（基础数学专业论文）banach空间中一类广义变分不等式解的存在性及应用.pdf

摘要 摘要 本文中 e 是实b a c h 空间 kce 是有界闭凸集 我们研究了广义 变分不等式的一般性理武咕p 找到一个咖 耳 使得 r 咖 s t 0 u t 0 o v k 其中 k k e t k k s k k 是满足一定条件的算于 并 由此讨论了方程 t u s u 曰 的解的存在性珂最后我们讨论了它的 应用 关键词 广义变分不等式白愈上半连续多值算于 完全连续算子 变分 1 a b s t r a e t a b s t r a c t i nt l d sp a p e r ei sar e a lb a n a c hs p a c e kce i sab o u n d e dc l o s e dc o n v e xs u b s e t w e s t u d yt h eg e n e r a lt h e o r yo fg e n e r a l i z e dv a r i a t i o n mi n e q u a l i t y i e f i n du o k s u c h t h a t n t u o s t 0 u t 上0 0 v u k w h e r e k e t k k s k ka r eo p e r a t o r ss a t i s f y i n gs o m e e o n d i t o i n s a n db yi t w ed i s c u s st h ee x i s t e n c eo f t h e s o l u t i o no f t h ee q u a t i o nn t u s u i e a tl a s t w ed i s c u s si t sa p p l i c a t i o n s k e y w o r d sa n d p h r a s e s g e n e r a l i z e dv a r i a t i o n a li n e q u a l i t y m u l t i v a l u e du p p e r s e m i c o n t i n u o u so p e r a t o r c o m p l e t e l yc o i i t 3 l i u o u sm a p p i n g v a r i a t i o n a ls o l u t i o n 预备知识及引理 1 预备知识及引理 变分不等式理论是由s t a m p a c c h i a 和f r i c h e r a 等人在研究力学和位势理论过 程中导出来的 后来被许多学者发展 使这一理论成为研究线性和非线性问题 的有效工具 近几年来 许多学者利用一些新的方法在不同的领域或方向对变 分不等式可解性问题进行了扩展和推广 见 1 1 2 3 4 本文中 我们用e 表示b a n a c h 空间 e 表示其对偶空间 e 表示p 的对偶空间 表示e 与e 之间的配对 用 一 和4 一 分别表示e 一 中的强收敛和弱 收敛 我们知道 当e 是自反b a n a c h 空间时 e e 定义1 层是b a n a c h 空间 映射a 口一一e 1 a 称为完全连续的 当且仅当对任意序列 ce 且 一钆 则 有且 z o 2 a 在点z o 称为d e m l 连续的 若 ce 且 一 o 有a 一且 o 3 a 在点 o 称为h e n r i 连续的 若 e t c 0 o o 坷 e 一 当t 0 时 有a z o 一a z o 定义2 多值算子a e 一一2 p 称为上半连续 若t 鼽 ce 且 一y o e 且鲰 且 一2 则有z a y o 定义3 t f e 一e 是单值映射 e x 一e 是非线性单值映 射 n v z 两 称为关于 是单调的 若 v 玑 2 e 一 使得 n t z f y l 一n t z f v 2 y l y 2 0 v z e 本文的目的是讨论下列变分问题的可解性 e 是b a n a c h 空间 kce 是有界闭凸集 t f k 一 是非线性单值映 射 k k e 是非线性单值映射 是否存在w oek 使得 n t t o o f w o t 一t o o 0 v u k 1 1 1 河北大学理学硬士学位论文 我们称此变分不等式问题为广义变分不等式问题 若上述w o 存在 则称 问题 1 1 有解 特殊的 当 p 一t4 y 即n t u f u t u f u 时 问题 1 1 等价于 找 o k 使得 o f w o 一z 0 0 0 札 k 1 2 我们把问题 1 2 称为强非线性广义变分不等式问题 下面的引理推广了f 5 中的引理2 1 引理1 设kce 是凸集 t e 一一k 是单值映射 f e 一一k 是 h e m i 连续单值映射 k k e 是非线性单值算子 满足 i 对每个给定的 是完全连续的i i i n t v f u 关于f 是单调的 则对于给定的u s e 一 州t f u o t 一u 0 0 v u e 1 3 当且仅当 n t v u t 一t 1 0 20 札 口 矿 1 4 证明 由n t v f u 关于f 是单调的 我们有 n t v f u 一n t v f 蛳 一t o o 则 n t v f t 一t 1 0 n t v f 蛳 一u o 由 1 3 式有 n t v f u t 一t 1 0 0 v t e 即 1 4 式成立 2 预备知识及引理 任取w e 一 令u u o 一咖 o o o 代入 1 4 式则有 n t v f t 吣 t 删一t o w t o 20 令t 一0 由f 的h e n r i 连续性及条件 i 可知 n t v f u o w u o 0 v e 3 河北大学理学硕士学位论文 2 主要结果 定理2 1 设e 是任意b a n a c h 空间 kce 是有界闭凸集 t k k 是单值完全连续算子 s k 一 是单值d e m i 连续算子 k k e 一 是非线性算子满足 i n t v s u 是关于s 是单调的 v u 口 k j i i 对于每个给定的u k u 是有限维连续的 即对任意有限维子 空间fce u knf e 是连续的 i i i 对于每个给定的u k 是完全连续的 则存在 o k 使得 n t w o s w o u 一 o 0 札 k 证明 设 f ce 1 f 是有限维子空间 且k n f 味f 令k f k nf 下面我们定义 a g r k f a v w l n t v s i t 一 o v u k f v k f 首先证明对于每一个u a v 是有意义的 对于每个 6k 考虑下面变分不等式 找到u o k f 使得 a r t v s t 上0 u u o 0 v u 2 1 对于固定的 k f 是完全连续的 又因为 f cf 是有界闭凸子集 由h a r t m a n s t a m p a c c h i a 7 2 1 有解 其次证明a 的上半连续性 假设口 ek f t h 口 a v t u i n t v s w 一 o o v u k f a 且鼽一y 由a 的定义有 丁u n s 一 20 v t k f 4 主要结果 令n m 由丁的连续性 f 的d e m i 连续性及条件 j i i i 有 t 占 u 一鲰 一 n t v s y u y 0 即有y a v 而且且 是有界闭凸集 所以由k a k u t a m i k yf a n g l i c k s b e r g 不动点定理 8 且有不动点 o 即a v o u o 由a 的定义有 n t o s t j 0 u 一 0 v u k f 22 令w f m k i 1 1 一孑1 1 c e 上 n 非负 3 l l m a z 一a 霉 1 丘一爱 0 v e f 7 r 4 ma e c l 忙 e 墨11 6 1 9 v fer c 1 工暖 n 非负 令f 2 f n 丑一r 满足假设 2 即 i g 满足c a r a t h e o d o r y 条件 i i 1 9 曼竹1 z c t t l m z 工 7 n o g 0 m i 印n f g z j 一 我们考虑下面的偏微分方程 川一 1 产协叫 扎 哪 q 却 都在n 内 iu o在a n 上 设u 叼 q 满足 善上a o z f d 出 五g z u 2 卜d z2 上 如 4 1 d 0 定义n e m i k i 算子s 哪 2 n 一咏 2 n s v 9 可知s 是单 调算子 职 2 n 一嘲 2 q f u u 是完全连续箅子 河北大学理学硬士学位论文 定义 c 聃 剐 啦z 1 赤 掣警如 z 1 焉塞警如 则 f u s 满足定理2 3 的条件 易检验 n f u s 口 一n f u s 一 o 因i u z l 拶i 对任葸z 0 1 戚豆 且u 阿苫一 盯 c f u s u 加 0 1 者 排移如 胎 兽坠娶如 如 1 忖1 1 2 n 丽一1 o 由定理2 3 存在咖 z 0 使得 厂11 开氅堕掣 o k 万再霸 扩彳刈 5 1 6 参考文献 参考文献 1 e z e i l d e r n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i sa n di t sa p p l i c a t i o n s l i bn o n l i n e a r 1 1 1 0 1 1 0 t o n eo p e r a t o r s s p r i n g e rb e r l i n 1 9 9 0 2 s d a f e r m o s e x c h a n g ep r i c ee q u i l i b r i u ma n dv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s m a t h 芦0 g r a m m i n g4 6 1 9 9 0 3 9 1 4 0 2 3 m a s l a mn o o r g e n e r a ln o n l i n e a rm i x e dv a r i a t i o n a l l i k ei n e q u a l i t i e s o p t i m i z a t i o n 3 7 1 9 9 6 3 5 7 3 6 7 4 m a s l a mn o o r a u x i l i a r yp r i n c i p l ef o rg e n e r a l i z e dm i x e d v a r i a t i o n a l l i k ei n e q u a l i t i e s j m a t h a n a l a p p l 2 1 57 5 8 5 1 9 9 7 5 s s c h a n g b s l e ea n dy q c h e n v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e sf o rm o n o t o n eo p e r a t o r si nn o n r e t t e x i v eb a n a c hs p a c e s a p p l m a t h l e t t 8 1 9 9 5 2 弘3 4 6j e l l c h i hy a o t h eg e n e r a l i z e dq u a s i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t yp r o b l e mw i t ha p p l i c a t i o n s j m a t h a n a l a p p l 1 5 8 1 9 9 3 1 3 9 1 6 0 7 p h a x t m a na n dg s t a z n p a c c h i a 0 ns o m en o n l i n e a re l l i p t i cd i f f e r e n t i a lf u n c t i o n a l e q u a t i o n s a e t a m a t h 1 1 5 1 9 6 6 2 7 1 3 1 0 8 张石生 不动点理论及应用 重庆出版社 1 9 8 4 年 9 v b a r b u n o d 1 i n e a rs e m i g r o u p sa n d d i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nb a n a c hs p a c e s n o o r d h o f f 1 9 7 6 1 0d p a s c m ia n ds s b u r l a n n o n l i n e a zm a