（应用数学专业论文）非线性不等式约束优化的强次可行原始对偶内点算法.pdf

非线性不等式约束优化的强次可行原始对偶内点算法 摘要 在本文中 我们考虑非线性不等式约束优化问题 我们知道 原始对 偶内点算法是求解这类问题的重要的可行方向法之一 这种方法每步迭代 不用求解q p 子问题 而是求解线性方程组来得到可行下降方向 工作集技 术经常被用来减少计算量 同时 对于初始点任意的问题 强次可行方向 法是行之有效的解法之一 本文结合原始对偶内点法的性质和强次可行方向法的思想 利用一种 新的确定积极约束的 工作集 技术 提出了一个解决不等式约束优化的 原始对偶内点算法 新算法的主要性质如下 i 在每步迭代中 该算法只 需要求解两到三个含有相同系数矩阵的简约线性方程组 i i 初始迭代点 可以任意选取 系数矩阵都是可逆的 在有限次迭代后 迭代点成为一个 严格内点 搜索方向是可行下降的 目标函数单调下降 i i i 在适当的假设 下 算法具有全局收敛性和超线性收敛性 特别地 此算法放松了对于修 正矩阵的正定性约束 最后 我们给出了一些数值试验结果 关键词不等式约束优化强次可行方法内点法全局收敛性超线性 收敛性 as t r o n g i j ys u b f e a s i b l ep r i m a l d u a li n t e r i o rp o i n t a l g o r i t h mf o rn o n l i n e a ri n e q u a l i t y c o n s t r a i n e do p t i m i z a t i o n a b s t r a c t i nt h i st h e s i s w ec o n s i d e rt h en o n l i n e a ri n e q u a l i t yc o n s t r a i n e do p t i m i z a t i o n p r o b l e m s w ek n o wt h a tp r i m a l d u a li n t e r i o rp o i n tm e t h o d sa r eo n eo ft h ei m p o r t a n tm e t h o d so ff e a s i b l ed i r e c t i o n sf o rs o l v i n gt h i sk i n do fp r o b l e m s a te a c hi t e r a t i o n t h em e t h o d so n l yn e e dt os o l v el i n e a re q u a t i o ns y s t e m si ns t e a do fq ps u b p r o b l e mt o o b t a i nf e a s i b l ea n dd e s c e n td i r e c t i o n a n d w o r k i n gs e t t e c h n i q u ef o rd e t e r m i n i n g t h ea c t i v es e ti so f t e nu s e dt or e d u c ec o m p u t a t i o n a lc o s t a tt h es a m et i m e s t r o n g l y s u b f e a s i b l ed i r e c t i o nm e t h o d sa r eo n eo fe f f e c t i v em e t h o d sf o rs o l v i n gt h ep r o b l e m s s t a r t i n gw i t ha ni n f e a s i b l ei n i t i a lp o i n t i nt h i sw o r k c o m b i n i n gt h ep r o p e r t i e so fp r i m a l d u a li n t e r i o rp o i n tm e t h o d s a n dt h es t r o n g l ys u b f e a s i b l em e t h o d b ym e a n so fan e w w o r k i n gs e t t e c h n i q u e w e p r e s e n tan e wp r i m a l d u a li n t e r i o rp o i n ta l g o r i t h mf o ri n e q u a l i t yc o n s t r a i n e do p t i m i z a t i o n t h em a i np r o p e r t i e so ft h en e wa l g o r i t h ma r ed e s c r i b e da sf o l l o w s i a te a c h i t e r a t i o n t h ea l g o r i t h ms o l v e so n l yt w oo rt h r c 汜r e d u c e ds y s t e m so fl i n e a re q u a t i o n s w i t hac o m m o nc o e 伍c i e n tm a t r i x i i lt h ei n i t i a li t e r a t i o np o i n tc a nb cc h o s e na r b i t r a r i l ya n dt h ee o e f f i c i e n tm a t r i xi su n i f o r m l yn o n s i n g u l a r a f t e rf i n i t ei t e r a t i o n s t h ei t e r a t eb e c o m e sa ni n t e r i o rp o i n to ft h ef e a s i b l es e t t h e nt h es e a r c h i n gd i r e c t i o n i sf e a s i b l ea n dt h eo b j e c t i v ef u n c t i o ni sm o n o t o n ed e c r e a s i n g i i i u n d e rs u i t a b l ea s s u m p t i o n s t h ep r o p o s e da l g o r i t h mp o s s e s s e sg l o b a la n ds u p e r l i n e a rc o n v e r g e n c e i n p a r t i c u l a r t h ep o s i t i v ed e f i n i t e n e s sa s s u m p t i o no nt h eh e s s i a ne s t i m a t ei sr e l a x e d f i n a l l y p r o m i s i n gn u m e r i c a lr e s u l t sa r er e p o r t e d k e yw o r d si n e q u a l i t yc o n s t r a i n 嬲o p t i m i z a t i o n s t r o n g l ys u b f e a s i b l em e t h o d i n t e r i o rp o i n tm e t h o d g l o b a lc o n v e r g e n c e s u p e r l i n e a rc o n v e r g e n c e 广西大学学位论文原创性声明和学位论文使用授权说明 学位论文原创性声明 本人声明 所呈交的学位论文是在导师指导下完成的 研究工作所取 得的成果和相关知识产权属广西大学所有 除已注明部分外 论文中不包 含其他人已经发表过的研究成果 也不包含本人为获得其它学位而使用过 的内容 对本文的研究工作提供过重要帮助的个人和集体 均已在论文中 明确说明并致谢 论文作者签名 学位论文使用授权说明 姗年 旯2 墨 本人完全了解广西大学关于收集 保存 使用学位论文的规定 即 本人保证不以其它单位为第一署名单位发表或使用本论文的研究内容 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本 学校有权保存学位论文的印刷本和电子版 并提供目录检索与阅览服务 学校可以采用影印 缩印 数字化或其它复制手段保存论文 在不以赢利为目的的前提下 学校可以公布论文的部分或全部内容 请选择发布时阅 口即时发布口解密后发布 保密论文需注明 并在解密后遵守此规定 6 只l 毽日 s e c t i o n1 i n t r o d u c t i o n i nt h i st h e s i s w ec o n s i d e rt h e f o l l o w i n gn o n l i n e a ri n e q u a l i t yc o n s t r a i n c do p t i m i z a t i o n p r o b l e m d m i nf x 川 s t 吼 z o i t l 2 m 1 1 w h e r ef r n ra n dg i r n r i ja r ea l lc o n t i n u o u s l yd i f f e r e n t i a b l e g e n e r a l l y s e q u e n t i a lq u a d r a t i cp r o g r a m m i n g s q p m e t h o d s a r eac l a s so fe f f i c i e n t m e t h o d sf o rs o l v i n gt h ea b o v ep r o b l e m w h i c hc a nb es e e ni n r e f s f 1 2 1 s u p p o s et h a tz 2i sac u r r e n ti t e r a t e t h ei t e r a t i o np r o c e s so fat y p i c a ls q p m e t h o d f o p s o l v i n gt h eq u a d r a t i cp r o g r a m q p a sf o l l o w st o g e n e r a t eam a i ns e a r c h r a i n d r h k d v f x 七 t d s t 缈 z 矗 v 易 z 2 t d 0 j 1 2 w h e r e 凰 r i ss y m m e t r i cp o s i t i v ed e f i n i t ea n da na p p r o x i m a t i o no ft h eh e s s i a n m a r i x fl a g r a n g i a nf u n c t i nl z a z 差a i 吼 z a s s c i a t e dw i t h 1 1 a t z 七 a 一1 t h es q pm e t h o d sp o s s e s sg o o dc o n v e r g e n c ep r o p e r t i e su n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n s h o w e v e r t h eq ps u b p r o b l e m 1 2 m a yb ei n c o n s i s t e n t f o r a v e r c o m i n gt h cw e a l i l c s s s t u d i e so ni tc a nb cs e e ni n 3 7 b u tt h e ys t i l ls p e n dh u g et i m et oc o m p u t e o n eo r m o r eq ps u b p r o b l e m sa te v e r yi t e r a t i o n 上nr e c e n ty e a r s p r i m a l d u a li n t e r i o r p o i n tm e t h o d s w h i c ho n l y s o l v el i n e a re a u a 1 0 ns y s t e m sa te v e r yi t e r a t i o n h a v ee n j o y e di n c r e a s i n gp o p u l a r i t ys i n c ei t s v e r vi m p r e s s l v en u m e r i c a lp e r f o r m a n c ef o rl i n e a rp r o g r a m m i n g r e s e a r c h e r sh a v e8 t u d i e dt o e x t e n ds u c hm c t h o d st ot h eg e n e r a l l ym o r ed i f f i c u l t a r e ao fn o n l i n e a rp r o g r a l i u n i n 驴 n r s ti nq u a d r a t i ca n d c o n v e xp r o g r a m m i n g t h e nt ot h en o n c o n v e x s m o o t h c o n s t r a i n e d o p t i m i z a t i o np r o b l e m s t h ek u h n n c k e r f i r s to r d e rn e c e 8 s a r yc n d i t i n s f p t i m a l i t yf o rt h ep r b l e m p a r ea sf o l l o w s v f x e a i v g i x 0 l 1 a 仇 z 0 九 o 吼 z 0 i 1 2 仇 1 3 a p p l y i n gaq u a s i n e 毗 ni t e r a t i nt t h es l u t i o no ft h e e q u a l i t i e si n 1 3 n es 0 1 v e s 广西大学硕士学位论文 2 0 0 8 非线性不等式约束优化的强次可行原始对偶内点算法 2 t h ef o l l o w i n gl i n e a re q u a t i o n si n d o a o h d o o v g t z v f x i 1 z i v g i x 7 1 d o h o g i z 0 1 4 1 5 w h e r ehi sa ne s t i m a t eo ft h eh e s s i a no ft h el a g r a n g i a nf u n c t i o n zi st h ec u r r e n t e s t i m a t eo fas o l u t i o n 矿 x d oi st h en e x te s t i m a t ea n da ot h en e x te s t i m a t eo ft h e k k tm u l t i p l i e rv e c t o r o b s e r v et h a ti fhi sp o s i t i v ed e f i n e zh a ss t r i c t l yp o s i t i v e c o m p o n e n t a n dz s a t i s f i e st h ec o n s t r a i n t sa ss t r i c ti n e q u a l i t i e s i e g i x 2 t h em a i ns e a r c hd i r e c t i o ndi sc o m p u t e db ym a k i n gac o n v e xc o m b i n a t i o n o fd ow i t hd 1 i no r d e rt oa v o i dt h em a r a t o se f f e c t ah i g ho r d e rc o r r e c t i o nd i r e c t i o nd i so b t a i n e db ys o l v i n gt h ef o l l o w i n gl i n e a rl e a s ts q u a r ep r o b l e m m i n 1 1 d l l 2 s t g i x 西 v 仇 z t d 一矽 i 厶 w h e r elti sas u i t a b l ea p p r o x i m a t ea c t i v es e ta t ia n d 曲i sas c a l a rv a r i a b l e 1 8 h o w e v e r t h i sa l g o r i t h mm a yb ei n s t a b l e s i n c es y s t e m 1 7 m a yb e c o m ei l l c o n d i t i o n e di fs o m em u l t i p l i e rz c o r r e s p o n d i n gt oan e a r l ya c t i v ec o n s t r a i n tg ib e c a m e v e r ys m a l l a l t h o u g hi t w a sp r o v e nt oc o n v e r g et ok k tp o i n t sf o r p e v e n t u a l l y i tm a yg e tb o g g e dd o w no v e ras i g n i f i c a n tn u m b e ro fi t e r a t i o n si nt h en e i g h b o r h o o d o fn o n k k ts t a t i o n a r yp o i n t s i e s t a t i o n a r yp o i n t sa tw h i c hn o ta l lm u l t i p l i e r sa r e n o n n e g a t i v e c o n s t r a i n e dl o c a lm a x i m ao rc o n s t r a i n e ds a d d l ep o i n t s f u r t h e r m o r e t o g e tg l o b a lc o n v e r g e n c e a na d d i t i o n a la s s u m p t i o nt h a tt h en u m b e ro fs t a t i o n a r yp o i n t s i sf i n i t ei su s e d t h i sa l g o r i t h mw a sl a t e ri m p r o v e db yg a o h ea n dw ui n 1 0 1 t h e y 广西大学硕士学位论文 2 0 0 8 非线性不等式约束优化的强次可行原始对偶内点算法 3 o v e r c o m et h i ss h o r t c o m i n gb ys o l v i n ga ne x t r as y s t e mo fl i n e a re q u a t i o n a s s u m i n g t h a tt h em u l t i p l i e ra p p r o x i m a t i o ns e q u e n c er e m a i n e db o u n d e d l a t e r t oi m p r o v et h ea l g o r i t h mi n 9 b a k h t i a r ia n dt i t sp r o p o s e das i m p l e p r i m a l d u a lf e a s i b l ei n t e r i o r p o i n tm e t h o di n 1 11 t h e yu s eas u i t a b l ev e c t o rb a r r i e r p a r a m e t e r i e ad i f f e r e n tb a r r i e rp a r a m e t e rv e c t o rpf o re a c hc o n s t r a i n t t h e nt h e y o n l ys o l v et w os y s t e m so fl i n e a re q u a t i o n st og e ts e a r c hd i r e c t i o na n d s o l v eal e a s ts q u a r e s u b p r o b l c mt oc o m p u t eac o r r e c t i o nd i r e c t i o n p a r t i c u l a r y i nt h cs e c o n ds y s t e m t h e yu s et h ei d e ao fi n t e r i o r p o i n tm e t h o d st oc o n s t r u c tt h eb a r r i e rp a r a m e t e rv e c t o r 豇 o l 2 i j g i x 0o rg i x 矽 z 2 1 t h ef o l l o w i n ga s s u m p t i o n sw i l lb e x z 夕t z 0 i i nf o r c et h r o u g h o u tt h i st h e s i s a s s u m p t i o n1 t h ef u n c t i o n sfa n dg i i ia r gc o r t t i n u o u s l yd i f f e r e n t i a b l e a s s u m p t i o n2 f o re a c hp o i n tz r nt h eg r a d i e n ts e t v 9 z i l z a r c l i n e a r l yi n d e p e n d e n t a n dt h i si sc a l l e dl i c q n o w u s i n gf u n c t i o n 圣 r 圣 z 入 w ei n t r o d u c ea n o 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