甘肃省武威二中高二数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年甘肃省武威二中高二（上）期末数学试卷（理科）一选择题（每小题5分，共50分）1命题“对任意的xr，x3x2+10”的否定是（）a不存在xr，x3x2+10b存在xr，x3x2+10c存在xr，x3x2+10d对任意的xr，x3x2+102对于常数m、n，“mn0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件3双曲线的渐近线方程是（）a4x3y=0b16x9y=0c3x4y=0d9x16y=04抛物线的准线方程是（）aby=2cdy=25向量=（1，2，2），=（2，4，4），则与（）a相交b垂直c平行d以上都不对6已知abc的周长为20，且顶点b （0，4），c （0，4），则顶点a的轨迹方程是（）a（x0）b（x0）c（x0）d（x0）7下列命题中假命题是（）a过抛物线x2=2py焦点的直线被抛物线截得的最短弦长为2pb命题“有些自然数是偶数”是特称命题c离心率为的双曲线的两渐近线互相垂直d对于空间向量，则有（）=（）8|=2，|=3，=60，则|23|=（）ab97cd619若双曲线=1上一点p到左焦点的距离是3，则点p到右焦点的距离为（）a4b5c6d710若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）abcd二填空题：（每小题5分，共20分）11点m与点f（4，0）的距离比它到直线l：x+5=0的距离小1，则点m的轨迹方程是12过椭圆+y2=1的一个焦点f1的直线与椭圆交于a、b两点，则a、b与椭圆的另一焦点f2构成的abf2的周长为13在抛物线y2=4x上求一点p，使其到焦点f的距离与到a（2，1）的距离之和最小，则该点的坐标是14如图，在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，m、n分别是a1b1和bb1的中点，那么直线am和cn所成角的余弦值为三解答题：（共50分解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15已知p：xr，mx2+10，q：xr，x2+mx+10若pq为真命题，求实数m的取值范围16（10分）（2015秋武威校级期末）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且经过点（2，0）和点（0，1）（1）求椭圆的标准方程；（2）焦点为f1，f2，p为椭圆上的一点，且=0，求f1pf2的面积17（10分）（2012秋定西期末）如图，棱锥pabcd的底面abcd是矩形，pa平面abcd，pa=ad=2，bd=（1）求证：bd平面pac； （2）求二面角pcdb余弦值的大小18（10分）（2015秋武威校级期末）已知抛物线c的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点p（4，m）到焦点的距离为6（）求抛物线c的方程；（）若抛物线c与直线y=kx2相交于不同的两点a、b，且ab中点横坐标为2，求k的值19（12分）（2015秋武威校级期末）如图，直三棱柱abca1b1c1，底面abc中，ca=cb=1，bca=90，棱aa1=2，m、n分别是a1b1，a1a的中点；（1）求的长；（2）求cos，的值；（3）求证：a1bc1m（4）求cb1与平面a1abb1所成的角的余弦值2015-2016学年甘肃省武威二中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题（每小题5分，共50分）1命题“对任意的xr，x3x2+10”的否定是（）a不存在xr，x3x2+10b存在xr，x3x2+10c存在xr，x3x2+10d对任意的xr，x3x2+10【考点】命题的否定 【分析】根据命题“对任意的xr，x3x2+10”是全称命题，其否定是对应的特称命题，从而得出答案【解答】解：命题“对任意的xr，x3x2+10”是全称命题否定命题为：存在xr，x3x2+10故选c【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化要注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定2对于常数m、n，“mn0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【专题】常规题型【分析】先根据mn0看能否得出方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆；这里可以利用举出特值的方法来验证，再看方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆，根据椭圆的方程的定义，可以得出mn0，即可得到结论【解答】解：当mn0时，方程mx2+ny2=1的曲线不一定是椭圆，例如：当m=n=1时，方程mx2+ny2=1的曲线不是椭圆而是圆；或者是m，n都是负数，曲线表示的也不是椭圆；故前者不是后者的充分条件；当方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆时，应有m，n都大于0，且两个量不相等，得到mn0；由上可得：“mn0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件故选b【点评】本题主要考查充分必要条件，考查椭圆的方程，注意对于椭圆的方程中，系数要满足大于0且不相等，本题是一个基础题3双曲线的渐近线方程是（）a4x3y=0b16x9y=0c3x4y=0d9x16y=0【考点】双曲线的简单性质 【专题】计算题【分析】先根据双曲线的标准方程求出a，b的值，因为焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=，把a，b的值代入即可【解答】解：双曲线方程为，a=3，b=4，由双曲线的焦点在x轴上，渐近线方程为y=x化简，得，4x3y=0故选a【点评】本题主要考查双曲线的渐近线方程的求法，关键是求出a，b的值4抛物线的准线方程是（）aby=2cdy=2【考点】抛物线的简单性质 【专题】计算题【分析】先把抛物线转换为标准方程x2=8y，然后再求其准线方程【解答】解：，x2=8y，其准线方程是y=2故选b【点评】本题考查抛物线的基本性质，解题时要认真审题，仔细求解5向量=（1，2，2），=（2，4，4），则与（）a相交b垂直c平行d以上都不对【考点】共线向量与共面向量 【专题】空间向量及应用【分析】根据共线向量的定义判断即可【解答】解：向量=（1，2，2），=（2，4，4）=2（1，2，2）=2，则与平行，故选：c【点评】本题考查了共线向量问题，是一道基础题6已知abc的周长为20，且顶点b （0，4），c （0，4），则顶点a的轨迹方程是（）a（x0）b（x0）c（x0）d（x0）【考点】椭圆的定义 【专题】计算题【分析】根据三角形的周长和定点，得到点a到两个定点的距离之和等于定值，得到点a的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点【解答】解：abc的周长为20，顶点b （0，4），c （0，4），bc=8，ab+ac=208=12，128点a到两个定点的距离之和等于定值，点a的轨迹是椭圆，a=6，c=4b2=20，椭圆的方程是故选b【点评】本题考查椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，本题是一个易错题，容易忽略掉不合题意的点7下列命题中假命题是（）a过抛物线x2=2py焦点的直线被抛物线截得的最短弦长为2pb命题“有些自然数是偶数”是特称命题c离心率为的双曲线的两渐近线互相垂直d对于空间向量，则有（）=（）【考点】命题的真假判断与应用 【专题】探究型；简易逻辑；推理和证明【分析】根据抛物线的简单性质，特称命题的概念，双曲线的简单性质，数乘向量的几何意义，分别判断四个命题的真假，可得答案【解答】解：过抛物线x2=2py焦点的直线与抛物线的对称轴垂直时，被抛物线截得的最短，此时弦长为2p，故a是真命题；命题“有些自然数是偶数”是特称命题，故b是真命题；离心率为的双曲线方程为：，渐近线为y=x，互相垂直，故c是真命题；对于空间向量，（）表示与平行的向量，（）表示与平行的向量，但与不一定平行，故d为假命题，故选：d【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，抛物线的简单性质，特称命题的概念，双曲线的简单性质，数乘向量的几何意义，难度中档8|=2，|=3，=60，则|23|=（）ab97cd61【考点】数量积表示两个向量的夹角 【专题】计算题；向量法；综合法；平面向量及应用【分析】进行数量积的运算可以求出，从而便可得出的值【解答】解：根据条件，=61；故选c【点评】考查数量积的运算及计算公式，求从而求的方法9若双曲线=1上一点p到左焦点的距离是3，则点p到右焦点的距离为（）a4b5c6d7【考点】双曲线的简单性质 【专题】计算题；规律型；函数思想；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用双曲线的定义，即可求得点p到双曲线的右焦点的距离【解答】解：设点p到双曲线的右焦点的距离是x，双曲线=1上一点p到左焦点的距离是3，|x3|=22，x0，x=7故选：d【点评】本题考查双曲线的定义，考查学生的计算能力，属于基础题10若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）abcd【考点】椭圆的应用；数列的应用 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，由题意可知：a+c=2b，由此可以导出该椭圆的离心率【解答】解：设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，则2a+2c=22b，即a+c=2b（a+c）2=4b2=4（a2c2），所以3a25c2=2ac，同除a2，整理得5e2+2e3=0，或e=1（舍去），故选b【点评】本题考查等差数列和椭圆的离心率，难度不大，只需细心运算就行二填空题：（每小题5分，共20分）11点m与点f（4，0）的距离比它到直线l：x+5=0的距离小1，则点m的轨迹方程是y2=16x【考点】抛物线的定义；轨迹方程 【专题】计算题；转化思想【分析】题意转化为点m与点f（4，0）的距离与它到直线l：x+4=0的距离相等，满足抛物线的定义，求解即可【解答】解：依题意可知：点m与点f（4，0）的距离比它到直线l：x+5=0的距离小1，转化为点m与点f（4，0）的距离与它到直线l：x+4=0的距离相等，满足抛物线的定义，所以p=8，点m的轨迹方程是y2=16x故答案为：y2=16x【点评】本题考查抛物线的定义，轨迹方程的求法，是基础题12过椭圆+y2=1的一个焦点f1的直线与椭圆交于a、b两点，则a、b与椭圆的另一焦点f2构成的abf2的周长为4【考点】椭圆的简单性质 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据题意，此题涉及到了过焦点的三角形问题，所以考虑椭圆的定义，显然a，b两点到两个焦点的距离之和都等于椭圆的长轴长，则三角形abf2的周长可求【解答】解：由椭圆+y2=1得：a=，b=1，c=，又ab过焦点f1，所以由椭圆的定义得：，所以三角形abf2的周长=|af1|+|af2|+|bf1|+|bf2|=4故答案为【点评】本题考查了椭圆的焦点三角形问题，一般考虑用椭圆的第一定义解题13在抛物线y2=4x上求一点p，使其到焦点f的距离与到a（2，1）的距离之和最小，则该点的坐标是（，1）【考点】抛物线的简单性质 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据抛物线方程求得抛物线的焦点为f（1，0）、准线为x=1设点p在准线上的射影为q，根据抛物线的定义得|pq|+|pa|=|pf|+|pa|，利用平面几何知识得当a、p、q三点共线时，这个距离之和达到最小值，此时p点的纵坐标为1，利用抛物线方程求出p的横坐标，从而可得答案【解答】解：由抛物线方程为y2=4x，可得2p=4，=1，焦点坐标为f（1，0），准线方程为x=1设点p在准线上的射影为q，连结pq，则根据抛物线的定义得|pf|=|pq|，由平面几何知识，可知当a、p、q三点共线时，|pq|+|pa|达到最小值，此时|pf|+|pa|也达到最小值|pf|+|pa|取最小值，点p的纵坐标为1，将p（x，1）代入抛物线方程，得12=4x，解得x=，使p到a、f距离之和最小的点p坐标为（，1）故答案为：（，1）【点评】本题主要考查了抛物线的定义，充分利用了抛物线上的点到准线的距离与点到焦点的距离相等这一特性，运用了转化思想和数形结合思，本题属于基础题14如图，在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，m、n分别是a1b1和bb1的中点，那么直线am和cn所成角的余弦值为【考点】异面直线及其所成的角 【专题】计算题【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点b1，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可【解答】解：如图，将am平移到b1e，nc平移到b1f，则eb1f为直线am与cn所成角设边长为1，则b1e=b1f=，ef=coseb1f=，故答案为【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题三解答题：（共50分解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15已知p：xr，mx2+10，q：xr，x2+mx+10若pq为真命题，求实数m的取值范围【考点】复合命题的真假 【专题】函数思想；综合法；简易逻辑【分析】分别求出p，q为真时的m的范围，结合若pq为真命题，从而求出实数m的取值范围即可【解答】解：若p为真命题，则m0，若命题q是真命题，则有=m240，解得：2m2，若pq为真命题，则p，q至少有一个为真，m的范围是：m2【点评】本题考查了复合命题的判断，考查二次函数的性质，是一道基础题16（10分）（2015秋武威校级期末）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且经过点（2，0）和点（0，1）（1）求椭圆的标准方程；（2）焦点为f1，f2，p为椭圆上的一点，且=0，求f1pf2的面积【考点】椭圆的标准方程；圆锥曲线的实际背景及作用 【专题】对应思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）根据题意得出椭圆的顶点坐标以及a、b的值，写出椭圆的标准方程即可；（2）根据=0，得出，利用勾股定理以及椭圆的定义求出|的值，即得f1pf2的面积【解答】解：（1）椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且经过点（2，0）和点（0，1），a=2，b=1，椭圆的标准方程为+y2=1；（2）焦点为f1，f2，p为椭圆上的一点，且=0，+=（2c）2=12；又|+|=2a=4，+2|+=16；由、得，|=2，f1pf2的面积为=|=1【点评】本题主要考查了椭圆的定义与标准方程以及平面向量的数量积的应用问题，解题的关键是熟练掌握椭圆标准方程中a，b和c之间的关系，是基础题目17（10分）（2012秋定西期末）如图，棱锥pabcd的底面abcd是矩形，pa平面abcd，pa=ad=2，bd=（1）求证：bd平面pac； （2）求二面角pcdb余弦值的大小【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定 【专题】空间位置关系与距离【分析】（1）由bad=90，ad=2，bd=可得ab=2于是矩形abcd是正方形，可得bdac利用线面垂直的性质可得：pabd，即可证明：bd平面pac（2）由pa平面abcd，cdad，利用三垂线定理可得：cdpd，于是pda是二面角pcdb的平面角利用直角三角形的边角关系即可得出【解答】（1）证明：bad=90，ad=2，bd=2矩形abcd是正方形，bdacpa平面abcd，bd平面abcd，pabd，又paac=a，bd平面pac（2）解：pa平面abcd，cdad，cd平面abcd，cdpd，pda是二面角pcdb的平面角在rtpad中，tanpda=1，pda=45二面角pcdb的余弦值为【点评】本题考查了矩形与正方形的性质、线面垂直的性质与判定定理、三垂线定理、二面角、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（10分）（2015秋武威校级期末）已知抛物线c的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点p（4，m）到焦点的距离为6（）求抛物线c的方程；（）若抛物线c与直线y=kx2相交于不同的两点a、b，且ab中点横坐标为2，求k的值【考点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系 【专题】计算题【分析】（）由题意设：抛物线方程为y2=2px，其准线方程为x=，根据抛物线的大于可得：4+，进而得到答案（）联立直线与抛物线的方程得 k2x2（4k+8）x+4=0，根据题意可得=64（k+1）0即k1且k0，再结合韦达定理可得k的值【解答】解：（）由题意设抛物线方程为y2=2px，其准线方程为x=，p（4，m）到焦点的距离等于a到其准线的距离，4+p=4抛物线c的方程为y2=8x（）由消去y，得 k2x2（4k+8）x+4=0直线y=kx2与抛物线