxx ii109011010451090510110109011010510906510110解 ： 组合图形 ， 图形分割及坐标如图 90 120 10 10 x y C1 C2 例 试确定下图的形心。 AAyy ii2121 21AAAxAx2121 21AAAyAy)mm(23)mm(38一、惯性矩： Ax AyI d2dA x y y x 定义： Ix、 Iy称为图形对 x轴、 y轴的惯性矩（量纲： 长度 4） 3-2 惯性矩和惯性半径 Ay AxI d2例 计算矩形对于其对称轴（形心轴）的惯性矩。 y x C h b dA y d x d yA dAx AyI d2解： Ayxy dd222222 ddbbhhxyy123bh123bhI x 123hbI y Ax AyI d2计算圆形对于其对称轴（形心轴）的惯性矩。 C d x y 例 d dA ddd A解： s iny A dd)s in( 2d)( s i nd202203 dd22c o s1d 20203 d644dI x Ax AyI d2C d x y dA x y A AI d2p A AyxI )d( 22p AA AyAx dd 22xy III p xII 2p yx II 极惯性矩： 222 yx 计算空心圆对于其对称轴（形心轴）的惯性矩。 例 D x y C d ddIDdx 202223)( s i nddDd2022322c o s1646444 dDI x)1(6444DI x)( Dd Ax AyI d2 A dd)s in( 2三、惯性半径 AiI xx 2AiI yy 2ix和 iy分别称为图形对于 x轴和 y轴的惯性半径 。 , AIi xx AIi yy 圆截面 AIi xx 4d46424dd四、组合图形的惯性矩： C x y ixIC x y 1 2 1 3 Ax AyI d2 iAAy d2 iyy IIixx II y x 33 惯性积 dA x y y x Axy AxyI dIxy称为图形对 x、 y轴的惯性积。 如果 x 轴（或 y轴） 是对称轴，则惯性积 Ixy =0 y y x -x y x C y x C Ixy =0 Ixy =0 dA yC xC C , cccc yxyx III0 Ccx yAS Ax AyI d2 3-4 平行移轴公式 已知： ayybxxCCx a y b xC yC , xI求： AayA C d)( 2 解： Aaayy CA C d)2( 22 AA CA C AaAyaAy dd2d 22AaaSI cc xx 22 AaII cxx 2 ba ,yI xyI注意 : C点必须为形心 AbII cyy 2abAII cycxxy AaII cxx 2dA x y a b C xC yC yC xC 同理： 例 计算图示图形对其形心轴 x轴和 y轴的惯性矩。 C x y 15 10 40 20 单位： cm 解： y x1 1 2 AyAy ii212211AAyAyA15402010201540452010c m )(25.26ixx II xx II 例 计算图示图形对其形心轴 x轴和 y轴的惯性矩。 C x y 15 10 40 20 单位： cm 解： y x1 1 2 AyAy ii212211AAyAyA15402010201540452010c m )(25.26ixx II xx II 12 10203xI)cm(102.7 44a 2)25.2645(1020 C x y 15 10 40 20 单位： cm y x1 1 2 12 40153xI)cm(103.10 44)cm(105.1710)3.102.7(444a 2)2025.26(4015 xxx III C x y 15 10 40 20 单位： cm y x1 1 2 iyy II 122010 3 yI)cm(1067.0 44)cm(108.110)13.167.0(444121540 3 yI)cm(1013.1 44 yy II yyy III 121612 3xI)cm(10656.2 43例 计算图示图形对其形心轴 x轴的惯性矩。 x C y 2 8 6 12 单位： cm 6 8 解： 121210 3s i nc o ss i nc o s11xyyyxx一、 惯性矩和惯性积的转轴公式 dA x y y x x1 y1 x1 y1 3-5 转轴公式 主惯性轴 , xyyx III已知： 1111, yxyx III求： 解： Ax AyI d211 Ax AxyI d)s i nc o s( 21 A Axyxy d)c o ss i n2s i nc o s( 2222 x A Ay dc o s 22 Ax AxyI d)s i nc o s( 21 A Axyxy d)c o ss i n2s i nc o s( 2222 2c o sxI 2s i n2c o s22 1 xyyxyxx IIIIII 22c o s1s i n ； 22c o s1c o s 22 2s i n2c o s2 21 xyyxyxy IIIIII 2c o s2s i n211 xyyxyx IIII 同理： A Ax ds in 22 AxyA dco ss in2 2s inyI c o ss in2xyI二、主惯性轴和主惯性矩 0)2c o s2s i n2(2 00 xyyx III 2s i n2c o s22 1 xyyxyxx IIIIII x y x1 y1 x1 令 0dd 1 xI求 Ix1极值 : yxxyIII22t an 0)2(t a n21 10yxxyIII 200 0 x0 y0 与 0 对应的旋转轴为 x0 、 y0 轴， 22m i nm a x )2(2 xyyxyx IIIIIII x y 0 x0 y0 平面图形对 x0 、 y0轴 惯性矩 为 00 yx II 、000)2c o s2s i n2( xyyxyx IIII 00 yxI平面图形对 x0 、 y0 轴的惯性积 为 )2c o s2s i n2( 00 xyyx III0平面图形对 x0 、 y0轴的 惯性积 为零， 00 yxI00 yx II 和称 x0 、 y0 轴为 主轴 ，称 为主惯性矩 。 使惯性积为零的坐标轴称为 主轴 。平面图形对主轴的惯性矩称为 主惯性矩 。 x y 0 x0 y0 主轴过形心时，称其为形心主轴。平面图形对形心主轴之惯性矩，称为形心主惯性矩。 ccccyxyxIII22t an 0三、图形的形心主惯性轴和形心主惯性矩 yC 0 xC0 yC0 xC C x y 0 x0 y0 求图形形心主惯性矩的步骤： (1)建立坐标系 (2)计算面积 A和面积矩 Sx、 Sy (3)求形心位置 (4)建立形心坐标系；求： IyC ， IxC ， IxCyC (5)求形心主轴方向 0 : (6)求形心主惯性矩 AAyASyAAxASxiixiiy22m i nm a x )2(2 CCCCCCyxyxyx IIIIIIIccccyxyxIII22t a n 0如果图形有对称轴，则对称轴就是形心主惯性轴。 0 xC0 yC0 yC xC y x C 结论：如果图形有对称轴，则对称轴就是形心主惯性轴。 yC xC 0cc yxIC ccccyxyxIII2 2t a n 0 0图形有对称轴 00 即 xc和 yc轴是形心主惯性轴 例 确定图示图形的形心主惯性轴的位置，并求形心主惯性矩。 C x y 180 40 360 180 20 40 解：由反对称性可知形心在反对称点 1804018012 40180212 40020 233xI)mm(107 5 1.5 481004018012 18040212 20400 233yI)mm(108 3 2.1 48180100401802 xyI180 -100 )mm(10592.2 48C x y 180 40 360 180 20 40 yxxyIII22t an 0 3226.1832.1751.5)592.2(2 , 9.522 0 45.2600yo xo )mm(1004.7 48)mm(105425.0 48= )mm(1004.7 44xoI)mm(105425.0 44yoI maxI )2(222xyyxyx IIIII minI如图所示图形，求形心主惯性矩 IxC。 解： （ 2）求形心位置。 （ 3）求： IxC 0xAAyy ii)cm(5.62例 3 （ 1） 建立坐标系如图。 60 45 45 20 80 50 y yx1 xC C 4506090208045450456090100208022 （ 3）求： IxC 60 45 45 20 80 50 y 5.62yx1 xc C 231 )5.62100(2080122080 xI)cm(103.2 46232 )455.62(9060129060 xI2243 )455.62(4506450 xI)cm(1029.5 46)cm(109.0 46321 xxxxc IIII )cm(1069.6 46在矩形内挖去一与上边内切的圆，求形心主惯性矩。 (b=1.5d) 解： （ 1） 建立坐标系如图。 （ 2）求形心位置。 （ 3）建立形心坐标系；求： IxC ， IyC ， I xCyC 0xd b 2d x O yC 4342332222ddddddAAyy iid823.0xC y例 4 C CCC xxx III 圆矩 )8 2 3.05.1(464)8 2 3.0(312 )2(5.1 224223ddddddddd 4435 1 3.06412 )5.1(2 ddddIII xCxCyC 圆矩 0CC yxC Iy 轴是对称轴，由于d b 2d x O xC yC x1 C y4685.0 d便是形心主惯性矩轴便是形心主轴和、yCxCCIIyx C 如图所示图形，求形心主惯性矩 Ixc。 解： （ 2）求形心位置。 0xAAyy ii例 3 （ 1） 建立坐标系如图。 60 20 100 20 80 20 1