（基础数学专业论文）dynkin型cluster倾斜代数及mcluster倾斜代数.pdf

y 1 删7 删9 删4 删3 删胛8 f 8 棚 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研 究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何 他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果对本论文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的 法律责任由本人承担 论文作者签名： 日朔 1 6 f 万 日期：三：! ：丝 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留 或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和 借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇编本学位 论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：期：坐厂乃 ， 目录 中文摘要i 英文摘要v 第一章引言及预备知识1 1 1 引言1 1 2 预备知识6 第二章d 。型c l u s t e r 倾斜代数9 2 1 预备知识9 2 2d n 型c l u s t e r 倾斜代数的箭图1 3 2 3d n 型c l u s t e r 倾斜代数的同构类2 0 第三章a n 型m - c l u s t e r 倾斜代数2 7 3 1 预备知识2 7 3 2a n 型m - c l u s t e r 范畴的倾斜图3 1 3 3 连通的a n 型m - c l u s t e r 倾斜代数的同构类3 5 参考文献4 1 读博期间完成的论文4 8 致谢4 9 c o n t e n t s c h i n e s ea b s t r a c t i e n g l i s ha b s t r a c t v c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o na n dp r e l i m i n a r i e s 1 1 1i n t r o d u c t i o n 1 1 2p r e l i m i n a r i e s 6 c h a p t e r2 c l u s t e r - t i l t e da l g e b r a so ft y p ed n 9 2 1p r e l i m i n a r i e s 9 2 2q u i v e r so fc l u s t e r - t i l t e da l g e b r a so ft y p ed n 1 3 2 3i s o m o r p h i s mc l a s s e so fc h s t e r - t i l t e da l g e b r a so ft y p e 队2 0 c h a p t e r3 m - c l u s t e r - t i l t e da l g e b r a so ft y p ea n 2 7 3 1p r e l i m i n a r i e s 2 7 3 2t i l t i n gg r a p ho fm - c l u s t e rc a t e g o r yo ft y p ea n 3 1 3 3i s o m o r p h i s mc l a s s e so fm - c l u s t e r - t i l t e da l g e b r a so ft y p ea n 3 5 b i b l i o g r a p h y 4 1 a c c e p t e da n dc o m p l e t e dp a p e r s 4 8 a c k n o w l e d g e m e n t s 4 9 d y n k i n 型c l u s t e r 倾斜代数及m - c l u s t e r 倾斜代数 戈文旭 ( 山东大学数学学院，山东，济南2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 2 0 0 2 年，f o m i n 和z e l e v i n s k y 在文【f z i ，f z 2 】中引入了c l u s t e r 代数的概念，用 来研究量子群的典范基和代数群的整体正性之间的联系这种理论很快就和数学中的 许多分支产生了密切的联系( 参见【f z 3 ) 特别是近几年，c l u s t e r 代数及其组合理论 给有限维代数表示理论带来了很大的影响文f b m r r t 引入了c l u s t e r 范畴和c l u s t e r 倾斜理论的概念，成为更好的理解f o m i n 和z e l e v i n s k y 的c l u s t e r 代数的一个范畴化 模型设是代数闭域上的有限维遗传代数，秒( ) 是日的有界导出范畴，c l u s t e r 范畴够( 日) 定义为轨道范畴砂( h ) r - 1 【1 】，其中1 - 是砂( 日) 中的a u s l a n d e r - r e i t e n 变 换，【1 】是砂( 日) 中的平移函子c l u s t e r 范畴够( ) 中的c l u s t e r 倾斜对象与c l u s t e r 代数的c l u s t e r 对应 c l u s t e r 范畴的c l u s t e r 倾斜理论完善了有限维代数表示理论中的经典倾斜理论， c l u s t e r 倾斜对象的自同态代数称为c l u s t e r 倾斜代数近年来，对这类代数的大量 研究表明，它们具有很多好的性质，例如这是一类非平凡的1 - g o r e u s t e i n 代数参见 文【b m r l ，b m r 2 ，a b s i ，k r i 在d y n k i n 型c l u s t e r 范畴和c l u s t e r 倾斜代数方面，p c a l d e r o ，f c h a p o t o n 和 r s c h i t t i e r 在文【c c s l 】中建立了a n 型c l u s t e r 范畴的几何模型，为我们研究c l u s t e r 范畴提供了个新的思路随后，r s c h i f f l e r 在文【s c h 】中构造了d n 型c l u s t e r 范畴 的几何模型 作为c l u s t e r 范畴的推广，h t h o m a s 在文【t h 】引入了m c l u s t e r 范畴的概念 m - c l u s t e r 范畴( 日) 定义为轨道范畴秒( h ) r _ 1 【仇】随后，m - c l u s t e r 倾斜对象和 m - c l u s t e r 倾斜代数也被引入若m - c l u s t e r 范畴，( 日) 上的一个对象丁满足以下条 件： h o m ( 日) ( zx 【l 】) = 0 ，1 i m ，当且仅当x a d d ( t ) ， 山东大学博士学位论文 h o m ( 日) ( x ，丁f i 】) = 0 ，1 i m ，当且仅当x a d d ( t ) ， 则称t 为m - c l u s t e r 倾斜对象m - c l u s t e r 倾斜代数e n d ( 日) ( t ) o p 为m - c l u s t e r 倾斜 对象丁的自同态代数在这方面的研究，参见文【b a m l ，b a m 2 ，h j l ，h j 2 ，k r l ，k r 2 ， ，p ，w r ，z h 3 ，z z 本文分两部分：第一部分，我们研究了d 。型c l u s t e r 倾斜代数，分类了所有的d n 型c l u s t e r 倾斜代数的箭图，并给出了两个d n 型c l u s t e r 倾斜代数同构的充要条件 第二部分，我们研究了a 。型m - c l u s t e r 倾斜代数，给出了a n 型m - c l u s t e r 倾斜代数 连通的充要条件，进步得到了两个连通的a n 型仇一c l u s t e r 倾斜代数同构的充要条 件 第一章给出引言和预备知识介绍了与本论文有关的基本概念和结果，并阐述了 论文的工作背景和思路 第二章利用r s c h i i f l e r 在文 s c h l 构造的几何模型进步对风型c l u s t e r 倾斜代 数进行研究首先，我们给出了穿刺多边形p 。中由标记弧构成的三角的等价分类 进步，我们得到了队型箭图的m u t a t i o n 等价类和所有的d n 型c l u s t e r 倾斜代数 的箭图，并且我们还给出了它们的关系理想最后我们给出了两个队型c l u s t e r 倾斜 代数同构的充要条件主要结果如下， 定理2 2 5 箭图q 是d 。型c l u s t e r 倾斜代数的箭图当且仅当箭图q 属于2 2 节描述的四种类型中的一种 定理2 3 1 设r 和r 是队( 佗5 ) 型c l u s t e r 范畴v ( h ) 中的两个c l u s t e r 倾斜对象， r = e n d v ( h ) ( t ) o p 与r ，= e n 曲( 胃) ( r ) o p 是相应的c l u s t e r 倾斜代数则 r 和r 7 同构的充要条件是存在整数i 和歹使得t = 7 - r 或t = 盯一r ，其中7 是 a u s l a n d e r - r e i t e n 变换，盯是y ( h ) 的个自同构函子( 仃的定义见2 3 节) 第三章，我们利用k b a u r 和r m a r s h 建立的a n 型m - c l u s t e r 范畴的几何模型 进步对月n 型m - c l u s t e r 倾斜代数进行研究我们讨论了由m - c l u s t e r 倾斜对象构成 的倾斜图的连通性，给出了a n 型m - c l u s t e r 倾斜代数连通的充要条件，并且还证明了 两个连通的a n 型m - c l u s t e r 倾斜代数同构的充要条件主要结果如下t 定理3 2 7 设n 是( n + 1 ) m + 2 多边形，m 是由n 中的胁对角线分割构 山东大学博士学位论文 成的m - m u t a t i o n 无向图则m 是连通的即。a 。型m - c l u s t e r 范畴的倾斜图是连 通的 定理3 2 9 设r 是月。型m - c l u s t e r 范畴中的一个c l u s t e r 倾斜对象，b= e n d ( 日) ( t ) o p 是相应m - c l u s t e r 倾斜代数则b 是连通的充要条件是对t 中任意一 个不可分解直和项m 都存在丁中的另个不可分解直和项使得肘和在同一 个r a y 或c o r a y 中 定理3 2 1 0 设乞是由a n 型m - c l u s t e r 范畴中连通的m - c l u s t e r 倾斜对象构 成的倾斜图，则幺是连通的 定理3 3 3 设t 和r 是a n 型m - c l u s t e r 范畴( 日) 中的两个连通的m - c l u s t e r 倾斜对象，b = e n d v m ( h ) ( t ) 。p 与b 7 = e n d ( 日) ( r ) 叩是相应的m - c l u s t e r 倾 斜代数则b 和b 7 同构的充要条件是存在整数i 使得t = r h 其中【i 】是平移函子 【1 】的i 次幂 关键词：c l u s t e r 范畴，c l u s t e r 倾斜代数，三角，m c l u s t e r 范畴，m - c l u s t e r 倾 斜代数，m - 对角线分割 1 1 1 ， 山东大学博士学位论文 d y n k i nc l u s t e r - t i l t e da l g e b r a sa n d7 n - c l u s t e r t i l t e d a l g e b r a s w b n x ug e ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 1 0 0 ) a b s t r a c t i n2 0 0 2 ，c l u s t e ra l g e b r a sw e r ei n t r o d u c e db yf o m i na n dz e l e v i n s k y ( f z i ，f z 2 ji n o r d e rt oe x p l a i nt h ec o n n e c t i o nb e t w e e nt h ec a n o n i c a lb a s i so faq u a n t i z e de n v e l o p i n g a l g e b r aa n dt o t a lp o s i t i v i t yf o ra l g e b r a i cg r o u p s t h e r ea r ei n t e r e s t i n gc o n n e c t i o n s t ot h e i rt h e o r yi nm a n yd i r e c t i o n s ( s e e 【f z 3 i ) a sac a t e g o r i c a lm o d e lf o rb e t t e r u n d e r s t a n d i n go fc l u s t e ra l g e b r a s ，c l u s t e rc a t e g o r i e sa n dc l u s t e r - t i l t i n gt h e o r yw e r e i n t r o d u c e di n 【b m r r t l e thb eaf i n i t ed i m e n s i o n a lh e r e d i t a r ya l g e b r ao v e ra l l a l g e b r a i c a l l yc l o s e df i e l da n d 秒( 日) b et h eb o u n d e dd e r i v e dc a t e g o r yo fh t h e nt h e c l u s t e rc a t e g o r y 够( 日) i st h eo r b i tc a t e g o r y 秒( h ) 7 - 1 【1 】，w h e r e7 - i st h ea n s l a n d e r - r e i t e nt r a n s l a t i o ni n 矽6 ( 日) a n df 1 】i st h es h i f tf u n c t o ro fd 6 ( 日) t h e r ei sa o n et oo n e c o r r e s p o n d e n c eb e t w e e nc l u s t e rt i l t i n go b j e c t si nc l u s t e rc a t e g o r i e sa n dt h ec l u s t e r so f c l u s t e ra l g e b r a s c l u s t e r - t i l t e da l g e b r a sw e r ei n t r o d u c e di n 【b m r l ，w h i c ht o g e t h e rw i t hc l u s t e r c a t e g o r i e sp r o v i d ea l la l g e b r a i cu n d e r s t a n d i n go fc o m b i n a t o r i c so fc l u s t e ra l g e b r a s h e r e ，c l u s t e r - t i l t e da l g e b r ai st h ee n d o m o r p h i s ma l g e b r ao fac l u s t e rt i l t i n go b j e c t ，i s t h ef o r me n 曲( 日) ( 丁) 叩al a r g en u m b e ro fr e s e a r c ho fs u c ha l g e b r as h o wt h a tt h e r e a r em a n yg o o dp r o p e r t i e s ，s e e 【b m r l ，b m r 2 ，a b s l ，k r i i nt h et y p eo fd y n k i n ，p c a l d e r o ，f c h a p o t o na n dr s c h i f f i e r 【c c s l 】h a v e a s s o c i a t e dac a t e g o r yt ot h ec l u s t e ra l g e b r ao ft y p ea n ，a n dp r o v e dt h a tt h i sc a t e g o r y i se q u i v a l e n tt ot h ec l u s t e rc a t e g o r yo ft y p ea n l a t e r ，r s c h i f f l e rc o n s t r u c t e da g e o m e t r i cm o d e lf o rc l u s t e rc a t e g o r yo ft y p cd ni nf s c h v 山东大学博士学位论文 a sag e n e r a l i z a t i o no fc l u s t e rc a t e g o r i e s ，m c l u s t e rc a t e g o r i e s ( 何) w e r ei n t r o - d u e e di n 【w h t h e ya r ed e f i n e da st h eo r b i tc a t e g o r y 砂( h ) t 一1 【m 】a no b j e c tti n ( 日) i sa l lm - c l u s t e rt i l t i n go b j e c ti fa n do n l yi ft h ef o l l o w i n gh o l d ： h o m b r e ( h ) ( t , 驯司) = 0 ，1 i 仇，i f a n do n l yi f x a d d ( t ) ； h o m w m ( h ) ( x ，丁= 0 ，1 i m ，i fa n do n l yi fx a d d ( t ) l e ttb ea nm - c l u s t e rt i l t i n go b j e c t b = e n d y 。( h ) ( t ) o pi st h em - c l u s t e r - t i l t e d a l g e b r a r e c e n t l y , t h e r ea r eal o to fr e s e a c ha b o u tt h e s ek i n d so fa l g e b r a s ，, s e e 【b a m l ， b a m 2 ，h j l ，h j 2 ，k r l ，k r 2 ，i y ，p w r ，z h 3 ，z z i nt h i st h e s i s ，f i r s t ，w ei n v e s t i g a t ec l u s t e r - t i l t e da l g e b r a so ft y p ed n ，c l a s s i f yt h e q u i v e r so fc l u s t e r - t i l t e da l g e b r a so ft y p ed n ，a n dm o r e o v e r ，w eg i v ean e c e s s a r ya n d s u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ei s o m o r p h i s mb e t w e e nt w oc l u s t e r - t i l t e da l g e b r a so ft y p e d n s e c o n d ，w ei n v e s t i g a t em - c l u s t e r - t i l t e da l g e b r a so ft y p ea n ，g i v ean e c e s s a r y a n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ei s o m o r p h i s mb e t w e e nt w oc o n n e c t e dm - c l u s t e r - t i l t e d a l g e b r a so ft y p ea n t h i st h e s i si sa r r a n g e da sf o l l o w s i nc h a p t e rl ，w er e c a l ls o m ed e f i n i t i o n sa n db a s i cr e s u l t sn e e d e df o ro u rr e s e a c h ， g i v es o m er e c e n td e v e l o p m e n t si nt h i sd i s s e r t a t i o na n dm a k eas y s t e m i ce x p o s i t i o no f o u rm a i nr e s u l t s i nc h a p t e r2 ，b yu s i n gt h eg e o m e t r i cm o d e lf o rc l u s t e rc a t e g o r yo ft y p e 队b yr s c h i f f i e ri n 【s c h 】，w ei n v e s t i g a t et h ec l u s t e r - t i l t e da l g e b r a so ft y p ed n f i r s t ，w eg i v ea n e x p l i c i td e s c r i p t i o no ft h ee q u i v a l e n c ec l a s so ft r i a n g u l a t i o n so ft h ec a t e g o r yo ft a g g e d a r c e so fp u n c t u r e dp o l y g o np n a sa na p p l i c a t i o n ，w eo b t a i nt h em u t a t i o nc l a s s e so f q u i v e r so ft y p ed n ，a n dd e d u c ea l lt h eq u i v e r so fc l u s t e r - t i l t e da l g e b r a so ft y p ed n ， a n dm o r e o v e r ，w ea l s og i v ea ne x p l i c i td e s c r i p t i o nf o rt h er e l a t i o ni d e a l n e x t ，w eg i v e an e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ei s o m o r p h i s mb e t w e e nt w oc l u s t e r - t i l t e d a l g e b r a so ft y p ed n o u rm a i nr e s u l t sa x ea sf o l l o w s t h e o r e m2 2 5 t h eq u i v e rq i s 口q u i v e ro ic l u s t e r - t i l t e da l g e b r a s 巧t y p ed n 霹a n do n l y 对qb e l o n g st oo n eo | t y p el ，t y p e2 ，t y p e3o rt y p e4 仇s e c t i o n2 2 一 山东大学博士学位论文 t h e o r e m2 3 1 l e tta n drb et w oc l u s t e rt i l t i n go b j e c t si nt h ec l u s t e r c a t e g o r y 够( 仃) o t y p ed 。( 礼5 ) ，r = e n d 曾( h ) ( t ) 。pa n dr = e n d 管( 日) ( r ) o pb et h e c o r r e s p o n d i n gc l u s t e r - t i l t e da l g e b r a s t h e nfi si s o m o r p h i ct of fi fa n do n l y 寸t = t i t i o rt = o t jt if o rs o m ei n t e g e r sia n dj ，w h e r eti st h ea u s l a n d e r - r e i t e nt r a n s l a t i o n oi st h ea u t o m o r p h i s m0 v ( h 、d 币n e di ns e c t i o n2 3 i nc h a p t e r3 ，w eu s et h eg e o m e t r i cm o d e lf o rm - c l u s t e rc a t e g o r yo ft y p ea n 坶k b a u ra n dr m a r s ht oi n v e s t i g a t et h em - c l u s t e r - t i l t e da l g e b r a so ft y p ea n w ep r o v et h a tt h et i l t i n gg r a p ho fm - c l u s t e rc a t e g o r yo ft y p ea ni sc o n n e c t e d ，a n d o b t a i nan e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ec o n n e c t e dm - c l u s t e r - t i l t e da l g e b r a s o ft y p ea n ，a n dm o r e o v e r ，g i v ean e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ei s o m o r p h i s m b e t w e e nt w oc o n n e c t e dm - c l u s t e r - t i l t e da l g e b r a so ft y p ea n o u rm a i nr e s u l t sa l ea s f o l l o w s t h e o r e m3 2 7 l e t mb et h et i l t i n gg r a p h 巧a nm c l u s t e rc a t e g o r yo ft y p e a n t h e n mi sc o n n e c t e d t h e o r e m3 2 9 l e ttb ea nm c l u s t e rt i l t i n go b j e c ti nm c l u s t e rc a t e g o r yo t y p ea t l ，b = e n d ( 日) ( 丁) 0 pb et h ec o r r e s p o n d i n gm c l u s t e r - t i l t e da l g e b r a t h e nbi s c o n n e c t e di fa n do n l yi ff o 下a n yi n d e c o m p o s a b l ed i r e c ts u m m a n dm o t t h e r ee x i s t s a n o t h e ri n d e c o m p o s a b l e 出r e c ts u m m a n dno yts u c ht h a tna n dm 此eo ras a m er a y d rc o r a y t h e o r e m3 2 1 0 l e tr i mb et h et i l t i n gs u b g r a p hc o m s i s t i n go ，c o n n e c t e dm c l u s t e rt i l t i n go b j e c t si nt h em c l u s t e rc a t e g o r yo t y p ea n t h e n 幺i sc o n n e c t e d t h e o r e m3 3 3 l e tta n dra r et w oc o n n e c t e dm c l u s t e rt i l t i n go b j e c t s 抚t h e c l u s t e rc a t e g o r y 它( 日) o yt y p ea n ，b = e n d ) ( t ) o pa n db = e n d ( 日) ( r ) o pb e t h ec o r r e s p o n d i n gm c l u s t e r - t i l t e da l g e b r a s t h e nbi si s o m o r p h i ct ob 讨a n do n l yi f t = ，吲o rs o m ei n t e g e r i k e yw o r d s ： c l u s t e rc 曲e g o 隅c l u s t e r - t i l t e da l g e b r a ，t r i a n g u l a t i o n ，m - c l u s t e r c a t e g o r y , m - c l u s t e r - t i l t e da l g e b r a 仇一d i a g o n a ld i v i s i o n 、n l 第一章引言及预备知识 1 1引言 2 0 0 2 年，为了研究量子群的典范基和代数群的整体正性之间的联系，f o m i n 和 z e l e v i n s k y 在文 f z l ，f z 2 】中引入了c l u s t e r 代数的概念设f = q ( u l ，u 2 ，“3 ) 是 有n 个变元的有理函数域，x f 是q 上的一组超越元基， b = ( ) x , y e x 是行和 列以x 为标记的n n 符号反对称整数矩阵也就是说，对任意的z ，y x ，我们有 k 掣= 0 = o ；6 切 0 0 x e x ，b 2 0 表示顶点i 到j 的箭向数若集合x 是有限集，那么 我们说c l u s t e r 代数a b 是有限型的在【f z 2 】中，证明了有限型c l u s t e r 代数中存在 一个s e e d 对应的箭图是d y n k i n 图 山东大学博士学位论文 关于c l u s t e r 代数及其组合的相关知识可参见文献【c f z ，f z 3 ，f z 4 ，f r i 这种理 论很快就和数学中的许多分支产生了密切的联系特别是近几年，c l u s t e r 代数及其组 合理论给有限维代数表示理论带来了很大的影响文【m r z 首先给出了c l u s t e r 代数 及其组合理论与箭图表示的关系接着，当c l u s t e r 代数中存在一个s e e d ( x ，b ) 决定 的箭图q b 为某个遗传代数日的箭图时，即h = k q b ，文【b m r r t 】引入了c l u s t e r 范畴和c l u s t e r 倾斜理论的概念，成为更好的理解f o m i n 和z e l e v i n s k y 的c l u s t e r 代数 的一个范畴化模型 c l u s t e r 范畴的定义如下设日是代数闭域上的有限维遗传代数，秒( 日) 是日 的有界导出范畴，r 是秒( 日) 中的a u s l a n d e r - r e i t e n 变换， 【1 】是秒( ) 中的平移 函子令f = t - 1 1 1 ，c l u s t e r 范畴够( 日) 定义为轨道范畴z ) 6 ( h ) i f ，对象是秒( 日) 中 对象的n 轨道，态射定义为： h o m 够( h ) ( 2 ，矿) = oh 0 m 砂( 胃) ( x ，y ) ， 讵z 这里x ，y 是砂( 日) 中的对象，贾，矿分别是x ，y 的n 轨道( 为了方便，我们有时 将x ，y 简记为x ，y ) 由文【k 】，c l u s t e r 范畴是三角范畴，而且是c a l a b i y a u 维数为 2 的c a l a b i - y a u 范畴c l u s t e r 范畴够( ) 中的c l u s t e r 倾斜对象丁满足如下两个条 件。 e x t , ( m ( 正t ) = o ； 对c l u s t e r 范畴v ( h ) 中任意不可分解对象m ，若脯参( 日) ( zm ) = 0 ，则m 是 丁的直和项 现在c l u s t e r 范畴已经成为a c y c l i c 型c l u s t e r 代数及其组合的个成功的模型，参 见文【b m r ，c c ，c k l ，c k 2 在这个范畴化的模型中，c l u s t e r 范畴中的不可分解例 外对象对应于文【f z l 】中定义的c l u s t e r 变量，而c l u s t e r 倾斜对象对应于c l u s t e r 代数 中的c l u s t e r ，参见文【c k l ，c k 2 特别的，对应于c l u s t e r 代数的c l u s t e r - m u t a t i o n ，文 【b m r r t 】定义了c l u s t e r 范畴中的c l u s t e r 倾斜对象上的一种m u t a t i o n 简单来说，就 是c l u s t e r 范畴中的个几乎c l u s t e r 倾斜对象亍恰好有2 个互不同构的不可分解补 m 和m + ，而且它们通过下面的三角相联系。 m 与r 上m m f 1 1和 m 二r 与m 一m i l l ， ， 2 山东大学博士学位论文 其中，r a d d 亍，p a d d t ，g 是极小右a d d - - 逼近，+ ，g 是极小左a d d - - 逼近 c l u s t e r 范畴与有限维代数表示理论中的经典倾斜理论相结合，促成了c l u s t e r 倾 斜代数理论的产生，参见文【b m r l ，这里c l u s t e r 倾斜代数定义为c l u s t e r 倾斜对象的 自同态代数，即为e n d v ( z ) ( t ) 。p 近年来，对这一类代数的大量研究表明，它们具有 很多好的性质 文【b m r l 】证明了c l u s t e r 倾斜代数的模范畴很大程度上是由它所对应的c l u s t e r 范畴确定的若丁是c l u s t e r 范畴够( ) 的个c l u s t e r 倾斜对象，那么存在范畴等价 h o m 够( 日) ( e 一) ：够( h ) a d d ( r t ) _ m o de n d 够( 日) ( 丁) o p 文【b m r 2 】给出了c l u s t e r 倾斜代数理论和c l u s t e r 代数理论之间的联系证明 了。若亍是c l u s t e r 范畴中的一个几乎倾斜对象，m 和m + 是它的两个补，记r = e n 如( 日) ( 亍o ，) 叩，r ，= e n d 够( 日) ( 亍0m + o p ，k 是m 在r 中对应的点，那么箭图 钉和q r ， 或者等价的说，矩阵b r = ( 幻) 和b r ，= ( 6 ：，) 存在下面的关系式 ， 。，j 一幻 若i = k 或j = k ； v i 幻+ ( i b , k l b k j + b i k l b k j l ) 其它 文【a b s l 】给出了c l u s t e r 倾斜代数和经典的倾斜代数之间的关系，证明了一个代 数c 是个c l u s t e r 倾斜代数当且仅当存在个倾斜代数c 使得c 是c 的关系扩张 代数 文【k r l l 考查了c l u s t e r 倾斜代数的同调性质，特别是证明了c l u s t e r 倾斜代数是 g o r e n s t e i n 维数至多为1 的g o r e n s t e i n 代数c l u s t e r 倾斜代数理论也为经典的倾斜 理论带来了新的视角，比如广义a p r - 倾斜，参见文【b m r l d y n k i n 型( a n ，d 。，岛，历，b ) 遗传代数作为最经典的一类有限维遗传代数， 在有限维遗传代数的发展中起到举足轻重的作用同样由d y n k i n 型遗传代数生成的 c l u s t e r 范畴在c l u s t e r 范畴和c l u s t e r 倾斜代数的发展中也起到了很好的推动作用，因 此对d y n k i n 型的研究成为我们研究c l u s t e r 范畴及c l u s t e r 倾斜代数的个重要突破 点 3 山东大学博士学位论文 文【b m r 3 1 证明了d y n k i n 型c l u s t e r 倾斜代数由其箭图唯一确定，从而对d y n k i n 型我们可以把c l u s t e r 范畴中的c l u s t e r 倾斜对象的m u t a t i o n 转化为对应的c l u s t e r 倾 斜代数箭图的m u t a t i o n ，即通过对箭图的m u t a t i o n 我们可以实现c l u s t e r 代数上的 c l u s t e r - m u t a t i o n 文 c c s l 】独立构造了一个几何化的厶型的范畴，并且证明了这个范畴等价于 a n 型c l u s t e r 范畴紧接着， h t o r k i l d s e n 在【w o d 中利用【c c s l 】中的几何化模型 给出了两个a 。型c l u s t e r 倾斜代数同构的等价条件，并算出了其个数 同时，a b u a n 和d v a t n e 运用组合的方法给出了a n 型c l u s t e r 倾斜代数的导 出等价分类； j b a s t i a n 和t h o l m 在【b h 】中给出了e 型c l u s t e r 倾斜代数的