（全国通用）2018年高考数学 考点一遍过 专题15 三角恒等变换（含解析）文.doc

考点15三角恒等变换1两角和与差的三角函数公式（1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.（2）会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.（3）会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.2简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）.一、两角和与差的三角函数公式1两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）：（2）：（3）：（4）：（5）：（6）：2二倍角公式（1）：（2）：（3）：3公式的常用变形（1）；（2）降幂公式：；（3）升幂公式：；（4）辅助角公式：，其中，二、简单的三角恒等变换1半角公式（1）（2）（3）【注】此公式不用死记硬背，可由二倍角公式推导而来，如下图：2公式的常见变形（和差化积、积化和差公式）（1）积化和差公式：；.（2）和差化积公式：；.考向一三角函数式的化简1化简原则（1）一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；（2）二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；（3）三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等2化简要求（1）使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少；（2）式子中的分母尽量不含根号.3化简方法（1）切化弦；（2）异名化同名；（3）异角化同角；（4）降幂或升幂典例1 化简：=.【答案】【解析】原式=tan.【方法技巧】(1)三角化简的常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化(2)三角化简的标准：三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值(3)在化简时要注意角的取值范围.1的化简结果为_考向二三角函数的求值问题1给角求值给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解.2给值求值已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路：（1）先化简所求式子（2）观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)（3）将已知条件代入所求式子，化简求值3给值求角通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：（1）已知正切函数值，则选正切函数（2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数若角的范围是，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，则选余弦较好；若角的范围为，则选正弦较好.4常见的角的变换（1）已知角表示未知角例如：，.（2）互余与互补关系例如：，.（3）非特殊角转化为特殊角例如：15=4530，75=4530.典例2 的值是abcd1【答案】a【名师点睛】把所求式子中的角105变为90+15，利用诱导公式cos（90+）=sin化简后，再利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，即可求出值“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式.2计算的值等于abcd1典例3已知tan()=,tan =,且,(0,),则2=abcd或【答案】c又(0,),所以0.又,所以20),且y=f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.（1）求的值；（2）求f(x)在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）1；（2）f(x)在区间上的最大值和最小值分别为,1.因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为,且0,所以=4,因此=1.（2）由（1）知f(x)=sin(2x).当x时,2x.所以sin(2x)1.因此1f(x).故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为,1.5已知向量a=，b=(sin x，cos 2x)，xr，设函数f(x)=ab.（1）求f(x)的最小正周期；（2）求f(x)在上的最大值和最小值1coscos cos=abcd2已知，则的值为abcd3已知锐角满足，则的值为abcd或4设，且，则abcd5已知向量a=，b=(4,4cos)，若ab，则sin=abcd6已知，且，则a0 bcd或7已知,则abcd8已知为锐角，若，则abcd9若，则_10在斜三角形中，则_.11已知函数，若为函数的一个零点，则_12已知，（1）求的值；（2）求的值13已知函数.（1）求的最小正周期和最值；（2）设是第一象限角，且求的值.1（2017年高考新课标卷）已知，则=abcd2（2017年高考山东卷）已知,则abcd3（2016高考新课标文）若，则abcd4（2017年高考新课标卷）函数的最大值为.5（2017年高考江苏卷）若则.6（2017年高考新课标卷）已知，tan =2，则=.7（2016年高考新课标i卷）已知是第四象限角，且sin(+)=，则tan()=.8（2016年高考浙江卷）已知，则_，b=_变式拓展1【答案】2sin4 2【答案】c【解析】由知，原式=，故填3【答案】（1）；（2）【解析】（1）由，得.，于是. （2）由，得又，.由得.4【答案】d 5【答案】（1）；（2）f(x)在上的最大值是1，最小值是.【解析】f(x)=(sin x，cos 2x)=cos xsin xcos 2x=sin 2xcos 2x=.（1）f(x)的最小正周期为，即函数f(x)的最小正周期为.（2）0x，.由正弦函数的性质，当，即时，f(x)取得最大值1.当，即x=0时，f(0)=，当，即时，f(x)的最小值为.因此，f(x)在上的最大值是1，最小值是.考点冲关1【答案】a 2【答案】c【解析】由题意得，两边同时平方得故选c.3【答案】b【解析】因为锐角，所以，因此，因为，所以，选b.4【答案】b5【答案】b 【解析】ab，ab=44cos=2sin6cos=4=0，,6【答案】b【解析】因为，所以，当时，不合题意，舍去；当时，应选b.7【答案】d【解析】因为，所以，应选d.8【答案】c【解析】为锐角且，则，故本题选c.9【答案】【解析】由题设可得，即，应填.10【答案】11【答案】【解析】由，化简可得，由，得,又，所以，故，此时：.12【答案】（1）；（2）.【解析】（1）（2）因为，所以，所以，因为，所以，所以【名师点睛】在三角化简求值类题目中，常常考“给值求值”的问题，遇见这类题目一般的方法是配凑角：即将要求的式子通过配凑，得到与已知角的关系，进而用两角和与差的公式展开求值即可.13【答案】（1）的最小正周期是，最大值为，最小值为；（2）.，则，即，又为第一象限的角，则，.直通高考1【答案】a【解析】.所以选a.【名师点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度：（1）变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.（2）变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.（3）变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用或变用公式”、“通分或约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.2【答案】d【名师点睛】(1)三角函数式的化简与求值要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结构与特征(2)三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点3【答案】d 【解析】故选d.【方法点拨】三角函数求值：“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系4【答案】【解析】.【名师点睛】通过配角公式把三角函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征一般可利用求最值.5【答案】【解析】故答案为【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异一般有如下两种思路：适当变换已知式，进而求得待求式的值；变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角6【答案】【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；变换待求式，