（江苏专用）高考数学 考前三个月 必考题型过关练 第34练 双曲线的渐近线和离心率 理.doc

第34练双曲线的渐近线和离心率题型一双曲线的渐近线问题例1(2013课标全国)已知双曲线c：1(a0，b0)的离心率为，则c的渐近线方程为_破题切入点根据双曲线的离心率求出a和b的比例关系，进而求出渐近线答案yx解析由e知，a2k，ck，k(0，)，由b2c2a2k2，知bk.所以.即渐近线方程为yx.题型二双曲线的离心率问题例2已知o为坐标原点，双曲线1(a0，b0)的右焦点为f，以of为直径作圆与双曲线的渐近线交于异于原点的两点a，b，若()0，则双曲线的离心率e为_破题切入点数形结合，画出合适图形，找出a，b间的关系答案解析如图，设of的中点为t，由()0可知atof，又a在以of为直径的圆上，a，又a在直线yx上，ab，e.题型三双曲线的渐近线与离心率综合问题例3已知a(1,2)，b(1,2)，动点p满足.若双曲线1(a0，b0)的渐近线与动点p的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是_破题切入点先由直接法确定点p的轨迹(为一个圆)，再由渐近线与该轨迹无公共点得到不等关系，进一步列出关于离心率e的不等式进行求解答案(1,2)解析设p(x，y)，由题设条件，得动点p的轨迹为(x1)(x1)(y2)(y2)0，即x2(y2)21，它是以(0,2)为圆心，1为半径的圆又双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，即bxay0，由题意，可得1，即1，所以e1，故1e1的条件，常用到数形结合(2)在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法由yx00，所以可以把标准方程1(a0，b0)中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个数据，由于，当e逐渐增大时，的值就逐渐增大，双曲线的“张口”就逐渐增大1已知双曲线1(a0，b0)以及双曲线1的渐近线将第一象限三等分，则双曲线1的离心率为_答案2或解析由题意，可知双曲线1的渐近线的倾斜角为30或60，则或.则e 或2.2已知双曲线c：1 (a0，b0)的左，右焦点分别为f1，f2，过f2作双曲线c的一条渐近线的垂线，垂足为h，若f2h的中点m在双曲线c上，则双曲线c的离心率为_答案解析取双曲线的渐近线yx，则过f2与渐近线垂直的直线方程为y(xc)，可解得点h的坐标为，则f2h的中点m的坐标为，代入双曲线方程1可得1，整理得c22a2，即可得e.3已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线均和圆c：x2y26x50相切，且双曲线的右焦点为圆c的圆心，则该双曲线的方程为_答案1解析双曲线1的渐近线方程为yx，圆c的标准方程为(x3)2y24，圆心为c(3,0)又渐近线方程与圆c相切，即直线bxay0与圆c相切，2，5b24a2.又1的右焦点f2(，0)为圆心c(3,0)，a2b29.由得a25，b24.双曲线的标准方程为1.4已知双曲线1(a0，b0)的左，右焦点分别为f1(c,0)，f2(c,0)，若双曲线上存在点p使，则该双曲线的离心率的取值范围是_答案(1，1)解析根据正弦定理得，由，可得，即e，所以pf1epf2.因为e1，所以pf1pf2，点p在双曲线的右支上又pf1pf2epf2pf2pf2(e1)2a，解得pf2.因为pf2ca(不等式两边不能取等号，否则题中的分式中的分母为0，无意义)，所以ca，即e1，即(e1)22，解得e1，所以e(1，1)5(2014湖北)已知f1，f2是椭圆和双曲线的公共焦点，p是它们的一个公共点，且f1pf2，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为_答案解析设pf1r1，pf2r2(r1r2)，f1f22c，椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2，由(2c)2rr2r1r2cos ，得4c2rrr1r2.由得所以.令m，当时，mmax，所以()max，即的最大值为.6(2014山东改编)已知ab0，椭圆c1的方程为1，双曲线c2的方程为1，c1与c2的离心率之积为，则c2的渐近线方程为_答案xy0解析由题意知e1，e2，e1e2.又a2b2c，ca2b2，ca2b2，1()4，即1()4，解得，.令0，解得bxay0，xy0.7若椭圆1(ab0)与双曲线1的离心率分别为e1，e2，则e1e2的取值范围为_答案(0,1)解析可知e1，e1，所以ee22e1e10e1e20，b0)的左焦点f作圆x2y2的切线，切点为e，延长fe交双曲线的右支于点p，若e为pf的中点，则双曲线的离心率为_答案解析设双曲线的右焦点为f，由于e为pf的中点，坐标原点o为ff的中点，所以eopf，又eopf，所以pfpf，且pf2a，故pf3a，根据勾股定理得ffa.所以双曲线的离心率为.9(2014浙江)设直线x3ym0(m0)与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点a，b.若点p(m,0)满足papb，则该双曲线的离心率是_答案解析双曲线1的渐近线方程为yx.由得a(，)，由得b(，)，所以ab的中点c坐标为(，)设直线l：x3ym0(m0)，因为papb，所以pcl，所以kpc3，化简得a24b2.在双曲线中，c2a2b25b2，所以e.10(2013湖南)设f1，f2是双曲线c：1(a0，b0)的两个焦点，p是c上一点，若pf1pf26a，且pf1f2的最小内角为30，则双曲线c的离心率为_答案解析不妨设pf1pf2，则pf1pf22a，又pf1pf26a，pf14a，pf22a.又在pf1f2中，pf1f230，由正弦定理得，pf2f190，f1f22a，双曲线c的离心率e.11p(x0，y0)(x0a)是双曲线e：1(a0，b0)上一点，m，n分别是双曲线e的左，右顶点，直线pm，pn的斜率之积为.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线e的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于a，b两点，o为坐标原点，c为双曲线上一点，满足，求的值解(1)点p(x0，y0)(x0a)在双曲线1上，有1.由题意有，可得a25b2，c2a2b26b2，则e.(2)联立得4x210cx35b20.设a(x1，y1)，b(x2，y2)则设(x3，y3)，即又c为双曲线上一点，即x5y5b2，有(x1x2)25(y1y2)25b2.化简得2(x5y)(x5y)2(x1x25y1y2)5b2.又a(x1，y1)，b(x2，y2)在双曲线上，所以x5y5b2，x5y5b2.由(1)可知c26b2，由式又有x1x25y1y2x1x25(x1c)(x2c)4x1x25c(x1x2)5c210b2.得240，解得0或4.12(2014江西)如图，已知双曲线c：y21(a0)的右焦点为f.点a，b分别在c的两条渐近线上，afx轴，abob，bfoa(o为坐标原点)(1)求双曲线c的方程；(2)过c上一点p(x0，y0)(y00)的直线l：y0y1与直线af相交于点m，与直线x相交于点n.证明：当点p在c上移动时，恒为定值，并求此定值解(1)设f(c,0)，直线ob方程为yx，直线bf的方程为y(xc)，解得b(，)又直线oa的方程为yx，则a(c，)，ka