北邮 dsp第五章附加题答案.doc

第五章FIR滤波器的设计附加题1. 一FIR数字滤波器的传输函数为求、幅度、和相位。解： 或者：2. 一个FIR线性相位滤波器的h(n)是实数，且n6时，h(n)=0。如果h(0)=1且系统函数在和z = 3处各有一个零点，求。解：根据题设，在零点的共轭、倒数也是零点，因此可分别构建二阶子系统：，同理，零点z = 3的倒数z=1/3也应是零点，可构建：所以，再由h(0)=1，A=1。3. 如图所示h1(n)为N=8的偶对称序列，h2(n)为其循环右移4位后的序列。设H1(k)=DFT h1(n) ，H2(k)=DFT h2(n) （1）问 | H1(k)| = | H2(k)| 吗？与的关系是什么？（2）若h1(n)、h2(n)各构成一个低通滤波器，问它们是否是线性相位的？延时分别是多少？（3）两个滤波器的性能是否相同？ h1(n) h2(n)解：1) 因为h2(n)8 = h1(n-4)8，所以 H2(k) = H1(k)W84k，因此， |H2(k) |=| H1(k)|，2）h1(n)、h2(n)各构成低通滤波器时，由于满足偶对称，因此都是线性相位的，延时为：3）为了判断性能，求各自的频率响应幅度函数，根据线性相位及N=8，有分别令：h1(0)=h1(7)=1，h1(1)=h1(6)=2，h1(2)=h1(5)=3， h1(3)=h1(4)=1；h2(0)=h2(7)=4，h2(1)=h2(6)=3，h2(2)=h2(5)=2， h2(3)=h2(4)=1；可得：画图，H1(w)比H2(w)阻带衰减小，但通带较H2(w)宽。4. 用矩形窗设计一线性相位FIR低通数字滤波器（1）求hd(n)；（2）求h(n)，并确定a与N的关系；（3）讨论N取奇数和偶数对滤波器性能有什么影响。解：（1）（2）为了满足线性相位，要求，加窗后（3）N为偶数时，其幅度关于奇对称，不能实现高通和带阻滤波特性；N为奇数时，关于偶对称，能实现各类滤波特性。5. 设计一个线性相位FIR低通滤波器，给定抽样频率为,通带截止频率为，阻带起始频率为，阻带衰减不小于-50db。解：(1) 通带截止频率为 阻带起始频率为 阻带衰减为(2)求h(n)。 其中，a是线性相位所必需的位移，应满足。而 3)求窗函数。由阻带衰减确定窗形状，由过渡带宽确定N。由于，查表可选汉明窗，其阻带衰减-53db满足要求。所要求的过渡带宽由所以 (4）求h(n)。所以，6. 选择合适的窗函数设计FIR数字滤波器：通带衰减为0dB，阻带衰减为-40dB，通带边缘频率为1kHz，阻带边缘频率为2.5kHz，采样频率为12kHz。（1）求所选窗及N；（2）选择要用于设计的通带边缘频率；（3）画出滤波器形状。解：（1）阻带衰减为-40dB，查表知汉宁窗符合要求。已知fs=12kHz，且过渡带宽，于是所以，（2）边缘频率（3）7. 设计一低通滤波器，其模拟频率响应的振幅函数为用矩形窗设计数字滤波器，数据长度为10ms，抽样频率fs=2kHz,阻带衰减分别为-20dB，计算出数字滤波器的过渡带宽。解：数字滤波器的截止频率：数字滤波器的理想特性式中，a是保证h(n)为因果序列所加的时移，且a=(N-1)/2而， 式中为矩形窗；N为正确的时宽。数据长度tp=NT=10ms,由T=1/2000s可得N=20 + 1 =21于是8. 用窗函数法设计第一类线性相位FIR高通数字滤波器。已知3dB截止频率为，阻带最小衰减As=-50dB，过渡带宽。解：高通数字滤波器由题设知 阻带最小衰减As= - 50dB，查表汉明窗符合。所以， 9. 用矩形窗设计一个线性相位高通滤波器 求出h(n)的表达式，确定a与N的关系。问有几种类型，分别属于哪一种线性相位滤波器。解：（1） 为保证线性相位， （2) N为奇数，为整数，对a偶对称 即有 为第一种类型的线性相位滤波器。N为偶数，不为整数，对a奇对称 即有 为第四种类型的线性相位滤波器。10. 用汉明窗设计一个线性相位带通滤波器 求h(n)的表达式，设。解： 采用汉明窗设计时其中 带入N=51，得。11. 用矩形窗设计一线性相位FIR带通数字滤波器（1）求N为奇数时的h(n)；（2）求N为偶数时的h(n)。解：（1) N为奇数时，h(n)=h(N-1-n)为第一类滤波器。理想单位冲激相应hd(n)为：都关于偶对称，所以hd(n)也偶对称，为保证线性相位满足 。（2）N为偶数时，h(n)=h(N-1-n)为第二类滤波器。有和（1）一样的结论。12. 用汉明窗设计一线性相位FIR带通数字滤波器（1）求N为奇数时的h(n)；（2）求N为偶数时的h(n)。解：过程同第5题，有相似的结论。用汉明窗Wham(n)取代矩形窗RN(n)。13. 如果一个线性相位带通滤波器的频率响应为（1）证明一个线性相位的带阻滤波器可以表示成（2）请用来表示。证明：（1） 而 且又是线性相位，因而 (2）是线性相位(a) 令（b) 令14. 试用频率抽样法设计一个FIR线性相位数字低通滤波器，已知。解：根据题意有 则有 所以 15. 利用频率采样法设计一线性相位FIR低通滤波器，给定N=21，通带截止频率rad。求出h(n)，为了改善其频率响应应采取什么措施？解：（1）确定希望逼近的理想低通滤波器频率响应函数： 其中（2）采样（3)求h(n): 因为，所以为了改善阻带衰减和通带波纹，应加过渡带采样点，为了使边界频率更精确，过渡带更窄，应加大采样点数N。16. 已知N=7的FIR滤波器冲激响应为：画出其线性相位结构图，说明其幅度和相位的特点。解：h(n)满足 h(n)= - h(N-1-n)，因此FIR滤波器具有第三类线性相位特性，即，又N=7为奇数，其幅度关于奇对称。结构如图：17. 用窗函数法设计满足图示指标的线性相位 FIR数字滤波器，并画出其线性相位结构示意图。(各窗函数对应的特性如表所示) h(n) 呈偶对称，N 为奇数，其线性相位结构图为： 18. 利用窗函数法设计一个线性相位FIR带阻滤波器，阻带衰减不小于-51dB，其性能指标要求如图所示，并画出其线性相位结构示意图。(各窗口对应的阻带衰减如表所示)解： （1） 阻带衰减 ，选