（基础数学专业论文）有限子序列覆盖映射及π映象.pdf

独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得密绺女警其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者鲐移7 每藩签字魄洳一年月。日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解雅橼式酗关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅本人授权瘟铐女鼢以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存，汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：，物7 刍努导师签名：搀，硝拦 签字日期口国f 年厂月弘日 签字日期：跚年一f 月p 日 学位论文作者毕业去向：家钓技教蜀巷f 乳 工作单位：它 弘数务学f 勋电话：肛孔名尹7 j 。业 通讯地址：宝4 独赦毒彦f 凌。彀学每，邮编：口多删 2 摘要 本文主要是讨论了有限子序列覆盖映射的若干性质以及此映射与其它映 射类之间的相互关系，另一方面本文还给出了局部可分度量空间的7 r 映象的 某些内在刻画 在第二章中，我们主要证明了有限子序列覆盖映射保持s n 一第一可数空 间，作为它的应用，又证明了有限子序列覆盖、商映射保持9 一第一可数空间， 也证明了有限子序列覆盖闭映射保持s n 一度量空间，g 一度量空间，度量空 间，点可数基。此外，我们还研究了几种映射类之间的相互关系，首先说明了 第一可数空间上的映射，是几乎开映射当且仅当，是1 一序列覆盖的伪开映 射，其次说明了s n 一第一可数空间上的1 一序列商映射是1 一序列覆盖映射 最后举例说明了1 一序列商映射未必是序列覆盖映射，从而也就否定回答了文 【3 】中提出的一个问题 在第三章中，我们主要是利用筛的概念给出了局部可分度量空间的序列 商及序列覆盖”映象的某些内在刻画，而且度量空间的各种”象也可以用筛 的概念给出刻画，证明了空间x 是度量空问的序列商( 序列覆盖) ”映象当 且仅当x 具有c 3 + ( 。) 筛构成的点星网以及空间x 是局部可分度量空间的序 列商( 序列覆盖) ”映象当且仅当x 具有可数纤维的c s + ( c s ) 筛构成的点星 网。 关键词：1 一序列商映射；1 一序列覆盖映射；有限子序列覆盖映射；s n 一 度量空间；9 一度量空间；度量空间；x 一空间；局部可分度量空间；序列商 3 映射；序列覆盖映射；”映射；筛；c s 筛；c 矿筛 a b s t r a c t i nt l l i sp a p e r ，w ed i s m l s st h ep r o p e r t i e so ft h en n i t es u b s e q u e n c e c o v e r i n gm a p p i n g sa n dr e l a t i o nb e c w e e i li ta n do t h e rm a p p i n g s 穗a l s oo b t a i ns o m ei n t e rc h a r a c t e r i z a t i o n so ft l l e7 ri m a g e so f l o c a l l ys e p a r a b l em e t r i cs p a c e s i nc l l a p t e r2 ，w ep m v et h a ts n 一矗r s tc o u n t a b l es p a c e sa r ep r e s e r v e db yt h e6 n i t e s u b s e q l l e n c e c o v c r i n gm a p p i 唱s b yt h i sr e s u l t ，w ep r o v et h a tt h e 矗n i t es u b 8 e q u e n c e c o v e r i n g ，q u o t i e n th l a p p i n 9 8p r e s e r v e 口一n l e t r i z a b l es p a c e s ，a l s op r o v et h a tt h e6 n i t e s u b s e q u e n c e c o v e r i n g ，c l o s e dm a p p j n g sp r e s e r v e 占扎一n l c t r j z a b l es p a c e s ，夕一m e t r i z a b l e s p a c e s ，m e t r i z a b l es p a c e s ，p o i n t c o u n t a b l eb a s c s i na d d i t i o n ，c o n c l u s i o n sa r eo b t a i n e dt l l 砒m a p p i n g so n 矗r s c o u m a b l es p a c e sa l ea i m o s o p e nm a p p n g sj fa n d o n l yi nt h em a p p i n g sa r eo n e s e q u e n c e - c o v e r i g ，p s e u d o - o p e nm a p p i n g s ，a n do n e 一 8 e q u e n c e 。q u o t i e n m a p p i n g so s n n r s tc o u n t a b i es p a c e sa r eo n e s e q u e n c e c o v e r i “g m 印p i n g s a tl a s t ，a ne x a m p l ea r eg i v e no u tt os h o wt h a tn o ta l lo n e 8 e q u e n c e - q u o t i e n tm 印p i n 9 8a r es e q u e n c e c o v e r i n gm a p p i n g s i nc h 印t e r3 ，u s i n gt h en o t i o no fs i e v et og i v ec h a r a c t e r i z a t i o so f 曲e8 e q u e c e q u o t i e n ta n d8 e q u e n c e c o v e r i n gm a p p i n g s 丌i m a g e so fm e t r i cs p a c e sa n dl o c d l y s e p a r a b l em e t r i cs p 8 c e 8 w ep r o v et h a ta8 p a c exi sas e q u e n c e q u o t i e n t ( s e q u e n c e c o v e r i r 培) 7 ri m a g e 8o fm e t r i cs p a c e si fa n do n l yi fxh a sap o j n t s t a rn e t w o r kw h i c h h a sc 矿( c s ) s j e v ea n das p a exj sas e q u e c e _ q u o t i e n ( s e q u e n c e c o v e r i n g ) 7 rj m a g e s o fl o c a l l ys e p a r a b l e 埘【e t r i cs p a c e si fa n do n l yi fxh a sap o i n t s t a rn e t w o r ko fa 5 c o u n a b l ec 1 1 r e a tw h i c hh a sc s + ( c s ) 8 i e v e k e yw o r d s ：o n e s e q u e n c e q u o t i e n tm a p p i n g s ；o n e s e q u e n c e c o v e r i n gm a p p l n 9 8 ； 6 n i t es u b s e q u e n c e c o v e r i n gm a p p i n g s ；s 礼一m e tr i z a b l es p a c e s ；9 一m e t r i z a b l es p a c e s n e tr i z a b l es p a c e s ； x s p a c e 8 ； l o c a l l ys e p a r a b i em e t r i cs p a c e s is e q u e n c e q u o i e n t m a p p i n g s ；o n e s e q u e n c e c o v c r i n gn l a p p i n g s ；丌m a p p i n g s ；s i e v e ；c ss i e v e ；c s s i e 、，e 6 安徽大学硕士论文有隈子序列覆盖映射及”映象 第一章引言 l 一序列覆盖映射是在一般拓扑学中近来经常被研究的一类映射，它具有 保持9 第一可数空间等良好性质近来的研究表明，它具有一种所谓的收敛 序列的“拉回”性质，然而，我们在研究广义度量空间的映射象时，所涉及的 映射通常并不满足这一条件，例如序列商映射因此，在第二章中，我们考虑 将其条件减弱，将“保持收敛序列”减弱为“收敛子序列”，将“存在原象中 的一点”减弱为“存在原象中的有限子集”，这样得到的映射即为本章中的有 限子序列覆盖映射而且它具有与1 序列覆盖映射类似的良好性质； 定理2 ，l ：有限子序列覆盖映射保持s n 一第一可数空间。 作为其应用，我们得到了一些推论： 推论2 1 ；有限子序列覆盖、商映射保持g 一第一可数空间 推论2 2 ：有限子序列覆盖闭映射保持s n 一度量空间，9 一度量空间，度 量空间 推论2 3 ：有限子序列覆盖闭映射保持具有点可数基的空间 文 3 中谷建胜引进l 一序列商映射，由于有限子序列覆盖映射号卜序 列商映射，故： 推论2 4 ：l 一序列商映射保持s n 一第一可数空间 推论2 5 ： 1 一序列商、商映射保持9 一第一可数空间 推论2 6 ： l 一序列商闭映射保持s n 一度量空间，9 一度量空间，度量空 间，具有点可数基的空间 第一章引言 7 另一方面，我们还研究了几种映射类之间的相互关系： 定理2 2 ：设m 为第一可数空间，：m _ x ，那么，为几乎开映射当且 仅当，是l 一序列商的伪开映射 定理2 3 ：设肘为s n 一第一可数空问，：m _ x 为l 一序列商映射，则 ，是l 一序列覆盖映射 从而文( 3 j 中的结果均是此结论的直接推导。最后，还举例说明了最后举 例说明了卜序列商映射未必是序列覆盖映射，从而也就否定回答了文 3 中 提出的一个问题。 在第三章中，利用筛的概念给出了局部可分度量空间的序列商及序列覆 盖”映象的某些内在刻画近年来，局部可分度量空间的几类s 映象，紧映象 都有一些刻画，本章主要对其”象给出内在刻画，主要结果有： 定理3 3 ：空间x 是局部可分度量空间的序列商”象当且仅当x 具有可 数纤维的c s + 筛构成的点星网 定理3 4 ：空间x 是局部可分度量空间的序列覆盖”象当且仅当x 具有 可数纤维的c s 筛构成的点星网 本论文中所有空间为正则的，所有映射连续且是到上的 8 安徽大学硕士论文 有限子序列覆盏映射及丌映象 第二章关于有限子序列覆盖映射 5 2 1 基本概念 定义2 1 1 1 】：设，：x y 是映射 ( 1 ) ：，成为伪开映射，若v 是x 的开子集且，- 1 ( 9 ) y ，则，( 矿) 是y 在 y 中的邻域 ( 2 ) ：，成为几乎开映射，若对于口y ，存在。，- 1 ( 9 ) 使得如果( ，是z 在 x 中的邻域，则，( 矿) 是在r 中的邻域 ( 3 ) ：，成为闭映射，若f 是x 的闭子集，则，( f ) 是l ，的闭子集 ( 4 ) ：，成为开映射，若矿是x 的开子集，则，( y ) 是l ，的开子集 ( 5 ) ：，成为商映射，若，“渺) 是x 的开子集，则c ，是x 的开子集 易验证，几乎开映射# 开映射兮伪开映射穹商映射 闭映射= 伪开映射辛商映射 定义2 2 【1 】：设，：x y 是映射， ( 1 ) ，称为序列商映射，若 ) 是y 中的收敛序列，那么存在 鲰) 的子 序列 。，和x 中的收敛序列 q ) 使得每一q 厂1 ( 。) ( 2 ) ，称为序列覆盖映射，若 洳) 是y 中的收敛序列，那么存在x 中的 收敛序列 。) 使得每一z 。厂1 ) 定义2 ，3 ( 1 】：设，：x y 是映射，称，为1 序列覆盖映射：若对于 g y ，存在z ，- 1 ( 目) 满足：如果y 中的序列口。收敛于g ，那么存在x 中收 敛于z 的序列。使得每一$ 。，_ ( ) 第二章关于有限子序列覆盖映射 9 定义2 ，4 【3 j ：设，：x + y 是映射，称，为1 序列商映射：若对于y y ， 存在z 厂1 ( ) 满足：如果y 中的序列f g 。) 收敛于，那么存在x 中收敛于 z 的序列 z 。 使得每一z 。，“( 蛳。) 定义2 ，5 f 1 0 ) ：设，：工，y 是映射，称厂为有限子序列覆盖映射：若对于 y ，存在，_ 1 ( ) 的有限子集r 使得对任意收敛于9 的序列m ，存在序列三 收敛于k 中的某点，且，( 己) 是m 的子序列 显然，1 序列覆盖映射号l 一序列商映射= 争有限子序列覆盖映射j 序列 商映射 1 一序列覆盖映射= 争序列覆盖映射= 序列商映射 定义26 1 1 ：设x 是一个空间，p c x ( 1 ) ：若x 中序列z 。收敛于z ，称 z 。 是终于p 的，如果存在m ，使 得 z u 。：n 仇) cp ( 2 ) ：p 称为x 中点。的序列邻域，若x 中序列 z 。 收敛于。，则( 岱。) 是终于p 的。 ( 3 ) ：x 称为序列空间，若x 的每序列开集是x 的开集。 ( 4 ) ：x 称为耳空间，若acx 使得对于x 的每一紧子集k 有k n a 是 k 的闭子集，则a 是x 的闭子集。 ( 5 ) ：x 称为f r c 船t 空间，若。c f ( a ) cx ，则存在a 中点组成的序列 。) ，使得在x 中 。) 收敛于z ( 6 ) ：x 称为强f r d 矾e t 空间，若 a ) 是x 中递减的集列且。n 。 rc f ( 如) ， 则存在z 。a 。m ) ，使得在x 中 z 。 收敛于。 1 0安徽大学硕士论文有限子序列覆盖映射及7 r 映象 显然，第一可数空间号强f r d 曲甜空间寺f r d c e 空间辛序列空间辛 空间 定义2 7 川钆设p = u 妒。：z x 是空间x 的覆盖，对每一。x ，满 足下述条件( n ) ，( 6 ) ( o ) ：是z 处网，即。n 吼且任给含。的开集，存在p r ，使得 尸cu ( d ) ：若p l ，p 2 吼，则存在p 乃，使得尸cp i n 恳， ：p 称为x 的弱基，如果任给gcx ，g 是x 的开集当且仅当对每一 $ g ，存在尸巴，使得pcg ，此处兄称为。处弱邻域基。 ( 2 ) ：p 称为x 的s n 一网，如果每一z x ，r 中任元是z 的序列邻域， 此处r 称为z 处s n 一网 ( 3 ) ：空间x 称为9 一第一可数( s n 一第一可数) 的，如果x 具有弱基 ( s n 一网) p = u r ：z x ，使得每一是可数的；空间x 称为9 一度 量空间( s n 一度量空间) ，如果x 具有a 一局部有限弱基( 弱邻域) 定义2 8 1 】：设p 是空间x 的覆盖 ( 1 ) ：p 称为x 的k 网，若对于x 中的每一紧子集k 及x 中包含k 的开 子集y ，存在_ p “使得k u p v 具有。一局部有限网的空间称为x 一空间 ( 2 ) ：p 称为x 的c s 网，若x 中的序列 z 。) 收敛于z 且y 是z 在x 中 的邻域，则存在尸尹使得序列 。 终于p 且尸 矿 ( 3 ) ：p 称为x 的 c s + 网，若x 中的序列 z 。) 收敛于且z u r ，则 第二章关于有限子序列覆盖映射 存在p p 和如。 的子序列z 。，使得z 。c ，cu 注f 1 ) ： ( 1 ) 弱基= 争s n 一网净网j 网仁女网，故9 一度量空间 j s n 一度量空间；9 一第一可数= s n 一第一可数jc s 一第一可数。 ( 2 ) 序列空间中，弱基替s n 一网，故9 一第一可数空间甘s n 一第一可数 空间，9 一度量空间甘s n 一度量空间 2 2 主要结果及其证明 我们已经在书 1 中已经知道，1 序列覆盖映射具有良好的性质，它能保 持m 一第一可数空间，并且1 序列覆盖，商映射保持g 一第一可数空间，那么 有限子序列覆盖映射是否具有类似的性质呢? 基于这样的想法，我们首先得 到如下的定理： 定理2 ，l ：有限子序列覆盖映射保持s n 一第一可数空间 证明；设，：肘- x 为有限子序列覆盖映射，吖是s n 一第一可敷空问， 则对于z x ，存在，。( z ) 的有限子集k = t ，2 ，0 ) 满足定义中条件，记 8 t i - 且。，是点t ：在膨中的可数递减序列邻域网，令 k = u 坠1 曰i 。 p z = ，( z k ) = ，( u b 讯) 下说明吼为z 的可数递减序列邻域网 ( 1 ) p 。为z 的可数递减网：显然凡递减，且z n r ，任给含z 的开 集u ，则厂1 ( u ) 是缸( 1si r ) 的开邻域，故对每个圮存在b 。8 t ：，使得 b 。，一1 ( u ) 取 1 2 安徽大学硕士论文有限子序列覆盖映射及7 r 映象 n o = m 。z ( n n 对应所有旦。( 1 isr ) 的下标中的n ) 则由廖“的递减性，我们得到b 。= u b mc 厂1 ( ，) ，故 ( b n o 、c u 由此可见，r 为z 的可数递减网 ( 2 ) 每一，( 曰。) 均是茁的序列邻域：设f 。 收敛于z ，若，( b n ) 不是。的 序列邻域，则存在( 。 - 。，z 。毛，( 取) 而由b n 定义，存在m 中收敛于某个 ( 1 i o r ) 的序列托。 ，。c 玩，使得 ，( 。) ，t j v ) 是 。) 的子列，这于 。芒，( b 。) 矛盾 由此可见。，( b 。) 均是z 的序列邻域 由( 1 ) ( 2 ) ，p 工为z 的可数递减序列邻域网，故x 为s n 一第可数空间 定理得证 由此定理，我们有： 推论2 1 ：有限子序列覆盖、商映射保持9 第一可数空间 证明：设，：彤_ 爿为有限子序列覆盖映射，肘是p 一第可数空闭 由定理2 1 ，x 为s 礼一第一可数空间，而由 1 引理1 4 3 ：商映射保持序列空间 性质，且在序列空间中，口一第一可数空间甘s n 第一可数空间，故x 是9 一 第一可数空间即 有限子序列覆盖商映射保持g 一第一可数空间 推论2 2 ：有限子序列覆盖闭映射保持s n 一度量空间，9 一度量空间，度 量空间 第二童关于有限子序；q 覆盖映射 1 3 证明：设厂：m _ x 为有限子序列覆盖映射 ( 1 ) ：m 是s n 一度量空间，则由定理2 ，1 ，x 为s n 一第一可数空间，结合 5 】 推论3 2 ：s n 一度量空间的闭映像是s n 一度量空间当且仅当它是s n 一第一可数 空间故x 为s n 度量空间即 有限子序列覆盖映射保持s n 一度量空间 ( 2 ) ：m 是g 一度量空间，由予序列空间中，9 一度量空间营s ”度量空 间而序列空间在闭映射下保持，结合( 1 ) 知： x 为9 一度量空间即： 有限子序列覆盖映射保持9 一度量空间， ( 3 ) ：m 是度量空间，由 5 】定理2 4 ：空间m 是度量空间当且仅当m 是 f 7 - d c f 。e t 的s n 一度量空间而另一方面，f r c 战空间在闭映射下保持，结合 ( 1 ) 知：肖为度量空间即 有限子序列覆盖映射保持度量空间 定理得证 推论2 3 ；有限子序列覆盖闭映射保持具有点可数基的空间 证明：设，：m x 为有限子序列覆盖映射，m 具有点可效基，由于闭 映射保持f r g 曲e t 空间，故x 为f r c _ f i e t 空间，又由定理2 1 知：x 为s n 一 第一可数空间故结合( 1 推论1 4 8 ( 1 ) ：空间x 是第一可数空间当且仅当x 是s n ，可数的f r d c e t 空间x 是第一可数空间而另方面，由【1 】定理 2 2 ，5 知：x 具有点可数自网故x 是具有点可数训c 矿网的序列空间，由并 的正则性及 1 推论2 1 1 1 知：x 具有点可数基即 有限子序列覆盖映射保持具有点可数基的空间 1 4 安徽大学顼士论文有限子序列覆盖映射及7 r 映象 由于1 序列商映射辛有限子序列覆盖映射，故有： 推论2 4 ：1 序列商映射保持s n 一第一可数空间 推论2 5 ：i - 序列商，商映射保持9 一第一可数空间 推论2 6 ：l 序列商闭映射保持s n 一度量空间。9 一度量空间，度量空 间，具有点可数基的空间 我们知道，l 序列覆盖映射，序列覆盖映射，开映射，几乎开映射以及 1 序列商映射，有限子序列覆盖映射都具有一种收敛序列的”拉回一陛质， 而且这些映射之间也会有一些关系，燕鹏飞，林寿，江守礼在 1 1 中证明了可 度量空间上的序列覆盖闭映射是1 一序列覆盖映射；林寿，燕鹏飞在【7 中证 明了第一可数空间上的映射，是几乎开映射当且仅当，是1 一序列覆盖的伪 开映射，我们减弱条件，得到定理2 2 及1 一序列商映射与1 一序列覆盖映射 的关系定理 定理2 2 ：设m 为第一可数空间，：m _ x ，那么，为几乎开映射当且 仅当，是1 一序列商的伪开映射 证明：”辛”因为l 序列覆盖映射辛1 序列商映射，所以结论成立 ”簪”设，：m - x 为i 一序列商的伪开映射，对于每一。x ，存在t 厂1 ( 。) 满足定义中要求，如果u 是t 在m 中的邻域，我们要证明，( u ) 是z 在x 中的邻域： 首先说明，( u ) 是z 在x 中的序列邻域，若不然，则存在 。) 收敛于 。，z 。啊，( u ) ，又，是1 一序列商的，故存在m 中收敛于某个的序列 ， 第二章关于有限子序列覆盖映射 1 5 使得每一t 。，一1 ( z 。) 、由于u 是在m 中的邻域，故 。) 终于c ，因此 ，( 如) ) 终于，( 矿) ，即 z 。) 终于，( l ，) ，矛盾。由此，( u ) 是z 的序列邻域又由于 m 为第一可数空间，而伪开映射保持f r d c e 性质，故x 为尸r d 曲e 空间， 由( 1 ，引理1 4 ，7 1 ，( u ) 是。的邻域，于是，是几乎开映射 定理得证 定理2 3 ：设彤为s n 一第一可数空间，：m 一x 为1 序列商映射，则 ，是l 一序列覆盖映射 证明：设，：m 叶x 为1 一序列商映射，。x ， 。) - 。，则存在，。( z ) 满足定义中条件因为m 为一第一可数空间，故可取在 ，中的递减的 可数序列邻域网 h ，n ， 首先我们说明，( k ) 是。的序列邻域： 若，( k ) 不是z 的序列邻域，则存在 z 。 收敛于z ，z 。- ，( y ) ，且存在m 中收敛于某个的序列( 如) ，使得每一“，1 ( 岱k 。) ，由于每一 n 是 在m 中的序列邻域，故 k ) 终于k ，因此 ，( 。) ) 终于，( ) ，即 z 。) 终于，( ) ， 矛盾 由此可见，( 坛) 是z 的序列邻域 其次，我们令 三= 。n ，n u 茹) ， 三k = 嚣。，n 盘 u ) ， 则对任意n 1 存在。，使得l kc ，( k ) ， 当n 女l 时，取如，一( 。) 1 6 安徽大学硕士论文有限子序列覆盖映射及7 r 映象 当n 。 o 定义3 6 1 3 1 ：序列d = ( d 。，以。，”。) ) 。l 称为x 的筛：若每个口n = d ( 口) ： o a 。 是x 的覆盖，7 r 。：a ，i + l - a 。为到上映射且对每个o a 。有： d ( ) = u ( d ( n ) ：几：( o ! ) = o ) 注；在下述证明中，记”搿= “”。+ l ”。 定义37 ：口称为x 的具有可数纤维的筛：若上述筛的定义中，对任一 q 如，”i 1 ( a ) 是a 。+ 1 的可数子集 口称为x 的c s ( c s ) 筛；若对每一个收敛序列s ，存在一列 d ( a 。) ，a 。 如，n ) ，使得( o 。十1 ) = o 。对每个n ，s ( s 的某个子序列) 终于d ( a 。) 5 3 2 主要结果及其证明 我们知道，点星网被广泛的运用于描述度量空间的各种”和紧映象，例 如我们在书 1 】中已经知道： 空间x 是度量空间的序列商( 子序列覆盖) w 映象当且仅当x 具有c r 覆 盖构成的点星网 空间x 是度量空间的商”映象当且仅当x 具有+ 覆盖的点星网的序列 空间 2 0 安徽大学硕士论文有限子序列覆盖映射及7 r 映象 空间工是度量空间的伪开”映象当且仅当x 具有c 矿覆盖的点星网的 f r d c f l e 空间 对于空间x ，下述四个条件等价： ( 1 ) x 是度量空间的1 序列覆盖的( 商，伪开) ”映象； ( 1 ) x 是度量空间的序列覆盖的( 商，伪开) ”映象； ( 3 ) x 具有s n 覆盖构成的点星网的( 序列空间，f r d c e t 空间) ； ( 4 ) x 具有c s 覆盖构成的点星网的( 序列空间，r c e t 空间) 等等诸多结论e h a b e r 在文献【1 2 】中利用筛的概念描述了一些弱度量空间的 象，事实上，筛还可以用来描述局部可分度量空间的一些”映象 首先，我们在度量空间中用筛来给出”象的刻画。 定理3 1 ：下列三个条件等价： ( 1 ) x 是度量空间的序列商”象 ( 2 ) x 具有c s 覆盖构成的点星网 ( 3 ) x 具有”筛构成的点星网 证明( 1 ) 甘( 2 ) 见【2 定理3 1 6 ( 3 ) 辛( 2 ) 显然 ( 2 ) ：争( 3 ) ：设f ) 为x 的c s + 覆盖构成的点星网记 p i = 尸n ：o a i ) 令妒；= _ p l = j 气：8 a 1 ) p ：= rn 昂：a a l ，卢a 2 圭 已：7 以1 a 2 ) 第三章局部可分度量空间的7 r 映象 2 l p ：= r ：a 兀冬l a ) 令 n 斗1n ：a ：_ n a = lt = l ( o i 1 “n + l ) ( a l ，口n ) 则易验证 ( p ：，兀饕【a ，”。) ) 。2 1 为x 的c s + 筛构成的点星网 同样地可以给出下个定理： 定理3 ，2 ：下列三个条件等价： ( 1 ) ：x 是度量空间的序列覆盖”象 ( 2 ) ：x 具有c s 覆盖构成的点星网 ( 3 ) ：x 具有c s 筛构成的点星网 对于局部可分度量空间，我们也有类似的刻画，下面将给出局部可分度量 空间的序列商”象及序列覆盖”象的某些刻画 定理3 3 ：空间x 是局部可分度量空间的序列商”象当且仅当x 具有可 数纤维的c s 筛构成的点星网 证明”兮”设，：m - x 为序列商7 r 映射，m 为局部可分度量空间取 m 的直径小于1 的由可分子集构成的开覆盖为口- ，令 a l = a 8 l = 地，d a 1 ) ， 2 2 安徽大学硕士论文有限子序列覆盖映射及7 r 映象 故m 。具有可数开覆盖，其半径小于1 2 ，记为 口( 血) ：a a 。，d i n m b ( o ) 1 n 若。，( 县( o 。) ) ，则，- 1 ( z ) n 廖( a 。) 若日( 。) 不全包含于，一1 ( u ) ，则 矛盾 d ( ，一1 ( 。) ， f ，1 ( c 厂) ) 出口”l 口( o 。) l n 故b ( o ，。) ，一1 ( u ) ，3 ( z ，p 。) cu ”乍”设p 是x 的具有可数纤维的。+ 筛构成的点星网，r = ( p 。；： o i ) 对每一个 u ，赋予a 离散拓扑，令 m = 垆= 慨) h ，鼬a ：存在a 1 ，使得” ( 觑+ 1 ) 一o l 且 昂，) 是x 中某 点。( 卢) 的网 则m 做为兀，。a 的子空间是可度量化的 定义 j ：m _ x 卢- z ( 卢) 是连续到上的 ( 1 ) m 是局部可分度量空间：设= ( 觑) m ，j 0 1 使功。= p n 。令 安徽大学硕士论文有限子序列覆盏映射及7 r 映象 和= n = h ) n a ：7 r i ( 1 i 十t ) = 0 1 且( b ， 是x 中某点z ( 卢) 的网1 则a 妇为m 的含卢的开集 令r ；= ( 7 4 。7 r j 一1 ( ，y ) = q 1 ) ，则r ；可数，且 铂c 丌：( 饥) 故可 分 可见m 是局部可分度量空间。 ( 2 ) ，：m 。x 为7 r 映射：p 为x 的点星网，让( ，m ，x ，p ) 是p o n o m a r e v 系下说明存在m 上的度量d 使得，是”映射： 对于每一。x ，n ，存在o 。 ，。使得。r 。，且p 0 。+ 。c 尸0 。由于 p 为x 的点星网，所以( j 气。) 是z 在x 中的网令o = ( 0 。) ， 则o m ，且，( o ) = z ，故，为满函数 设 q = ( o ，) m ，( 口) = z u 下( x ) ， 则存在n 使得r 。c u 令 y = 侈m ：卢的第n 个坐标为o 。) ， 那么v 是m 中含n 的开子集且，( y ) cr 。cu ，故，连续 对于每一吼声m ，定义 d c a ，卢，= 。，。：。，n 。卢，：i ； 则d 是m 上的距离由于m 的拓扑是有离散空间族( a ) 的积空间所诱 第三章 局部可分度量空间的7 r 映象 导的子空间拓扑，于是d 是m 上的度量对于。，r ( x ) ，存在n ，使 得s ( z ，_ p 。) cu 对于q ，一1 ( z ) ，卢m ，若d ( o ，卢) 1 n ，那么当isn 时 有：q ( a ) = ”n ( 卢) ，于是。只。( 。) = b 。( 口) ，从而 ，( 卢) n ，n 只( 卢) cp 丌。) 矿 因此 d ( ，一1 ( z ) ，m ，一1 ( 矿) ) 1 n 故，是”映射 ( 3 ) ，是序列商映射：p 是空间x 的“。筛，则对任意的收敛序列 z 。) _ z o ，令丁= z n ，n u ( z ，不妨设z 。z o ，则存在( p 0 。 。l ，对每个n ， f ) 的某子序列终于 r 。) 令 = t n r 。 则矗终于 r 。，且五十l 是正的子序列，于是正c 亿 m 时有o 。= o 。，于是在如序列 a 。) 收敛于a 。对每个m 令风。= ( a 。) ，则，( 卢。) = z 。，且在m 中序列 肪) 收敛于卢= ( ) 故，为序列覆盖映射。 致谢 本论文是在我的导师燕鹏飞教授的支持、鼓励和精心指导下完成的在我 研究生三年的学习过程中，燕老师渊博的专业知识、严谨的治学态度，以及敏 锐的学术洞察力都让我受益匪浅我在学习中所取得的任何进步都离不开燕 老师对我的悉心指导和亲切关怀在此特表示我最深切的感谢 感谢数学与计算科学学院2 0 0 2 级全体研究生同学和你们相处的三年 中，我们在学业上共同进步，在生活上互相关心，度过了很多快乐的时光。特 别感谢和我同一个导师的同学杨二光、吕诚，和你们共同的学习和讨论帮助我 在学习中克服很多困难 感谢我的辅导员裴修碧老师和刘卫老师，感谢你们三年来对我的帮助和 关怀，你们是我学习和生活中的良师 最后我要向我的亲人，我的父母和弟弟表示我深深的致意，感谢他们多 年来对我的照顾，正是他们从未改变过的信念和不倦的鼓励，才使得我的论文 得以顺利完成 再次感谢所有帮助过我的老师，同学和亲人! 3 1 4 参考文献 ”林寿：点可数覆盖与序列覆盖映射【m ，科学出版社，2 0 0 2 m 林寿：广义度量空间与映射【m 】，科学出版社，1 9 9 5 3 l 谷建胜：关于l 一序列商映射【j 】，数学研究，2 0 0 3 ，4 4 ： 3 0 5 3 0 8 。 4 林寿，燕鹏飞：关于序列覆盖紧映射【j ，数学学报，2 0 0 1 ，4 4 ：1 7 5 一1 8 2 卧葛英：关于s n 一度量空间【j j ，数学学报，2 0 0 2 ，4 5 ：3 5 5 3 6 0 ( 6 ，林寿：关于序列覆盖s 映射【j ，数学进展，1 9 9 6 ，2 5 ： 5 4 8 5 5 1 7 】l j ns ，y a np ：s e q u e n c e - c o 她r i n gi n a p so f m e