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摘要 混沌学是当前非线性科学的前沿领域。混沌学是理论研究的基础学科，混沌 理论可以成为其他学科的工具。本文第一章对混沌进行了介绍，阐述了混沌的定 义，基本特征和各种混沌的检验方法。 交通系统的不确定性与混沌是紧密联系的，本文的第二章叙述了现有的交通 流理论并指出了造成交通流不确定性的几种因素。借鉴了国内外学者对交通流混 沌的研究成果，分析了既有交通流混沌研究的进展，研究方式和待拓展的方向。 交通流理论模型是理论研究和工程运用的重要工具，如何判断一种交通流模型的 合理性以为交通流模型的选用提供依据是一个值得重视的问题。 本论文第三章提出了用混沌作为检验交通流模型合理性的判据的方法。在模 型合理性判断的研究中，我们选用了最常用的几类跟驰模型，通过对其仿真交通 流时间序列进行混沌检验，进而判断其合理性。本方法为交通流模型合理性的判 断提出了一种新的思路。交通系统是一个复杂的巨系统，交通流中存在混沌。 如何揭示交通流混沌特征和本质以便为进一步的工作提供依据是本文第四 章的主要内容。针对这一问题，本论文的研究从不同的角度对不同途径获得的交 通流进行了研究。1 利用混沌判据对天津卫津路和红旗路的实测交通流数据分 析。2 利用混沌判据对软件仿真交通流仿真数据进行分析。3 利用混沌判据对理 论交通流进行分析。三种交通流分析的结果都表明交通流中的确存在混沌现象。 进一步的实验分别对理论交通流，实测交通流和模型交通流的李雅普诺夫指数和 分维数进行了比较，结果表明三者的相关混沌属性大体上是一致的，微小的差异 来源于仿真软件和理论模型对实际交通条件的简化。 研究交通流混沌的目的正是着眼于实际运用。本论文第五章提出了几种控制 交通流混沌的方法。在交通控制中，如何保持交通流的稳定和有序一直是一个工 程难题。本论文提出的保持交通流稳定有序的一种途径是：通过抑制和削弱交通 流涅沌来达到良好交通控制的目的。就目前控制混沌的方法看，主要有反馈控制 混沌和非反馈控制两大类。本论文以交通流跟驰模型为对象，对两类方法在交通 流混沌控制的应用都进行了研究。首先通过用反馈方法控制相关模型变量到达了 消除混沌的方法。同时，在非反馈控制混沌方法方面，提出了参数控制和噪声控 制混沌的方法。相比之下，反馈控制混沌的方法具有较高的可实现性，而后两种 方法的提出，也是控制交通流混沌的有益尝试。展望未来，随着相关理论和技术 手段的不断成熟，交通系统的混沌理论必将得到更深入的发展和广泛的应用。 关键词：混沌、交通流、交通流仿真、关联维数、李雅普诺夫指数、交通控制 a b s t r a c t r e s e a r c hi nc h a o ss t a n d sa tt h ef r o n to fn o n l i n e a rs c i e n c e c h a o s i sab a s i c s u b j e c t ；c h a o st h e o r ya n dc h a o s m e t h o dc a nb eu s e da sat o o lf o rt h eo t h e rs u b j e c t s t h ed e f i n i t i o n ，t h eb a s i cf e a t u r e sa n dv e r i f i c a t i o no f c h a o sa l - ed e t a i l e dp r e s e n t a t e di n c h a p t e r o n e t h eu n c e r t a i n t yo ft r a f f i cs y s t e mi si nc l o s ec o n n e c t i o nw i t hc h a o s i nc h a p t e r t w o ，s e v e r a lf a c t o r sc a u s i n gt h eu n c e r t a i n t yo f t r a f f i cf l o wa r ed i s c u s s e db e s i d e s ，t h e p r e s e n ts t a t ea n dt h ep r o b l e m s i nc h a o sr e s e a r c ha r er e v i e w e db a s e do nt h ea n a l y s i so f t h er e f e r e n c e s i nc h a p t e rt h r e e ，an e wa p p r o a c hf o re v a l u a t i n go fr e a s o n a b i l i t yf o rt h et r a f f i c f l o wm o d e l sh a sb e e np r e s e n t e d t h et i m es e r i a l so ft r 蕊cf l o wa r eg e n e r a t e db y s e v e r a lm o s tc o m m o nu s e dc a r - f o l l o w i n gm o d e l s t h ea p p e a r i n go f c h a o s s t a t ec a nb e t a k e n 黔ac r i t e r i o no f t h er e a s o n a b i l i t yo f t h et r a f f i cm o d e l t h i sa p p r o a c hp r e s e n t sa n e wi d e af o re v a l u a t i n gf o rt r a f f i cf l o wm o d e l s t h em a i nt o p i co f c h a p t e rf o u r i st of i n dt h en a t u r eo fc h a o si nt r a f f i cf l o w t h e r e s e a r c hd e n lw i t hd i f f e r e n t a s p e c t s o ft r a f f i cf l o w g e t f r o md i f i r e r e n t w a y 1 a n a l y s i s i n gt h et r a f f i c f l o wd a t aa tw e i j i nr o a da n dh o n q ir o a di nt i a n j i nw i t h c h a o sc r i t e r i o n 2 a n a l y s i s i n gt h et i m es e r i e sg e n e r a t e db vt r a m cs o f l w a r e w i t hc h a o s c r i t e r i o n 3 a n a l y s i s i n gt h et i m es e r i e sg e n e r a t e db yt r a f f i cf l o wm o d e l sw i t hc h a o s c r i t e r i o n f a r t h e re x p e r i m e n t sc o m p a r e dt h ec h a o ss t a t e so ft h e s et h r e ek i n d so f t y p i c a lt r a f f i cf l o w sb yt h e i rc o r r e l a t i v ed i m e n s i o na n dl y a p u n o ve x p o n e n t s r e s u l t s s h o wt h a tt h et h r e ek i n do ft r a f f i cf l o wa r es i m i l a ri nc h a o sn a t u r et h et i n yd i f f e r e n c e b e t w e e nt h er e s u l t so r i g i n a t e sf i - o mt h es i m p l i f y i n go ft h ea c t u a lc i r c u m s t a n c ei n s i m u l a t i o ns o f t w a r ea n dt r a 伍cm o d e l c e r t a i n l y , a c a d e m i cr e s e a r c h e sa r ea i m e d a tp r a c t i c a la p p l i c a t i o ni ne n g i n e e r i n g c h a p t e rf i v ep r e s e n t ss e v e r a la p p r o a c h e sf o rc h a o sc o n t r o l l i n gi nt r a 币cf l o w h o w t o k e e p t h es t a b i l ea n do r d e r l ys t a t eo f t r a f f i cf l o wi sa ne n g i n e e r i n g p r o b l e m o n eo f t h e e f f e c t i v ew a y sf o rw e l 】t r a f i l ec o n t r 0 1i st ob a t eo rw e a k e nc h a o ss t a t e u pt on o w , t h e r ea r et w ok i n d so f a p p o a c hi nc h a o sc o n t r o l ：o n ei sf e e d b a c kc o n t r 0 1 a n dt h e o t h e ri sn of e e d b a c kc o n t r o l c a r - f o l l o w i n gm o d e l sa r et a k e na ss u b j e c ti nt h er e s e a r c h a st ot h ef i r s tm e t h o d ，b ya d j u s t i n gc o r r e l a t i v em o d e lv a r i a b l e sw i t hf e e d b a c km e t h o d ， c h a o sc a nb ee l i m i n a t e d t h eo t h e rt w on of e e d b a c km e t h o d s ：c o n t r o lt h r o u g h p a r a m e t e r a n dc o n t r o l t h r o u g hd i s t u r b a n t e ，a r ep r e s e n t e d i nt h e p a p e rt o o b y c o m p a r i s o n m e t h o do fc o n t r o lw i t hf e e d b a c ki sp r o n et ob er e a l i z e di ne n g i n e e r h o w e v e r , t h el a s tt w o m e t h o d si sav a l u a b l e a t t e m p t w i t i ld e v e l o p i n g o f c o r r e s p o n d i n gt h e o r ya n dt e c h n o l o g y , c h a o st h e o r yw i l ls e eam o r ef l o u r i n gf u t u r ei n n o tl o n gt i m e k e yw o r d s ：c h a o s ，t r a f f i cf l o w , t r a f f i cf l o ws i m u l a t i o n ，c o r r e l a t i v ed i m e n s i o n l y a p u n o ve x p o n e n t s ，t r a f f i cc o n t r o l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得墨叠盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：签字日期：年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解苤鲞盘堂一有关保留、使用学位论文的规定。 特授权盘盗盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：导师签名： 签字日期：年月日签字日期：年 月日 交通流混沌研究初步 第一章混沌简介 1 1混沌的基本概念与性质 混沌现象最早是山美幽科学家洛伦鳆发现的，他在选择数值天气预报方程 时，把一般含有几千个变量的方程简化为，二= _ 元方程组，让计算机进行计算，并转 换成图琢。结果得出一幅非常神奇的图象，在二维空问中的双重螺旋线，看上左 象一只蝴蝶展丌双翅。这个图象表面上混乱不堪，标志着纯粹的无序，因为没有 任何个点或一批点组成的图形会再次出现。但这个图形有呈现一种新型的秩序 永不重复、永不相交，却始终保持耐人寻味的蝴蝶状的新秩序。它蕴藏着混 沌的全部的丰富内容，揭示了隐藏在随机性中的秩序。这充分说明混沌深处是有 规律的、有序的。洛伦兹由此得出结论：一个确定性的系统能够以最简单的方式 表现出非周期的形态。1 9 6 3 年，他在大气科学杂志上以“确定性的非周期 流”为题发表了自己的研究成果。这标志着一门新的学科混沌学的诞生。自 7 0 年代以来，它越来越多地作为术语以其新获得的含义出现在科学文献里，而 混沌作为非周期行为的标准术语得到广泛使用是从1 9 7 5 年马里兰大学的t y l i 和j y o r k e 发表论文周期3 意味着混沌开始的。 许多随时间而发生某种变化的过程，如钟摆的摆动、山石的滚落和岸边海浪 的破碎，其变化并非随机却貌似随机，科学家们用混沌这个术语来泛指这样的过 程一它们看起来是随机发生的而实际上其行为却由精确的法则决定，其它可以被 认为是混沌的现象包括简单的日常小事如树叶掉落或旗l i ! 飘扬，也包括复杂得多 的过程如气候起伏或生命过程。 1 1 1 混沌的定义 “混沌”作为非周期行为的一个标准术语，现在尚没有通用的严格的定义， 下面给出的定义只是比较有代表性的一种。 动力系统是指随时间确定性地变化的系统，系统的状态可由一个或几个变量 的数值来确定。在某些动力系统中，两个几乎一致的状态经过充分长时间后会变 得毫不一致，这种系统被称作敏感地依赖于初始条件，敏感地依赖于初始条件的 内在变化的系统就是混沌系统【ij 。对同一系统内变化的对初始条件的敏感的依赖 性就称为混沌。对初始条件的敏感的依赖性并不仅仅意味着两个状态之差异随时 交通流混沌研究初步 蚓简单地增大，举例来浇，有些确定性系统中，两状态之削个单位的初始差并 会发展成一百个单位；百分之一甚至百力分之。个单位的初始差异同样也会发展 成一卣个单位，只足需要更长时问罢了。而在另一些系统中，初始个单位的差 异会发展成一百个单位；仞始百分之一个币位的差异则仅能发展到一个单位。f j u 面那种系统被视为是混沌的，而后面那种则并不认为能构成混沌。 1 1 2 混沌的基本概念2 】 定义1 1 1 分形和分维：分形是”维空问一个点集的一种几何性质，该点集具有无限精细的 结构，在任何尺度下都有自相似部分和整体相似性质，具有小于所在空j 司维数” 的非整数维数。分维就是用非整数维分数维来定量地描述分形的基本性质。 定义1 1 2 不动点：又称平衡点、定态。不动点是系统状态变量所取的一组值，对于这些值 系统不随时间变化。在连续动力学系统中，相空间中有一个点，若满足当，呻o o 时，轨迹x p ) 哼，则称z 。为不动点。 定义1 1 3 吸引子：指相空间的这样的一个点集s ( 或一个子空问) ，对j 邻域的几乎任意一 点，当，哼o 。时所有轨迹线均趋于j ，吸引子是稳定的不动点。 定义1 1 4 奇异吸引子：又称混沌吸引子，指相空间中有分数维的吸引子的集合。该吸引集 由永不重复自身的一系列点组成，并且无论如何也不表现出任何周期性。混沌轨 道就运行在该吸引集中。 定义1 1 5 周期解：对于系统工。= f ( x 。) ，当”呻0 0 时，若存在孝= z 。= x 。，则称该系统 有周期f 解f 。不动点可以看作是周期解，因为它满足z 。= x 。 1 1 3 混沌的基本特征1 3 】 ( 一) 内随机性和非周期性：内随机性，就是在一个原来完全确定的系统中， 在没有外在干扰的情况下产生的随机性。混沌就具有这样的随机性，永不 重复又永无交叉的洛伦兹吸引子就是最好的例证。另外，混沌运动的发展 交通流混沌研究初步 ”j 以使原来有周j c j 的运动最终变成完全没有周期性的运动。混沌的内随机 性和非周期性使人们剥其运动状态的预测陷入困境，产生扑朔迷离之感。 这也是混沌之所以称为混沌的显著特征。 ( 二) 不可预测性：不可预测性是指混沌系统对初始条件的敏感依赖性，丌 始状态的很小的羞芹将导致以后某时刻所能出现的最大差异，一个初始 条件可能对应着数个结果值。 ( 三) 不可分解性：不可预测性是指混沌系统不能被分解为两个不相互影响 的子系统。 f 四1 规律性成份：指混沌系统具有稠密的周期点，其随机性是内在的，在 本质上具有规律性的成分。 f 五) 遍历性：混沌运动的遍历性是指混沌变量能在一定范围内按其自身规 律不重复地遍历所有状态。 ( 六) 具有分形性：混沌的奇异吸引子在微小尺度上具有与整体自相似的几 何结构，对它的空间描述只能采用分数维。 1 2 混沌的检验方法 1 2 1 关联维数方法 在一般情况下，人们面对的是一系列采样时间序列数据，为了能够从 单一序列中研究系统的动力学特性，j a m sp g r u t c h f i e l d 等人提出了相空间 重构的方法，并由t a k e n s 用数学为之奠定了可靠的基础。在实际应用中， 判断一个系统的动态行为是否混沌，即是否有混沌吸引子，一般从两个基 本特征上来判断：系统的相空间中的吸引子是否具有自相似结构的分数维 几何体；系统对于初始状态条件是否敏感。如果所研究的吸引子具有这两 个特征，那么我们认为该吸引子是混沌吸引子。般人们常用g r a s s b e r g e r 和p r o c a c c i a 提出的通过计算关联积分从而得到关联维的方法即g p 算法来 计算近似分维。这旱先给出了分维的定义。 f 一) 分维的定义 定义1 2 1 分维d 是使系统在伸缩变换下保持不变的不变量，它度量了系统填 充空间的能力，从测度论和对称理论方面刻画了系统的无序性和复杂性。 在实际中得到广泛应用的是关联维数，记为d ，其定义为： 。，= l 鲫訾m o 交通流混沌研究初步 式中占是变换的标度，c ( s ) 是关联积分两数，其定义为 式中 ( k ，= 嘉孝孝臼c s l y , - - y , i ，= 矿1 夸n 军n 口忙一勺， c l q + 、。：1 1 ( 占一o ) 0 y y - 表示数据歹“，臼s 一2 o 、2 。一j j 。o 。 ( 二) 关联维数的计算( g p 算法) 5 】 1 9 8 3 年，g r a s s b e r g e r 和p r o c a c c i a 根据嵌入理论和重构状态空间思想( 将 在下面作简单介绍) ，提出了从时间序列直接计算关联维数d ，的算法，简称 g p 算法。 设 以：k = 1 , 2 ，n 为时间序列，将其嵌入到m 维欧氏空问曰中，得到点 集( 或向量集) j ( m ) ，其元素记为： 瓦( m ，f ) = ( ，x 。，x n 伽- 1 ) ，) ( 1 - 3 ) 其中n = 1 , 2 ，n 。，= n - ( m - 1 ) r ，f = k a t 为时间延迟，f 为采样间隔， k 为整数。 从用个点中任意选定一个参考点五，计算其余，一1 个点到盖，的距离： o = ( 置，z ) = 【 ( x 。，一x j + r ) 2 i ( 1 - 4 ) 对所有x ，( i = 1 ，n 。) 重复这一过程，得到关联积分函数： 咖志差吲 ( 1 5 ) 式中g ( o ) 为h e a v i s i d e 函数： 坼，= 熙： ( 1 - 6 ) 关联积分表示了在时问序列中点对距离不超过r 的点对在所有点划中 的比率，它是一种空间相关性的量度。 对充分的，关联积分逼近下式： 4 交通流混沌研究初步 n c ，。( r ) = i n c d i m ) i n r ( 1 7 ) 因此r ”中的子集i ( m 1 的关联维可由下式得到： 嘶) = ! 觋掣 ( 1 8 ) 当d ( m ) 不随相空i 刨维数m 增高而改变时就成为时削序列或动力系统吸 引子的关联维数。 d 2 ( ) = l i md ( m ) ( 1 9 ) 关联维数取可以提供一些有用的系统动态信息。如d ，= i ，系统处于自 持周期振荡；d ，= 2 时系统具有两种不可约频率的准周期振荡；当d ，不是 整数或大于2 时，系统表现出一种对初始条件敏感的混沌振荡。 1 2 2 李雅普洛夫( l y a p u n o v ) 指数法 ( 一) 重构相空间 6 1 对于连续函数，根据混沌与分形理论的原理，可以得到具有n 个状态变量x 。 随时间变化的非线性动力系统方程 _ d x i ：，( 一，x 2 ，x 。) 硪 ( 1 1 0 ) 可根据现有的数学方法计算出连续动力系统方程的李雅普洛夫指数。但是， 实际和实验室里通常得到的是有关系统的离散的观测数据。计算离散型系统的李 雅普洛夫指数要用到相空间重构理论。因此，研究离散型的位移时间变量序列的 相空间重构尤为重要。 对于离散型的位移时间变量序列可采用不连续的时序x ( t ) 和它在( 1 1 1 ) 时滞位移来估计系统信息，组成的动力系统轨迹为： x ( t ) = f ( x ( t ，) ，x ( t ，+ r ) - x ( ，+ ( h 一1 ) r ) ) 通过这种方法将观测数据的固定时间延迟，重构“等价”的多维状态空间， 重复这一过程并提取不同时刻的各延迟量，产生出描述系统在n 维相空间相点演 化轨迹。具体计算中将原始位移观测数据托) 按固定时间间隔r ( r = k t a t ) 拓展 成l q 维相空问的一个相型分布： 交通流溉沌研究初步 ( 11 2 ) i | | 式( 1 1 2 ) 组成相型分如中m 个相点，每个相点有n 个分量，在1 1 维空帕j 构 成千h 型，相点问的连线描述了系统在n 维相空间的演化轨迹。 f 二) 从维时间序列中提取l y a p u n o v 指数的方法【7 1 l y a p u n o v 指数是刻画耗散系统相空间中相体积收缩过程中的几何特征变化 的物理量。考察以工。为中心的n 维无穷小球面的长时间演变，由于局域变化球 面变为n 维椭球面，以t 时刻按长度排在第i 位的椭球轴长度( ，) 相对初始球半 径w i ( 0 ) 的平均变化采用l y p u n o v 指数表示其增长率为 上巨= 姊器 ( 1 1 3 ) 此时椭球的线度以2 嵋的速度增长或收缩。 w o l f 给出在一维数据中提取l y p u n o v 指数的方法： ( 1 ) 应用时间序列选取延滞时间f ，根据观测数据样本总数n ，构造i 3 维相空 间的新序列，相点数为m ：m = n 一( n 1 ) r ； ( 2 ) 以初始相点j 。为基点，在点集 x ，) 的其余相点中选取与x 。最近的点 x ，为端点，构成一初始向量，氓一，间欧氏距离可记为l ( t 。) ； 。( 3 ) 取时问步长为k ，= “+ k ，初始向量沿轨线向前演化得到一新向量其 相应基点与端点间欧氏距离可记为三( f ，) ：在相应时间段内系统线度指数增长率 记为： 弘批筹 ( 1 _ 1 4 ) ( 4 ) 如此继续直至所有相点、然后取各指数增长率的平均值为最大l y p u n o v 指数估计值： 蝎( 咖磊1 各mi ll o g ：怒 ( 1 - 1 5 ) ( 5 ) 依次增加嵌入维数n ，重复b 、c 、d 过程直至l y p u n o v 指数估计值随n 6 交通流混沌研究幸j 步 变化而变得较为平稳为止，此叫得到的汁算结果即为所求最大l ) ，p u n o v 指数 值。 1 2 3 替代数据方法 ( 一) 替代数据方法的实现步骤 替代数据方法是由t h e i l e r 等人提出的，该力法的实现步骤为【8 i ： ( 1 ) 首先作m 零假设：所讨论的时问序列为线性随机序列： ( 2 ) 按照一定的算法由待检验序列出发l 。生出一组既满足零假设条什 义保留了原序列的f o u r i e r 功翠谱值的替代数据； ( 3 ) 分别计算待检验数据及替代数据的l y a p u n o v 指数或关联维数等指 丰，j i ：根据原序列和替代数据指标的显著性差异水平在一定的置信度内决定 是接受零假设，还是拒绝零假设。如果待检验序列和替代数据的特征指数 无显著差别，则零假设为真，待检验数据是由随机过程产生的；否则，若 待检验数据和替代数据的特征指数之间有显著差别，则可以拒绝序列是由 线性过程决定的零假设，数据中必定含有非线性混沌成分。 ( 二) 替代数据的生成 替代数据的生成主要经过以下三个步骤： ( 1 ) 原始时间序列进行f o u r i e r 变换： ( 2 ) 变换后得到的序列进行相位随机化，并要保证经过逆变换得到的序 列为实数； ( 3 ) 随机化后得到的序列进行f o u r i e r 逆变换，便得到一列替代数据。 般地，生活中的时间序列为实数列，但是对于经过f o u r i e r 变换并进 行相位随机化后得到的序列，在进行逆f o u r i e r 变换得到的数据虚部可能不 为零，遍布在整个复数空间，这样将会造成原始数据中的部分信息流失至 虚部中。为了减少这种信息流失，可以按照一定的方法使逆变换后得到的 序列的虚部为零。 设待检验的时间序列为：，x r ，x 。，x ，为在，时刻所得到的数据，其 中，。，k f 。分别为a t ，2 ，( 一1 ) a t ，5 t 为时间序列的时间间隔。对序列进 行离散f o u r i e r 变换，变化算子为f ，则 x ( 女) = f b ( ”) = x ( n ) e x p ( - 2 n n k i n ) k = o ，l ，一l ( 1 1 6 ) n = 0 上式可以写为功能谱及相位的形式： x ( k ) = a ( k ) e “州( 1 17 ) 其中爿( 女) 为幅值，m ( t ) 为相位，然后将中( 七) 随机地旋转一相位角妒( t ) 交通流混沌研究初步 得至4 x ( k ) = x ( k ) e “” ( 1 18 ) 妒( d 从医f u j 0 , 2 c 】【_ ，选取。 命题1 2 1 设经f o u r i e r 变换得到的复序列为贾( i ) ( 扛0 , 1 ，) ，若碧( ) = 2 ( n 一) ( t = o ，l ，。，f 专 ) 则膏( f ) 的逆f 。u r i e r 变换序列为实数列p 1 。 根掘上述命题，为了使得经逆f o u r i e r 变换的结果为实数，p ( 女) 需要满 足下面的条件： 妒( 女) ：一妒( 一女)七：o ，1 ，一，岸】( 1 - 1 9 ) 对相位进行随机化后，再对序列进行逆f o u r i e r 变换： 立( ”) = ，。譬( 女) ) = j ；薹x ( 七) e x p ( 2 刀”肼) 七= 。，1 ，r 一，v 一1 f i 。2 0 ) 量( h ) 即为所要求的替代数据。这样得到的替代数据与原始数据具有相同 的f o u r i e r 功能谱，保留了原始数据的线性自相关函数，但却除去了其中的 非线性相关性。 1 2 4k o l m o g o r o v 熵方法 计算系统的熵有多种，例如信息熵、柯尔莫哥罗夫熵( k o l m o g o r o v ) 等，这里介绍柯尔莫哥罗夫熵。 k o l m o g o r o v 熵是刻画系统的一个重要参量。在不同类型的动力系统中， k 的值不同。在随机系统中，k = 0 0 ；在规则系统中，k = 0 ；在确定性混 沌系统中k 0 。因此通过k 的计算可给出系统的粗略分类。 当不知道系统的微分方程时，k 是难以计算的。但由于k 是玎阶r i n y i 熵k 。的下界，且k 。k 州，k l = k 。，因此常计算足2 熵作为k 的近似。具体计 算过程如“卜： 设给定时间序列 ：k = 1 ，) ，按前述空间重构的作法，构造向量 x 。( m ，f ) ，并计算关联积分函数c 。( ，) 。按k 的定义可得： c 。( r ) r ”2e x p ( - m r k 2 )( m 寸o o ，r 寸o )( 1 - 2 1 ) 两边驮对数，得： 8 交通流混沌研究初步 n c 。，( r ) d 2i nr m r 2 对充分小的r ，当d ：不随m 改变时，从上式有： 1 3 c l ( ，) d 2i n r 一( + 1 ) r k 2 由以上两式可得： 如) = 1 n 瓦c m 丽( r ) 妈= l i m 眨。( r ) ( 1 2 2 ) ( 1 2 3 ) 对于给定的延迟时间r ，在无标度区间内给出一个，对m = 2 ，3 ，计算 出c 。( ，) ，再由式( 1 3 1 ) 求出岛。( ，) ，当其不随m 变化而改变时得到 k ：。( r ) ，m 。是使丘：，。( r ) 对m 达到饱和的最小值a 在无标度区内减少r 的值， 再按上述方法求出k 2 , m o ( r ) ，当其不随r 而改变时的值即可作为k ：的估计值。 1 2 5p o i n c a r e 截面方法 在相空间中适当选取一截面( 要有利于观察系统的动力特性和变化，如 截面不能和轨线相切，更不能包含轨线) ，称此截面为p o i n c a r e 截面，相空 间的连续轨线与p o i n c a r e 截面的交点称为截点。设记录得的庞加莱点为 风，b l ，一，或，。这样，就在庞加莱截面上让系统连续运动，高维的截点系 列就降为低维的离散点之间的映射： b 。l = t b 。 ( 1 2 6 ) 式( 1 2 6 ) 中的t 称为庞加莱映射i i 。 通过观察p o i n c a r e 截面上截点的情况可以判断是否发生混沌。当 p o i n c a r e 截面上有且仅有一个不动点或少数离散点时，运动是周期的；当 p o i n c a r e 截面上是一封闭曲线时，运动是准周期的；当p o i n c a r e 截面上是一 些成片的具有分形结构的密集点时，运动便是混沌。 1 2 6 功率谱方法 在许多实际问题中，人们只能观测到如下的离散时间序列 ， ” m 之 _ l 0 0 交通流混沌研究初步 f 1 2 7 ) ( 其中时间阳j 隔为，) 。由于它反映了实际非线性动力系统的运动状态，而吸 引子正是这种状态的归宿，因此吸引子的信息就包含在这时问序列之中。 崩功率谱方法1 可卣接观测到时问序列的混沌运动状态。为得到时州序列 的功率谱，肘x 作傅立叶变换： 1 ”一，2 班 _ = z ，k = 1 , 2 ，” ( 1 2 8 ) 其频率i n 隔为2 者 ， 吒 的逆变换为： i x ，： 窆迁。了1 2 , 9 k ，= 1 ，2 ，。 吖 k = l ( i 一2 9 ) 式中i = 一l 。 这种变换虽不具有欧氏长度z ，2 的守恒性，但却具备哈密顿长度的守 恒性 ， 2 1 x j l = y 1 x 。i ( 1 - 3 0 ) 对n 耷采样信l 力口上周期条件x n + ，：x m ，可计算时间序列工，的自相关函 数 y m2 吉荟协m( 卜3 1 ) 自相关函数的傅立叶变换就是功率谱b i 2 ： 踮e l 一= 鼽c o s ( 孚)2 l ” ( 1 3 2 ) 式中s 。说明第k 个频率分量对x ，的贡献，其意义代表单位频率上的能 量。由于窆瞳i ：窆卜二。i ，所以功率谱相对于垂直线厂：i 1 厶。( ：。是采样 = 【 k = l i n i n 7 所能反映的最高频率，允2 石1 ) 是对称的，故其有效信息的频率 范围在0 到l 之间。 o 交通流混沌研究初步 i i i j tj u j 序列的功率谱分析了非线性动力系统的波动状态，故从功率谱l 区分周 期运动、准周期运动和非周期运动。 用蝴运z 力的功率谱是分直的、离敝的( 对应尖峰) 。它包括基频 = _ = 1 ( t 为叫间序列的周期) 和其谐波吾，亍3 ，亍4 ，或它的分频五2 ，每，每，。 准周期运动的功率谱包括各种各样的刷期( 或频率) ，且各频率之问的 比例为无理数，其频谱线并不像周期运动那样以某问隔的频率分立。 非周期运动的功率谱与上述的周期运动和准周期运动的谱线不同，是 连续的谱。非周期运动包括随机运动和混沌运动，而随机运动的功率谱的 振幅与频率无关，是连续的平谱。混淹运动的功率谱也是连续的，但由于 其运动极其复杂，在倍周期分岔过程中，功率谱会出现一批对应新分频及 倍频的峰，所以混沌运动的谱不是平谱，即功率谱中出现了噪声和宽峰。 以卜是常用的几种识别混沌的方法，但替代数据方法和k o l m o g o r o v 嫡 方法的核- t l , 仍然是计算l y a p u n o v 指数或关联维数，因此，本文在研究交通 流的混沌性时，主要是利用关联维数方法、l y a p u n o v 指数方法。 交通流混沌研究初步 第二章交通流的不确定性与交通流混沌研究综述 2 1 交通流及交通流理论 2 1 1 交通流的概念与有关特性 交通流由单个驾驶员与车辆组成，道路一段时间内一条道路上依次通过的车 辆就构成了交通流。 交通流会受到交通设施的影响，根据交通设施对交通流的不同影响，可将 交通流设施分为连续流设施和间断流设施。连续流设施下，无内部因素会导致交 通流周期性中断。连续流主要存在于设置了连续流设施的高速道路及一些限制出 入口的路段。在这些路上，没有停止或让路一类的交通标志，也不会由于平交而 中断车流。间断流设施是指那些由于外部设备而导致了交通流周期性中断的设 施。导致间断流的主要装置是交通信号，它使车流周期性中止运行。其他设施， 如停车或让路标志，也会中止交通。同样在一些有着重要用途却没有任何控制的 路段上，车流也会受到中断。在间断流设施下，交通工程师必须注意车流经常性 的停车和重新启动。车流不仅受车辆与道路环境的相互影响，也受着周期性信号 的影响。比如说，交通信号只在部分时间内允许车流运动。在这类设施下，由于 车流受到周期性的干扰，车流就表现为成队行进的车群。车群是指一队车辆一起 沿着同一方向运动，在一队与另一队之间存在着明显的间隔。在信号设施下，车 群是由连续的交叉口绿灯时段的模式而形成的，对间断流设施来说，时间作为一 个重要参数影响着车流。 连续流与间断流的有关特征如下： ( 一1 连续流特征 ( 1 ) 总体特征 连续流是在没有外界干扰的情况下能保持连续车流的交通状态。 行车速度v ，、车流密度k 是表征交通流特性的三个基本参数。 此三参数之问的基本关系为： q = v 。k 式中 交通量q ( 2 1 ) 交通流泓沌研究初步 d ：i r 均流量( 辆a ) ； v 。：。卜口旷f j 均车速( k i n a ) ； k ：、r 均1 流密度( 辆m ) ( 2 ) 数学描述 速度1 了密度关系 19 6 3 年，格林希尔茨( g r e e n s h i e l d s ) 提出了速度一密度线性关系模型 y 叫( 1 _ 等) f 2 2 1 式中 v ：车流速度 矿，：畅行速度，车流密度趋于零，车辆可以畅行无阻时的平均速度 k ：阻塞密度车流密集到车辆无法移动时的密度 这一模型简单直观，研究表明上式表示的模型与实测数据拟合良好。 与密度的关系 交通流的流量一密度关系是交通流的基本关系。根据格林希尔茨公式及 基本关系式q = v ，- k ，得： q = 聊l 一参 ( 2 _ 3 ) 上式表示一种二次函数关系。 量与速度的关系 q = k j ( v - v 万2 ) ( 2 4 ) 上式同样表示条抛物线。 综上所述，按格林希尔茨的速度一密度模型、流量一密度模型、速度一流量 模犁可以看出，处于拥挤与不拥挤临界处的流量、速度、密度值级、吃和k 。是 划分交通流是否拥挤的重要特征值。当q 9 pk k 卅、v 0 ，出口匝道s ( x ，0 0 ；k 为交通密度，q 为 交通流量。 设v 为空间平均速度，则存在以下速度一密度关系： 9 = h( 输运方程)( 2 1 0 ) 另设平衡状态下“和k 满足下式： 1 6 交通流混沌研究初步 v = v ，( t )( 2 - 1 1 ) 将式( 2 9 ) 、( 2 - 1 0 ) 、 ( 2 - 11 ) 构成联赢方程组，利用特征线法可以求得一些 简t p 交通流问题的解析解。 鞍为著名的流体模型有p a y n e 模型1 ，p a p a g e o r g i o u 模型，p h i l l i p s 模，艘 1 1 1 1 k u h n e 模型1 1 ，m i c h a l o p o u l o u s 模型( 2 0 j 。 从以上交通流理论的研究现j 队可以看出，现有交通流理论的研究主要集中在 流量、速度、密度与容量之间的关系上，而各种模型在进行研究时都做了各种各 样的假设，并不是建立在完全真实的交通状况基础上，忽略了交通流中存在的不 确定性，更没有任何对交通流不确定性的处理，这是与实际情况相违背的，如果 能在交通流研究中全面地考虑到交通流不确定性，无疑会使交通流理论更接近现 实，提高交通流理论的实际应用价值。 2 2 关于不确定性 不确定性存在于生活的诸多方面，不确定性信息在不确定性的形成中起着重 要作用，在介绍不确定性之前，先介绍一下不确定性信息的概念及其分类。 2 2 1 不确定性信息的概念与分类 所谓不确定性信息引1 ，就是不能本源地反映事物本质的信息，是失真的信息。 信息是人类认识事物的根本依据，信息分为源信息和宿信息，源信息是事物本质 特性的反映，它具有确定性。然而科学不仅是人类对客体的认识，而且也应该是 人类对主体世界和主体与客体相互作用的认识，它既不是完全客体的，也不是完 全主体的，而是主客体在相互作用中交互的结果。信息的传输过程，正是这种主 客体相互作用的过程。源信息在能量的作用下向外发射，通过信道( 人类获取信 息的途径，包括人的认识标准、测量工具或传输工具等) ，将源信息传输到接收 系统。人类所能获取的信息只能是接收系统所呈现的信息一宿信息，即主客体在 相互作用中交互的结果。它具有由主体传来的主体性、具有反映客体源信息的窖 体性，同时具有在主客体相互作用过程中各种噪音干扰的交融性，即宿信息是来 自这三方面作用的综合结果。源信息的载体一信源的复杂性会影响信息的发射状 态，各种噪音的干扰会影响源信息的真实传输，接收系统( 含人的辨识) 能力的 限制会影响人类对信息真实度的认识，所以，从源信息到宿信息会有不同方面不 1 7 交通流、混沌研究初步 同程度的尖真，失真的信息必然不能本源地反映事物的本质，这就是信息的不确 定r ：。我们称失真的信息为f 、确定性信息。 t hj 二失真的方丽有所不同，所吼不确定性信息会表现为不同类别，如随机信 息、模糊信息、灰色信息、末确知信息等。以下为拥天数学定义1 2 2 ： 定义2 2 1 随机信息：设x 是欲知元，s 是非空c a n t o r 集，为“x 在s 中”，a 为“x 在s 中”，并且对s 中任一元素8 ，x = p 的可信度为d 。，0 n 。1 ，d 。满足n 。= 1 ( 口。表示总可信度) ，则称a 为随机信息。 定义2 2 2 模糊信息：设x 是欲知元，s 是非空c a n t o r 集，| v 为“x 在s 中”，a 为“x 在s 中”，并且对s 中任一元素p ，x = e 的隶属度为d 。，0 口。1 ，则称a 为模糊信 息。 定义2 2 3 未确知信息：设x 是欲知元，s 是非空c a n t o r 集，为“x 在s 中”，a 为“x 在 s 中”，并且对s 中任一元素p ，工= p 的可信度为d 。，0 口。l ，口。满足吒1 ( 吼表示总可信度) ，则称a 为未确知信g t 。 定义2 2 4 灰色信息：设x 是欲知元，s 是非空c a n t o r 集，s 是s 的非空子集，n 为“x 在 s 中”，a 为“上在f 中”，则称a 是灰信