离心率的五种求法.doc

.离心率的五种求法离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现.椭圆的离心率，双曲线的离心率，抛物线的离心率一、 直接求出，求解已知标准方程或易求时，可利用离心率公式来求解。例1. 过双曲线C：的左顶点A作斜率为1的直线，若与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（ ）A. B. C. D. 分析：这里的，故关键是求出，即可利用定义求解。解：易知A（-1，0），则直线的方程为。直线与两条渐近线和的交点分别为B、C，又|AB|=|BC|，可解得，则故有，从而选A。二、变用公式，整体求出例2. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 分析：本题已知，不能直接求出a、c，可用整体代入套用公式。解：因为双曲线的一条渐近线方程为，所以 ，则，从而选A。1.设双曲线（a0,b0）的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于( C )A. B.2 C. D. 解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得，因渐近线与抛物线相切，所以，即.2.过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为若，则双曲线的离心率是 ( ) A B C D答案：C 【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B，C，即，3.过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为( ) A B C D 【解析】因为，再由有即从而可得，故选B三、构造、的齐次式，解出根据题设条件，借助、之间的关系，构造、的关系（特别是齐二次式），进而得到关于的一元方程，从而解得离心率。例3.已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴， 直线交轴于点若，则椭圆的离心率是（ ）A B C D 【解析】对于椭圆，因为，则 1.设和为双曲线()的两个焦点, 若，是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( ) A B C D3【解析】由有,则,故选B.2.双曲线虚轴的一个端点为，两个焦点为、，则双曲线的离心率为（ ）A B C D 解：如图所示，不妨设，则，又，在中， 由余弦定理，得,即， ，故选B3.设是等腰三角形，则以为焦点且过点的双曲线的离心率为（ B ）AB C D4.设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. B. C. D.解析：选D.不妨设双曲线的焦点在轴上，设其方程为：，则一个焦点为一条渐近线斜率为：，直线的斜率为：，解得.5.设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ D ）A. B. C. D. 解：由6.双曲线的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ B ）ABCD7.设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，且，则双曲线的离心率为（ B ）ABCD解8如图，和分别是双曲线（）的两个焦点，和是以为圆心，以 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A B C D 6.解析：连接AF1，AF2F1=30，|AF1|=c，|AF2|=c， ，双曲线的离心率为，选D。9. 设、分别是椭圆（）的左、右焦点，是其右准线上纵坐标为（为半焦距）的点，且，则椭圆的离心率是（ ）A B C D 10.设双曲线（）的半焦距为，直线过，两点.已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为( )A. B. C. D. 解：由已知，直线的方程为，由点到直线的距离公式，得，又, ,两边平方，得，整理得，得或，又 ，故选A11.知、是双曲线（）的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）A. B. C. D. 解：如图，设的中点为， 把P点坐标代人双曲线方程，有，化简得 解得，故选D四、第二定义法由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率e是动点到焦点的距离与相应准线的距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。例4：设椭圆（）的右焦点为，右准线为，若过且垂直于轴的弦的长等于点到的距离，则椭圆的离心率是.解：如图所示，是过且垂直于轴的弦，于，为到准线的距离，根据椭圆的第二定义， 1在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该椭圆的离心率为（ ）A B C D 解：2在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D 五、构建关于的不等式，求的取值范围1已知双曲线（）的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）A B C D 2椭圆（）的焦点为、，两条准线与轴的交点分别为、，若，则该椭圆离心率的取值范围是（）AB CD1.双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率， ，离心率e2=， e2，选C2.椭圆的焦点为，两条准线与轴的交点分别为，若，则，