2017上《高等数学》课程考试考前辅导资料.docx

2017上半年高等数学1课程考试考前辅导资料一、考试复习所用教材高等数学(第5版)（上册），同济大学应用数学系 ，高等教育出版社 ，2002年7月二、考试题型介绍1、单项选择（每题4分，共5个小题）2、填空（每题5分，共5个小题）3、计算题（每题10分，共4个小题）4、证明题（每题15分，共1个小题）三、考试相关概念、知识点、复习题及例题规划第1章 函数与极限1、函数的定义和相关性质l 定义:如果在某变化过程中有两个变量x，y并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数。（会求函数的定义域）函数的相关性质:函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性和有界性及其判定方法等。例1 .求下列函数的奇偶性（1） （2）解析：（1）因为，所以是偶函数； （2）因为，所以是非奇非偶函数。参考书本第1章函数性质中的奇偶性判断，有界性等要熟练掌握。l 复合函数的定义：设y=f(u) 而u=（x)，且函数（x)的值域包含在f(u)的定义域内，那么y通过u的联系也是自变量x的函数，我们称y为x的复合函数，记为y=f（x),其中u称为中间变量。l 函数的连续性：设函数y=f(x)在的某一邻域内有定义，如果，那么就称f（x）在处连续。在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数；初等函数在定义区间上连续。（初等函数概念见课本P17）例2 .下列函数是复合函数吗？（1） （2） 答：1不是，2是复合函数。例3.求函数的连续区间。解：，函数在内除点x=2,x=-3外是连续的，所以函数f（x）的连续区间为。例4.设y=f(x),求的定义域.（函数连续性要熟练掌握）解析：对应应该有即所以的定义域是例5.设，求k使f(x)连续。解析：由于f(x)在和内均由初等函数表示，而且在这两个区间内均有定义，所以在这两个区间内是连续的，故函数f(x)是否连续取决于x=0处是否连续，要让f(x)在x=0处连续，必须有：由于又于是l 反函数的求解方法要熟练掌握。2、求极限l 掌握函数极限与数列极限，极限性质（比如有界性等），极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则）并会用两个重要极限求极限（课本P49），洛必达法则，掌握无穷小、无穷大等概念和无穷小的一些性质，极限的各种求法（比如：型，型，型等极限求法）。a.一些需要注意的概念：（和都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，且）（1） 等价无穷小：如果就说和是等价无穷小；注：等价无穷小的替换公式要熟练记忆使用，比如，。（2） 同阶无穷小：如果就说和是同阶无穷小；（3） 低阶无穷小：如果就说是比低阶的无穷小；（4） 高阶无穷小：如果就说是比高阶的无穷小。b.两个重要极限:,求极限时学会变换成两个重要极限的形式来求极限。例6.当时，与等价的无穷小量是（）A. B.C.D.解析：由于 选D例7. 求极限解析：第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出，再凑，最后凑指数部分。（要熟练掌握）例8.求极限解析：型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。注：型等也要熟练掌握！例9.观察一般项如下的数列的变化趋势，写出它们的极限。解：当n趋于无穷大时，第2章 导数与微分掌握导数的定义，基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导，可导和连续的关系，n阶导数求导法（比如2阶导数求法，隐函数求n阶导数）。掌握微分的概念和求法，可微和可导的关系等。1、 导数的定义，几何意义及导数应用和求解（比如分段函数求导是怎样的等） 可导必连续！（注意应用） 熟练掌握复合函数的求导方法！A. 导数定义表达式：学会利用表达式求导数！B.f(x)在处可导的充分必要条件是：左导数和右导数存在且相等例10.求在（0,2）处的切线方程。解析：导数的几何意义就是在该点的斜率，先求曲线在点（0,2）处切线的斜率k，所以切线方程是，故y=2。（思路拓展：如果此题给的函数是隐函数，那么求斜率时要运用隐函数的求导法则。）例11.求分段函数中a和b的值，已知f(x)在内连续且可导。解析：在定义域可导且在分界点处连续，若存在极限，则x=0处导数为a。利用连续函数性质：当时，左极限和右极限相等，得a=0;利用连续可导性得：=0，则b=0；例12.求方程所确定的隐函数的二阶导数解析：应用隐函数求导法：于是：上式两边对x求导：2、 掌握微分的概念，可导和可微之间的关系及一介微分形式不变性，求函数的微分例13.已知，则dy=解析：先将方程变成常见的形式，再求微分。 由得，对y=lnx进行微分，得第3章 微分中值定理与导数的应用1、掌握洛必达法则例14求极限 .解：2.掌握罗尔定理和介值定理（第一章知识点），以及掌握使用以上定理解证明题罗尔定理：如果函数f(x)满足以下条件：（1）在闭区间a,b上连续，（2）在(a,b)内可导，（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个(a,b)，使得f()=0。介值定理见课本。例 例15.3、 掌握曲线的凹凸性及拐点的定义和计算例16.（1）求的凹凸区间。第4章 不定积分1、掌握不定积分的概念和基本性质，原函数和不定积分的关系，要会求不定积分例1.求不定积分解析：因为所以2、掌握不定积分的基本积分公式牢记并会熟练运用课本所列的基本积分公式.3、掌握分部积分法与换元积分法（通过练习相关习题）例1. 求解析：例2.求不定积分解析： 令，则，所以 为将变量t还原回原来的积分变量x，由作直角三角形，可知，代入上式，得axt注：对本题，若令，同样可计算。4、 掌握有理函数的积分（不定积分部分要通过练习会求不定积分）第5章 定积分及其应用1、理解定积分的概念，不定积分与定积分的联系，会计算定积分（换元积分法、分部积分法、牛顿莱布尼兹公式）例1.计算解析：=2、 理解定积分的一些性质和技巧 比如：若被积函数f(x)是偶函数，则 对于带绝对值的被积函数，学会