（系统理论专业论文）几类非线性发展方程的显式解.pdf

聊城大学硕士学位论文 摘要 本文运用函数变换法及李群方法 研究了几类具有重要物理背景的非线性发展方程 在已有基础上得到了方程新的显式解 包括非行波解 孤立波解和相似解等 并讨论了部 分方程的群分类和守恒律问题 在第一章中 主要研究了长水波近似方程组和协变b o u s s i n e s q 方程组 利用扩展 推 广 的齐次平衡法 得到两类方程组的自b a c k l u n d 变换 非行波解和n 一共振平面孤立波解 这些结果是全新的 与齐次平衡法不同的是 在扩展的齐次平衡法中引入了方程的己知 解 这极大丰富了齐次平衡法的应用 可寻求方程的自b a c k l u n d 变换 获得方程丰富的 显式解 在第二章中 通过选取适当的函数变换 在系数满足一定约束条件时 将变系数 s c h r o d i n g e r 方程约化为常微分方程 通过求解常微分方程较系统地得到变系数 s c h r o d i n g e r 方程的亮孤子解 暗孤子解和椭圆周期解 由本章结果可以看出方程孤子解 的位相 速度和宽度随时间变化而变化 在第三章中 讨论了描述等离子体中的弱非线性离子声波现象的 2 1 维z a k h a r o v k u z n e t s o v 型方程 首先应用直接对称方法求得一类广义z a k h a r o v k u z n e t s o v 方程的 两种对称 进而得到方程的约化和显式解 推广了已有文献中的结论 其次提出一种寻 找对称的新方法一相容性方法 利用相容性方法得到变系数z a k h a r o v k u z n e t s o v 方程 的四类对称和相应不变变换群 对称群 并得到方程的约化和新相似解 这些解由a i r y 函 数及其导数构成 与非经典李群方法相比较 相容性方法最大的优点是直接简便 省去 大量繁杂的计算 应用相容性方法可求解其它非线性发展方程 在第四章中 运用经典李群方法和相容性方法分别讨论了变系数b u r g e r s 方程的群 分类和 3 1 一维j i m b o m i w a 方程的守恒律问题 根据变系数b u r g e r s 方程中色散项系 数口 f 和非线性项系数6 f 的各种不同情况 得到了方程的群分类 同时求得方程的一 些约化和相似解 应用相容性方法得到j i m b o m i w a 方程的两类对称及生成元 一v 6 对 应的方程不变变换群 同时求得扩张对称u 相应的守恒律和j i m b o m i w a 方程的九类对 聊城大学硕士学位论文 称约化 这里给出的结果是全新的 关键词 非线性发展方程 显式解 对称 李群方法 孤立波解 聊城大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r b yu s i n gf u n c t i o nm a p p i n ga n dl i eg r o u pm e t h o d w eo b t a i nn e w e x p l i c i ts o l u t i o n so fs o m ei m p o r t a n tn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n si np h y s i c s t h e e x p l i c i ts o l u t i o n si n c l u d en o b t r a v e l i n gw a v e s o l i t a r yw a v e s i m i l a r i t ys o l u t i o n sa n ds oo n w ea l s od i s c u s st h eg r o u pc l a s s i f i c a t i o na n dc o n s e r v a t i o n l a w s o fs o m en o n l i n e a r e v o l u t i o ne q u a t i o n s i nc h a p t e ro n e t h ea p p r o x i m a t ee q u a t i o n sf o rt h el o n gw a v ea n dt h ev a r i a n t b o u ss i ne s qe q u a t i o n sa r ec o n s i d e r e d b ya p p l y i n gt h ee x t e n d e dh o m o g e n e o u sb a l a n c e m e t h o d w eo b t a i nt h ea u t o b a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n n o n t r a v e l i n gw a v e a n dn r e s o n a n c ep l a n es o l i t a r yw a v es o l u t i o n so ft h et w on o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s t h e r e s u l t sa r en e w t h eg i v e ns o l u t i o n so ft h ec o n s i d e r e de q u a t i o na r ei n t r o d u c e di n t ot h e e x t e n d e dh o m o g e n o u sb a l a n c em e t h o d w h i c hi sd i f f e r e n tf r o mt h eh o m o g e n e o u sb a l a n c e m e t h o d t h u so n e c a nd e r i v et h ea u t o b a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o na n da b u n d a n te x p l i c i t s o l u t i o n so ft h eg i v e ne q u a t i o nu s i n gt h ee x t e n d e dh o m o g e n o u sb a l a n c em e t h o d i nc h a p t e rt w o b ys e l e c t i n ga p p r o p r i a t et r a n s f o r m a t i o n s t h ev a r i a b l ec o e f f i c i e n t s c h r o d i n g e re q u a t i o ni s r e d u c e dt oa no r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o nu n d e rs o m e c o n s t r a i nc o n d i t i o n s b a s e do nt h es o l u t i o n so ft h eo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n w e d e r i v eb r i n gs o l i t o n s d a r ks o l i t o n sa n dp e r i o d i cs o l u t i o n se x p r e s s e db ye l l i p t i cf u n c t i o n s o ft h es c h r o d i n g e re q u a t i o n f r o mt h er e s u l t sw ec a ns e et h a tt h ep h a s e s p e e da n d w i d t ho ft h es o l i t o n sc h a n g ea l o n gw i t ht h et i m e i nc h a p t e rt h r e e w ed i s c u s st h e 2 1 d i m e n s i o n a lz a k h a r o v k u z n e t s o vt y p e e q u a t i o n t w ot y p e so fs y m m e t r yo f ag e n e r a l i z e dz a k h a r o v k u z n e t s o v e q u a t i o na r e o b t a i n e dv i aad i r e c ts y m m e t r ym e t h o d b ys e l e c t i n gs u i t a b l ep a r a m e t e r so c c u r r i n gi n t h es y m m e t r i e s w ea l s of i n ds y m m e t r yr e d u c t i o n sa n dn e we x p l i c i ts o l u t i o n so ft h e g e n e r a l i z e dz a k h a r o v k u z n e t s o ve q u a t i o n t h e nw ep r o p o s eac o m p a t i b i l i t ym e t h o do f f i n d i n gs y m m e t r ya n ds i m i l a r i t yr e d u c t i o no fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a sas i m p l e e x a m p l e t h e 2 1 一d i m e n s i o n a lv a r i a b l ec o e f f i c i e n t sz a k h a r o v k u z n e t s o ve q u a t i o ni s 3 聊城大学硕士学位论文 c o n s i d e r e d w ed e r i v ef o u rc l a s s e so fs y m m e t r ya n dt h ec o r r e s p o n d i n gl i es y m m e t r y g r o u p so ft h ez a k h a r o v k u z n e t s o ve q u a t i o n a tt h es a m et i m es o m en e ws i m i l a r i t y s o l u t i o n sa r ef o u n d w h i c ha r ec o m p o s e db ya i r yf u n c t i o n sa n di t sd e r i v a t i v e s o n eo ft h e a d v a n t a g e so ft h ec o m p a t i b i l i t ym e t h o di st h a ti t i sc a p a b l eo fg r e a t l yr e d u c i n gt h e c o m p l e x i t yi nt h ec o m p u t a t i o n a lp r o c e s s i nc o m p a r i s o nw i t ht h ee x i s t i n gt e c h n i q u e ss u c h a st h en o n c l a s s i c a lm e t h o d t h em e t h o dc a na l s ob ea p p l i e dt oo t h e rn o n l i n e a re v o l u t i o n e q u a t i o n si nm a t h e m a t i c a lp h y s i c s i nc h a p t e rf o u r o u rm a i nr e s u l t sa r et h ef o l l o w i n g 1 a c c o r d i n gt ot h ed i f f e r e n t c a s e so fd i s p e r s i v et e r mc o e f f i c i e n t sa t a n dn o n l i n e a rt e r mc o e f f i c i e n t s 6 f w eo b t a i n g r o u pc l a s s i f i c a t i o na n ds o m en e ws i m i l a r i t ys o l u t i o n so ft h ev a r i a b l ec o e f f i c i e n t s b u r g e r se q u a t i o nb yt h ec l a s s i c a ll i eg r o u pm e t h o d 2 a p p l y i n gt h ec o m p a t i b i l i t y m e t h o d w eg i v et w ot y p e so fs y m m e t r ya n dt h el i eg r o u p sc o r r e s p o n d i n gt ot h ev e c t o r f i e l d s v 0 一v 6 w ea l s oo b t a i nt h ec o n s e r v a t i o nl a w so fd i l a t i o ns y m m e t r yv 3 a n ds o m e s y m m e t r yr e d u c t i o n so ft h e 3 1 d i m e n s i o n a lj i m b o m i w ae q u a t i o n k e yw o r d s n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n e x p l i c i ts o l u t i o n s y m m e t r y l i e g r o u pm e t h o d s o l i t a r yw a v es o l u t i o n 4 t 聊城大学硕士学位论文 前言 1 非线性发展方程显式解的研究背景 在非线性科学的研究中 经常会遇到大量能反映各种因子或各种物理量之间相互制 约和相互依存关系的非线性方程 一般可称之为非线性发展方程或非线性演化方程 包 括方程组 参见 卜2 这类方程的各种性质 如显式解 对称 守恒律等在解释各种物 理现象时起着十分重要的作用 其中显式解是最基本的问题 非线性发展方程的求解是 广大科学工作者研究非线性问题必须面临的课题 它的研究可应用于物理学 力学 地 球科学 应用数学和工程技术等众多领域 因而有着十分重要的意义 对非线性发展方程 解的研究主要有三个方面 1 解的数学理论研究 对于一些难以求出显式解的方程 借助 基础数学知识证明其解的适定性 属于基础数学研究的内容 2 解的数值模拟和分析 借 助计算机和计算数学的理论 对方程解的变化态势进行分析和模拟 属于计算数学的内 容 3 求方程的显式解 应用某些数学技巧或假设 构造适当的变换使方程简化并得到其 显式解 本文将侧重于第三个方面的研究 即重点寻求非线性发展方程的显式解 由于 非线性发展方程的复杂性 仍有大量具有实用价值的重要方程无法求出精确解 即使可 以得到非线性发展方程的某些精确解 给出其通解也是不可能的 因而人们关心的是方 程某种形式的特解 如行波解 孤立波解 孤立子解 相似解等 这些解可以很好的描述 各种物理现象 像振动 传播波等 求解微分方程是古老而在理论和实际上又很重要的研究课题 几十年之前 对非线 性发展方程的求解 被人们认为是个性极强 难以解决的问题 直到1 9 6 7 年 美国的四 位学者g a r d n e r g r e e n e k r u s k a l 和m i u r a 创立了反散射方法 3 也称非线性f o u r i e r 变 换法 并成功求解了k d v 方程初值问题 从而寻求非线性发展方程的显式解成为人们再 次关注的焦点 各种求解方法应运而生 包括d a r b o u x 变换法 4 b a c k l u n d 变换法 5 齐次平衡法 6 1 0 及李群方法 1 1 1 2 等 随着各种求解方法的不断出现 不但一些难以 求解的方程得到解决 而且不断发现了许多非线性发展方程有重要意义的新解 近年来 随着计算机的发展和符号运算如m a p l e 或m a t h e m a t i c a 的出现 也为求解方程提供了极 大的帮助 早期 由于认识和方法的局限性 人们主要研究了低维常系数非线性发展方程 并 聊城大学硕士学位论文 取得了丰富的成果 但低维常系数方程并不能很好地描述我们所认识的现实世界或各种 客观现象 随着科学技术的进步和研究方法 研究工具的发展 近几年国内外许多学者开 始重点考虑高维或变系数非线性发展方程 非线性差分方程和函数方程也备受到关注 我们重点考虑的就是高维或变系数非线性发展方程 例如 2 1 维z a k h a r o v k u z n e 捃o v 方程 3 1 维j i m b o m i w a 方程等 参见 1 3 1 4 2 主要研究方法和研究结果 运用函数变换法和李群方法 本文得到了几类非线性发展方程的精确解 函数变换 法 顾名思义 直接构造函数变换 将其代入原方程进行约化求解 本文用到的函数变换 方法主要是扩展的齐次平衡法 李群方法的基本思想是 在连续变换群下给定的非线性 发展方程保持不变性质 根据这种不变性构造群不变量作为函数变换的基础 使方程 减 少一个自变量 得到化简或求解 李群方法主要包括经典李群方法 1 1 和非经典李群方法 1 2 1 9 世纪后期 s l i e 引 进了连续群的概念 即今李群 也称为不变群或对称群 l i e 证明了 一个微分方程如果 在单参数李群作用下不变 则其维数可减少一次 之后 l i e 又考察了偏分方程情形 建 立了热方程的局部变换群 开创了李群在微分方程中的应用 经典李群是求解微分方程 相似解系统而标准的方法 然而这种方法比较抽象且大量复杂的运算 人们感觉它是一 门难以掌握和应用的理论 直到1 9 6 9 年 b l u m a n 和c o l e 推广了李群方法 提出了非经 典李群方法 非经典李群方法是经典李群方法结合不变曲面条件对方程约化的一种方法 这才使得李群方法及理论被更多的人用于偏微分方程的研究 应用此方法可得到方程的 不变解或化简方程 且为函数变换法提供理论和技术支持 经典的李群方法 非经典的 李群方法 c k 直接约化方法 1 5 是求非线性发展方程的相似解的三个最有力的工具 也 是目前国内外方程显式解研究中正在探讨的前言课题 对称是李群理论中的一个基本概念 但应用直接对称 1 6 1 7 求解非线性发展方程仍 有大量问题有待解决 应用直接对称方法求解微分方程的主要思想 通过对称构造一个 辅助方程和原方程组成方程组 求解方程组得到原方程的约化和显式解 构造辅助方程 的原则是新方程与原方程具有相容性 本文对应用直接对称方法进行了有益的探讨 本文的研究结果主要有三个方面 一 利用扩展的齐次平衡法和直接构造函数变换法求解非线性发展方程 组 聊城大学硕士学位论文 1 应用扩展的齐次平衡法 考虑了长水波近似方程组和协变b o u s s i ne s q 方程组 得到两个方程组新的显式解 包括非行波解和n 共振平面孤立波解 2 通过选取适当的函数变换 得到变系数薛定谔方程丰富的显式解 二 利用李群方法求解高维或变系数非线性发展方程 1 应用直接对称方法求解 2 1 一维广义z a k h a r o v k u z n e t s o v 方程 得到了该方程 的约化和新显式解 推广已有文献中的结论 2 提出并应用相容性方法求解变系数广义z a k h a r o v k u z n e t s o v 方程 得到该方程 的四类对称 相应的不变变换群及新相似解 三 李群方法的应用 1 应用经典李群方法讨论变系数b u r g e r s 方程的分类问题 2 应用相容性方法研究 3 1 维j i m b o m i w a 方程的守恒律和 本文得到几类非线性发展方程丰富的精确解 为人们认识各种各样的物理现象提供 了基础 但非线性发展方程的求解问题 技巧性极强 难度很大 即使同一个方程 应用 不同的方法可能会得到不同的显式解 因此寻求非线性发展方程显式解的方向仍有大量 问题需要解决 其中包括提出更加完善的求解方法 得到更多方程的显式解 当然在新 的求解方法提出过程中 也需要相应的数学理论支持 这必然推动数学领域中许多学科 的发展 3 聊城大学硕士学位论文 第1 章两类非线性发展方程组的孤立波解和非行波解 齐次平衡法是王明亮教授在1 9 9 5 年提出的一种构造变换求解方法 利用该方法得到 大量非线性发展方程的显式解 但通常是行波解 应用扩展的齐次平衡法 我们得到长 水波近似方程组和协变b o u ss i ne s q 方程组的自b a c k l u n d 变换 非行波解和n 共振平面孤 立波解 1 1 引言 非线性发展方程可以描述物理 化学 生物等众多科学领域中的复杂现象 因而求 解非线性发展方程一直受到物理学家和数学家的关注 近年来也发展了一些行之有效的 求解方法 例如反散射方法 齐次平衡法等 尤其在引入扩展的齐次平衡法 1 8 1 9 后 求得许多非线性发展方程的显式解 应用扩展的齐次平衡法不仅能求解方程 进而可以 寻找方程的自b a c k l u n d 变换 对于给定的非线性发展方程 p u u u u x x 0 1 1 其中u u x f u o u l a x 扩展的齐次平衡法的关键思想是寻求方程 1 1 如下形式的解 u a m n w 1 2 其中厂 厂 w 和w w x t 为待定函数 u 为方程 1 1 的已知解 m n 可通过平衡u 的最 高阶导数项和最高阶非线性项得到 将 1 2 式代入方程 1 1 并将有关心的最高阶项放在 一起 令其系数为零可得厂 w 的一个常微分方程 由此得到厂 w 再将厂 w 的各类非 线性项换成厂 w 高阶导数线性项 令厂 厂 的系数为零 则可得到w x t 的超定方程 组 进而可求出方程 1 1 的显式解和自b a c k l u n d 变换 本节利用扩展的齐次平衡法考虑 了如下长水波近似方程组和协变b o u ss i ne s q 方程组 一 一v i 1 o y 呻v 一吉y o 1 3 4 聊城大学硕士学位论文 u f i 1 v x x x 0 v4 u 4 嵋 0 1 4 文献 6 给出了方程组 1 3 的一些孤立波解 而文献 2 0 给出了方程组 1 4 的某些显式解 因扩展的齐次平衡法中引入了方程的己知解 应用扩展的齐次平衡法我们得到两个非线 性发展方程组的自b a c k l u n d 变换及新显式解 其中包括咒共振平面孤立波解和非行波解 推广了已有文献中的结果 1 2 长水波近似方程组的显式解 依据扩展齐次平衡法的思想 首先要平衡方程组 1 3 中的最高阶导数项 或k 和最高阶非线性项 或 v 因而选择变换 u x t 厂7 w 嵋 f 1 5 v x f g w w 2 g w a t 1 j o x f 1 6 其中厂 w g w 及w x f 为待定函数 u o x t 和v o x f 是方程组 1 3 的己知解 将 1 5 和 1 6 代入长水波近似方程组 1 3 e e 司得 甜 飞i1 一 一 一一i1 uux 4 g厂一 以 k 甜r一匕 i n2 一 了 一i 嵋 k i u 一 一i 1k 一 厂鲁一 厂警一 丢g 以 k 其中墨和 表示w x f 关于x 和t 的低阶导数项 分别令记和以的系数为零可知f g 有解厂 w g w l n w 应用关系式厂吨 t w2 f y 一f 及方程组 1 3 的解 v 0 有 一 一匕 三 k 一i 1 一 心 厂 w w f 一三 一 u 厂 叻 u 一 甜 一五1k 嵋 w f j 1 一 u g w 2 w x w x t 一虿1 三 k 一 一三1 w x x w 一五1 一 u g w 比 一v o w x 一 1w g w 令f w f 7 g w 及g7 w 的系数为零得到关于函数w u o 和v o 的约束方程组 w f 一要 u o w x o w f i 2 o 5 1 7 聊城大学硕士学位论文 一u o 20 1 8 一 一丢 o 1 9 因而 1 5 式和 1 6 式可写为 u x f 笠 x f v x f 甜 1 1 0 w 显然 1 1 0 式是长水波近似方程组的自b a c k l u n d 变换 其中w 满足方程 1 7 应用方程组 1 7 一 1 9 p j 求得长水波近似方程组 1 3 的显式解 2 1 行波解 寻找方程组 1 3 的行波解 首先要做行波变换 x f 孝 甜 o 幻 及 w x t w 孝 w x 幻 其中k 是波速 则方程组 1 7 一 1 9 可约化为 k u o w 一丢矿 o 1 1 1 一2 k u o d 0 1 1 2 其中w w 善 呓 u o o d 是积分常数 求解方程 1 1 2 可得 u o 孝 尼 k d k 2 i 吃告 篓尘小以 i p 2 2 一 眨 尘咝磐丝丛垒型丝丝堡d 七z r tc o s 4 d k 2 孝 r zs i n 4 d 一尼2 孝 其中五和吃是任意非零常数 ra 尼 圻f 历 吃 尼一 两 拓 吃也i 万 红一 也页万 求解方程 1 1 1 n 得 w 告 e 2 肛峋 胱 1 1 3 方程 1 1 2 中选择不同的解函数 可根据方程 1 1 3 得到不同的w 孝 分下面几种情况 1 取 孝 k 由方程 1 1 3 可得 一c w 孝 2 南 w 孝 二 生 群 6 聊城大学硕士学位论文 则力程驵l 1 j j 共伺伺埋凶裂胖 比力2 乏瓦暴磊i 万 志 v 彬 训 1 m 其中a 是积分常数 2 取 孝 锩坝 由方程 1 可得 w 孝 2 蔫 w 孝 一丽a i r 2 三i 鬲1 口z 5 其中 i r z a 和a 是任意非零常数 因而可得到长水波近似方程组如下形式的解 础力 等 鬻 刈一 1 1 6 其中 尼 撕历 吃 七一撕历 w 善 和以孝 由方程 1 1 5 r 确定 若 取a 一0 i r 2 则解 1 1 6 可约化为 u x f 七 知t 州厕 v x f 七z d s e c h z 厕 1 1 7 取d o 尼 了a 即为文献 6 中的结果 3 取甜 孝 a 3 e o s 1 4 d k 1 2 4 6 s i n 下4 d k i 2 一4 由方程 1 1 3 可求得 e o s 4 d k 2 孝 r es i n 4 d k 2 孝 w 7 孝 2 雨 百 a i l c o s q d ks i n 4 d 磊丽 1m 吒2 孝 吃一七2 孝 2 砌刚巫里 w 孝 了 亍 f 一 口2 1 1 9 1t a n 半 2 一 一2 吃t a n 二毕 l 再 其中 i a 和a 是任意非零常数 因而我们得到了方程组 1 3 相应的三角函数解 出力 尝 坐型竺塑坐韭些川圳砘 1 2 0 7 w 孝 c o s x d k 2 孝 s i n d k 2 孝7 7 其中w 和w 分别由 1 1 8 和 1 1 9 r 确定 a 缸 撕i 万 a 虹一 面 7 聊城大学硕士学位论文 取口2j 0 吒 r 2 则解 1 2 0 窒4 3 化为 吣力 1 孚4 d k 2t a n 巨2 马 巫2c o t 巫2 归 1 2 1 取 彳 任意常数 w 五f l 喜聊te x p 吼x 三口 t a a k t 钆 容易验证w 是方程 m t qe x p a t x i 1 2 h a a k f 钆 u x f 曼l i 专 一 么 v x f 1 2 2 1 m e x p a k x i 1 2 f a a k t 仇 k l 厶 p x 口le o s x g 瓦x a 2s i n x 芴x 兄 o d 2 2 2 o d 2 2 旯 o d e 2 c 1 尘篆c o 咝s q 蒜型d 4sin等 q c o p x s e c h x d 1c o s h f f 2 2 l x d 2s i i l h 历x 2 2 1 o 因而方程组 1 3 有解 1 3 3 1 3 4 五f 而c e x t p x t a n h x v x f 蚝 1 3 5 其中pf l 了 1 3 3 式或 1 3 4 式确定 1 3 协变b o u ss i n e s q 方程组的显式解 应用扩展的齐次平衡法 选择变换u 厂键 厂吆 g 也 v o 其中厂 g w 和w x f 为待定函数 x t 和v x t 是方程组 1 2 的已知解 将变换代入方程组 1 4 可求得f g 2 1 nw 且有 w x x w r o w x 0 o2 x u o j v o f v o v o j 0 因而方程组 1 4 的解满足关系式v 2 兰 y v w 1 取v o a 常数 则可得到方程组 1 4 的n 共振平面孤立波解 1 3 6 1 3 7 1 3 8 聊城大学硕士学位论文 厶e x p 1 k x 1 k l ta l k t m t 2 生量 一 1 吼e x p 1 k x i k l ta l k t m t a u u 1 3 9 其中嘶 o 厶 o 和m k 是常数 若m 0 解 1 3 9 即是文献 2 0 中的结果 2 取v o 彳 x w x t w o p x q t 其中w o 是任意常数 p x 和g f 为待定函数 因而 有 p v o p 一2 助 0 若 要 一7 2 由方程 1 4 0 n j 徒j t p x 口 土c o s h 瓜一口2 a o 因而协变b o u ss i ne s q 方程组有解 v 鱼 三 1 w o 上p c e 刀x 1 1 4 0 1 4 1 1 4 2 1 4 3 其中p 由 1 4 1 式或 1 4 2 式确定 本节应用扩展的齐次平衡法分别得到长水波近似方程组和协变b o u ss i n e s q 方程组的 n 共振平面孤立波解 1 2 2 和 1 3 9 和一些行波解 包括三角函数解和双曲函数解等 将 齐次平衡法和变量分离法相结合 得到了长水波方程组的非行波解 1 2 8 1 3 0 1 3 2 1 3 5 f l t 协变b o u s s i n e s q 方程组的非行波解 1 4 3 这些解是全新的 推广了文献 6 和 2 0 中的结果 聊城大学硕士学位论文 第2 章变系数s c h r o d i n g e r 方程的显式精确解 2 1 变系数s c h r o d i n g e r 方程的约化 非线性s c h r o d i n g e r 方程在非线性光学 b o s e e i n s t e i n 凝聚等众多物理问题中有广泛 的应用 本节考虑了如下变系数s c h r o d i n g e r 方程 i u c f b t l u l 2 口 z t u 2 1 其中a x t 墨 x f 如 f 6 f c f 向 x t 和k 2 t 为光滑函数 方程 2 1 在c t 1 6 f 2 k 2 t o 霸 x f 2 a o x 时可描述非均匀色散介质中非线性传播波问题 文献 2 2 给出此时方程 2 1 的s e c h 型解 文献 2 3 考虑t t y 程 2 1 i e a x f 白 f 时的孤立波 解 当c t 1 b t 一2 时 方程 2 1 j l 臣过p a i n l e v e 检验并且完全可积 2 4 当a x t x b o 2 j ls i n o g t b t 和c f 为常数时 应用反散射方法文献 2 5 得到了方程 2 1 的亮孤 子解和暗孤子解 由于变系数s c h r o d i n g e r 方程可以描述非均匀介质问题 因此讨论变系 数方程求解有较大的应用价值 在应用反散射方法讨论较一般的变系数方程时遇到变谱 的困难问题 因此本节将选取直接函数变换法约化变系数s c h r o d i n g e r 方程 进而得到了 该方程丰富的精确解 包括三角函数解 椭圆函数解等 推广已有文献 2 2 2 5 中的结果 首先选取函数变换 u x f p x t e 坷 川 2 2 其中p x t 和q x t 是待定函数 将 2 2 式代入方程 2 1 中有 p 一c p q 一2 c q p k 2 p 2 3 p q 印 一印蠢 印3 一毛p 2 4 简单起见取q x f q 2 f x 2 吼 f p g f 其中q l f q f 和q 3 t 为t 的待定函数 则由 2 3 可得 p 2 c 2 q 2 x q 1 p k 2 2 c q 2 p 2 5 聊城大学硕士学位论文 不难看出方程 2 5 存在解 p x f w o e 似 也 蝴 d f 2 6 其中目 e 4 c t q h t d t x 2f c f g f p 4 c f 9 2 f 出 以 以p 为任意函数 将 2 6 式代入方程 2 4 式中可得 c f p 帕湖c f 舭 出 b t p 3 k 2 t 6 c t q 2 t d t w 3 a t 吼 毛 p 脚h 哪地 f 坤w 2 7 其中w d 2 w d 0 2 为了把方程 2 7 化为常微分方程 可选取如下的约束条件 愀 z f d f 一 p 3 k 2 t 6 q 2 t 坤 2 8 肛 哪 z f 坤 g g 2 七 8 蛳惝z 2 9 其中口和 是任意常数 由约束条件 2 8 和 2 9 方程 2 7 可化为 w a 2 w 4 肚2 h 2 1 0 其中h 为积分常数 因而通过求解约束条件 2 8 和 2 9 t 的方程 2 1 0 n i 得到变系数 s c h r o d i n g e r 方程 2 1 的显式解 由方程 2 8 易得 b t a t t e x p 一2i 也o 2 c f 9 2 f 以 2 11 分析方程 2 9 j t i 玟毛 戈 t m t x 2 l f x d f 我们有 g o 4 c o g o 聊o o g o 4 c o g o 吼o 玎o 0 毹 f g 沁 d f p c f e 8 j c 啦 岫 2 1 2 其中m f 刀 f 和d f 是关于f 的光滑函数 方程组 2 1 2 是关于q l f g f 和g f 的约束 方程 综上所述 我们有以下的结论 定理1 若方程 2 2 中的函数q x f q 2 f z 2 g f x g f 满足约束条件 2 1 1 署 1 2 1 2 则方程 2 1 可约化为常微分方程 2 1 0 且具有 2 6 形式的显式解 其中a x f 墨 x f i 屯o 墨 x f m t x 2 z o x d o 推论对于取c t 1 b t 一2 的特殊情况 方程 2 1 有如下形式的解 1 3 聊城大学硕士学位论文 川 w e 2 j k 2 t d t x 一2k o p 2 灿 出以 p 2 岍拶1 州啦删 2 13 其中w 由 2 1 0 确定且 口 2 yy o 棚o 墨姿尘一碍o 刀o 一g o 2 9 o 包o d f f l c t e 4 灿渺一啪 一q 2 t 2 1 4 应用定理1 及方程组 2 2 y t l l 2 6 通过方程 2 1 0 的解我们可得到变系数 s c h r o d i n g e r 方程的显式精确解 2 2 变系数s c h r o d i n g e r 方程的显式精确解 本节给出了方程 2 1 在方程 2 1 0 选取不同参数口 和五时的各类解 见文献 2 6 1 1 a 2 h 0 方程组 2 1 0 和 2 1 相应的解分别为 w s e c h o u x t s e c h o e i t 一2 9 2 4 q j 其中臼和q x t 分别由方程 2 6 和定理1 确定 取6 2 c 1 a n t 2 a o x 时 方程 2 1 有解 毗f 叩s e c 五 7 7 x 2 r l a o t 2 p o f p i 2 a o t f l o x q 2 t i 2 吖 聃削 其中a o 8 0 7 0 和x o 为积分常数 这就是文献 2 2 中的结果 同时若适当选择解中其他参 数 我们也可以得到文献 2 3 2 5 中的相应结果 因此我们推广了 2 2 2 5 中的结论 2 2 口 2 h 1 此时方程 2 1 存在着所谓的暗孤子解 w t a n h o u x t t a i l l l 臼 七2 7 一2 g z 坤 由 由方程 2 1 0 的解w 可得到方程 2 1 如下的三角函数解 3 2 口 2 h 1 w t a n o u x t t a no e i k 2 t 2 c t 9 2 出 由 列 4 一1 口 2 h 0 聊城大学硕士学位论文 w s e c 0 u x t s e c o e f t k t 2 c t q 2 t d t 由 应用同样的方法可得到方程组 2 1 0 和 2 1 椭圆函数解 5 一 1 k 2 口 2 k 2 h 1 w s n o u x t s n o e i t k 2 t 2 c t q 2 t d t 幻 盯 当k 寸1 该解可退化为3 2 情况下的解 6p 2 k 2 1 晓 一2 k z h 1 一k 2 w c n o u x t c n o e l t k 2 t 2 c t q 2 t 西 讹n 7p 2 一k 2 口 一2 h k 2 1 w d n o u x t d n o e l t k 2 一2 啦 明出 讹 其中s n o c n o d n o 为模为k 的椭圆函数 8 2 一k 2 口 2 1 一k 2 h 1 此时方程 2 1 0 的解为w s n o c n o 因而方程 2 1 有解 u x t s h o e k 2 t 2 c t q 2 t d t 讹n c n o 基于文献 2 6 1 q b 方程 2 1 0 的解 人们可得到方程 2 1 椭圆函数的有理形式解 9 0 1 k 2 2 口 一 1 一k 2 2 h 1 k 2 4 u x t d n o 1 k s n o e i k 2 一2 q 2 4 由 1 0 8 1 6 k k 2 4 口 2 k h 一 1 一k 2 4 1 1 1 6 k k t 2 口 2 1 t k 2 h k u x f 2 夏0 n o c n o c n 2 p k ts r l 2 目 e l t k z 姚 蝴f 肌撕 1 2 f l 一2 1 k 2 口 2 1 一k 2 h 1 k 2 u x t c n 2 0 一k s n 2 0 c n 2 0 k s n 2 臼 e i b 一2 9 2 1 出 由 1 5 聊城大学硕士学位论文 1 3 2 1 k 2 口 2 1 k 2 h 1 一k7 2 u x f k 一d n 2 0 k 加2 p e i 如 一2 9 z 1 出 蛔 通过选择适当的函数变换 一类变系数s c h r o d i n g e r 方程被转化为常微分方程 基于 常微分方程的解得nt 变系数s c h r o d i n g e r 方程新的显式解 包括孤子解 三角函数解 椭圆函数解等 推广了文献 2 2 2 5 1 1 拘结果 通过本章的讨论 可知卜1 3 中孤子解的位相 速度和宽度是随时间而变化 且9 1 3 情况下的解在已有的文献中从未报道过 在求解方 程组 2 3 f f i l 2 4 时 选取g x f q 2 f x 2 g f x 吼 f 若q x f 选择其它的形式则能得 到变系数s c h r o d i n g e r 方程另类新解 这是进一步要讨论的工作 1 6 聊城大学硕士学位论文 第3 章劢砌啪v 一舭 z p 鼢d v 型方程的显式解 z a k h a r o v k u z n e t s o v 方程作为非线性发展方程的典型代表之一 在应用和理论研 究中占据着极其重要的地位 本章首先利用直接对称方法得到广义z a k h a r o v k u z n e t s o v 方程的两类对称和丰富的显式解 然后提出一种新的求解对称方法一相容性方法 并应用 于变系数z a k h a r o v k u z n e t s o v 方程 得到方程的四类对称和相应不变变换群 3 1 一类广义z a k h a r o v k u z n e t s o v 方程的对称约化和显式解 应用直接对称方法我们考虑了一类广义z a k h a r o v k u z n e t s o v z k 方程 2 7 f a u u j b u 2 j 洌m 如聊 0 3 1 式中a 9 b c 和d 是任意常数 方程 3 1 包含了大量有意义的方程 像k d v 方程 z 黝y 方 程 z k 方程和m z k 方程 它可以描述浅水波 固体中的热脉冲和等离子体中的弱非线 性离子声波等物理现象 对于方程 3 1 取a 9 b 0 和c 1 的特殊情况 m o u s s a 2 8 得到 了其对称约化和相似解 文献 2 9 中利用s 扬p 一 s 觑p 法则考虑了方程 3 1 b 0 时的孤子 解和周期解 本文的主要目的是得到广义z a k h a r o v k u z n e t s o v 方程更加广泛的显式解 以便于人们更好地认识该方程所描述的各种客观现象 首先对于给定的非线性发展方程 f x t u u u 0 3 2 给出对称的概念 定义称函数c r x t u u t u x 记为o u 或盯 为方程 3 1 的一个对称 如果 f 仃 0