【复变函数】 史上最全 下PPT课件.ppt

1 泰勒展开定理2 展开式的唯一性3 简单初等函数的泰勒展开式 3泰勒 Taylor 级数 1 1 泰勒 Taylor 展开定理 现在研究与此相反的问题 一个解析函数能否用幂级数表达 或者说 一个解析函数能否展开成幂级数 解析函数在解析点能否用幂级数表示 以下定理给出了肯定回答 任何解析函数都一定能用幂级数表示 2 定理 泰勒展开定理 分析 代入 1 得 3 4 得证 5 证明 不讲 6 不讲 7 证明 不讲 8 9 2 展开式的唯一性 结论解析函数展开成幂级数是唯一的 就是它的Taylor级数 利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数 这样的展开式是否唯一 事实上 设f z 用另外的方法展开为幂级数 10 由此可见 任何解析函数展开成幂级数就是Talor级数 因而是唯一的 直接法 间接法 代公式 由展开式的唯一性 运用级数的代数运算 分析运算和已知函数的展开式来展开 函数展开成Taylor级数的方法 11 3 简单初等函数的泰勒展开式 例1 解 P120 12 13 上述求sinz cosz展开式的方法即为间接法 例2把下列函数展开成z的幂级数 解 14 2 由幂级数逐项求导性质得 15 1 另一方面 因ln 1 z 在从z 1向左沿负实轴剪开的平面内解析 ln 1 z 离原点最近的一个奇点是 1 它的展开式的收敛范围为 z 1 16 定理 17 18 第十次课11月26日 19 20 1 预备知识2 双边幂级数3 函数展开成双边幂级数4 展开式的唯一性 4罗朗 Laurent 级数 21 由 3知 f z 在z0解析 则f z 总可以在z0的某一个圆域 z z0 R内展开成z z0的幂级数 若f z 在z0点不解析 在z0的邻域中就不可能展开成z z0的幂级数 但如果在圆环域R1 z z0 R2内解析 那么 f z 能否用级数表示呢 例如 P127 22 23 本节将讨论在以z0为中心的圆环域内解析的函数的级数表示法 它是后面将要研究的解析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数和计算留数的基础 24 1 预备知识 Cauchy积分公式的推广到复连通域 见第三章第18题P101 25 2 双边幂级数 含有正负幂项的级数 定义形如 双边幂级数 正幂项 包括常数项 部分 负幂项部分 26 级数 2 是一幂级数 设收敛半径为R2 则级数在 z z0 R2内收敛 且和为s z 在 z z0 R2外发散 27 28 2 在圆环域的边界 z z0 R1 z z0 R2上 29 3 函数展开成双边幂级数 定理 30 证明由复连通域上的Cauchy积分公式 31 32 式 1 2 中系数cn的积分分别是在k2 k1上进行的 在D内取绕z0的简单闭曲线c 由复合闭路定理可将cn写成统一式子 证毕 33 2 在许多实际应用中 经常遇到f z 在奇点z0的邻域内解析 需要把f z 展成级数 那么就利用洛朗 Laurent 级数来展开 34 4 展开式的唯一性 结论一个在某一圆环域内解析的函数展开为含有正 负幂项的级数是唯一的 这个级数就是f z 的洛朗级数 事实上 35 36 由唯一性 将函数展开成Laurent级数 可用间接法 在大多数情况 均采用这一简便的方法求函数在指定圆环域内的Laurent展开式 只有在个别情况下 才直接采用公式 5 求Laurent系数的方法 例1 解 37 例2 解 例3 解 38 例4 P132 39 解 没有奇点 40 41 注意首项 42 2 对于有理函数的洛朗展开式 首先把有理函数分解成多项式与若干个最简分式之和 然后利用已知的几何级数 经计算展成需要的形式 小结 把f z 展成洛朗 Laurent 级数的方法 43 解 1 在 最大的 去心邻域 例5 44 2 在 最大的 去心邻域 练习 45 2 根据区域判别级数方式 在圆域内需要把f z 展成泰勒 Taylor 级数 在环域内需要把f z 展成洛朗 Laurent 级数 46 3 Laurent级数与Taylor级数的不同点 Taylor级数先展开求R 找出收敛域 Laurent级数先求f z 的奇点 然后以z0为中心 奇点为分隔点 找出z0到无穷远点的所有使f z 解析的环 在环域上展成级数 47 计算沿封闭路线积分中的应用P135 48 49 50 51 作业 P14312 1 3 16 2 3 52 第五章留数 53 第十一次课12月3日 54 1 定义2 分类3 性质4 零点与极点的关系 1孤立奇点 55 1 定义 例如 z 0为孤立奇点 z 0及z 1 n n 1 2 都是它的奇点 z 1为孤立奇点 56 57 这说明奇点未必是孤立的 除此之外 其它奇点不是孤立的 58 2 分类 以下将f z 在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数 根据展开式的不同情况 将孤立点进行分类 考察 特点 没有负幂次项 特点 只有有限多个负幂次项 特点 有无穷多个负幂次项 59 定义设z0是f z 的一个孤立奇点 在z0的去心邻域内 若f z 的洛朗级数 没有负幂次项 称z z0为可去奇点 只有有限多个负幂次项 称z z0为m级 阶 极点 有无穷多个负幂次项 称z z0为本性奇点 60 3 性质 若z0为f z 的可去奇点 若z0为f z 的m m 1 级极点 61 例如 z 1为f z 的一个三级极点 z i为f z 的一级极点 若z0为f z 的本性奇点 62 4 零点与极点的关系 定义不恒等于0的解析函数f z 如果能表示成 例如 63 定理 事实上 必要性得证 充分性略 64 例如 65 定理 证明 若z0为f z 的m级极点 66 67 例 解显然 z i是 1 z2 的一级零点 68 综合 69 70 1 留数的定义2 留数定理3 留数的计算规则 2留数 Residue 71 1 留数的定义 72 定义设z0为f z 的孤立奇点 f z 在z0邻域内的洛朗级数中负幂次项 z z0 1的系数c 1称为f z 在z0的留数 记作Res f z z0 或Resf z0 由留数定义 Res f z z0 c 1 1 73 2 留数定理 定理 证明 74 由复合闭路定理得 用2 i除上式两边得 得证 75 求沿闭曲线c的积分 归之为求在c中各孤立奇点的留数 一般求Res f z z0 是采用将f z 在z0邻域内展开成洛朗级数求系数c 1的方法 但如果能先知道奇点的类型 对求留数更为有利 以下就三类孤立奇点进行讨论 3 留数的计算规则 76 规则I 规则II 77 事实上 由条件 可以乘比m阶大的因式 78 当m 1时 式 5 即为式 4 规则III 事实上 79 80 例1 解 81 例2 解 82 例3 解 83 例4 解 84 故由留数定理得 1 要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留数 不要死套规则 如 是f z 的三级极点 85 该方法较规则II更简单 86 2 由规则II的推导过程知 在使用规则II时 可将m取得比实际级数高 这可使计算更简单 如 87 第十二次课12月10日 88 89 90 91 92 93 3 在无穷远点的留数设函数f z 在圆环域R z 内解析 C为圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线 则积分 的值与C无关 称其为f z 在 点的留数 记作 f z 在圆环域R z 内解析 理解为圆环域内绕的任何一条简单闭曲线 94 这就是说 f z 在 点的留数等于它在 点的去心邻域R z 内洛朗展开式中z 1的系数变号 95 定理二如果f z 在扩充复平面内只有有限个孤立奇点 那末f z 在所有各奇点 包括 点 的留数总和必等于零 证 除 点外 设f z 的有限个奇点为zk k 1 2 n 且C为一条绕原点的并将zk k 1 2 n 包含在它内部的正向简单闭曲线 则根据留数定理与在无穷远点的留数定义 有 96 97 所以规则4成立 98 定理二与规则IV为我们提供了计算函数沿闭曲线积分的又一种方法 在很多情况下 它比利用上一段中的方法更简便 例6 99 100 101 102 103 104 105 作业 P1471 1 4 7 8 2 4 6 8 9 1 2 5 106 留数定理是复变函数的定理 若要在实变函数定积分中应用 必须将实变函数变为复变函数 这就要利用解析延拓的概念 留数定理又是应用到回路积分的 要应用到定积分 就必须将定积分变为回路积分中的一部分 3留数在定积分计算上的应用 如图 对于实积分 变量x定义在闭区间 a b 线段 此区间应是回路的一部分 实积分要变为回路积分 则实函数必须解析延拓到复平面上包含回路的一个区域中 而实积分成为回路积分的一部分 107 1 形如的积分 其中R cosq sinq 为cosq与sinq的有理函数 令z eiq 则dz ieiqdq 而 108 其中f z 是z的有理函数 且在单位圆周 z 1上分母不为零 根据留数定理有 其中zk k 1 2 n 为单位圆 z 1内的f z 的孤立奇点 例1计算的值 解 由于0 p 1 被积函数的分母在0 q 2p内不为零 因而积分是有意义的 由于cos2q e2iq e 2iq 2 z2 z 2 2 因此 109 110 2020 1 8 111 在被积函数的三个极点z 0 p 1 p中只有前两个在圆周 z 1内 其中z 0为二级极点 z p为一级极点 112 例2计算的值 解 令 113 例3 解 114 取积分路线如图所示 其中CR是以原点为中心 R为半径的在上半平面的半圆周 取R适当大 使R z 所有的在上半平面内的极点zk都包在这积分路线内 115 此等式不因CR的半径R不断增大而有所改变 116 例4 117 例5 解 118 第十三次课12月17日 119 120 121 也可写为 例6计算的值 解 这里m 2 n 1 m n 1 R z 在实轴上无孤立奇点 因而所求的积分是存在的 在上半平面内有一级极点ai 122 例4计算积分的值 解 因为是偶函数 所以 123 因此 要算出所求积分的值 只需求出极限 下面将证明 由于 所以 124 j z 在z 0处解析 且j 0 i 当 z 充分小时可使 j z 2 而 由于 在r充分小时 125 126 127 128 129 130 131 第六章共形映射 132 1 曲线的切线2 导数的几何意义3 共形映射的概念 1共形映射的概念 133 1 曲线的切线 设连续曲线 134 135 定义切线随切点的移动而连续转动的有向曲线称为有向光滑曲线 136 2 解析函数导数的几何意义 辐角和模 则 137 即 138 139 140 保角性 141 由上述讨论我们有 142 143 3 共形映射的概念 144 定理 145 146 在D内作以z0为其一个顶点的小三角形 在映射下 得到一个以w0为其一个顶点的小曲边三角形 这两个三角形对应边长之比近似为 f z0 有一个角相等 则这两个三角形近似相似 定理一的几何意义 147 148 149 150 151 3 共形映射的概念 152 定理 153 1 分式线性映射的定义2 分式线性映射的性质 2分式线性映射 154 1 分式线性映射的定义 155 分式线性映射 1 总可以分解成下述三种特殊映射的复合 156 事实上 157 158 定义 规定无穷远点的对称点为圆心o 159 160 2 分式线性映射的性质 161 详见P195 162 定理1 163 164 165 定理2 定理3 在分式线性映射下 圆周或直线上没有点趋于无穷点 则它映射成半径为有限的圆周 若有一点映射成无穷远点 它映射成直线 166 作业 P2451 7 8 1 5 P24615 1 2 16 1 2 167 1 分式线性映射的存在唯一性2 举例 3唯一决定分式线性映射的条件 168 定理 1 分式线性映射的存在唯一性 169 证明 170 式 1 是三对点所确定的唯一的一个映射 因此 式 1 说明分式线性映射具有保交比不变性 171 由分式线性映射的存在唯一性定理知 以下讨论这个映射会把C的内部映射成什么 不可能把d1的部分映 入D1 d1的另一部分映入D2 172 事实上 173 由以上讨论给出确定对应区域的两个方法 174 事实上 175 由上一节和本节的讨论 还有以下结论 176 177 例1 解 2 举例 178 179 180 第十五次课12月31日 181 例2 解 182 x y z o 183 184 185 例3 解 1 186 187 例4 解 188 189 例5 解 190 191 作业 P24615 1 2 16 1 2 192 1 幂函数2 指数函数 4几个初等函数所构成的映射 193 1 幂