高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 抛物线的简单几何性质 第1课时 抛物线的简单几何性质课时提升作业2 新人教A版选修1-1.doc

抛物线的简单几何性质一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016吉安高二检测)已知f是抛物线y2=x的焦点,a,b是该抛物线上的两点,|af|+|bf|=3,则线段ab的中点到y轴的距离为()a.34b.1c.54d.74【解析】选c.由抛物线的定义,有|af|+|bf|=xa+p2+xb+p2=xa+xb+p=3,故xa+xb=3-p=52,故线段ab的中点到y轴的距离为54.【延伸探究】若将上题改为f是抛物线x2=2y的焦点,a,b是抛物线上的两点,|af|+|bf|=6,则线段ab的中点到x轴的距离为.【解析】|af|+|bf|=6,由抛物线的定义可得|ad|+|be|=6,又线段ab的中点到抛物线准线y=-12的距离为12(|ad|+|be|)=3,所以线段ab的中点到x轴的距离为52.答案:522.(2016温州高二检测)已知抛物线y2=6x的焦点为f,准线为1,点p为抛物线上一点,且在第一象限,pal,垂足为a,|pf|=2,则直线af的倾斜角为()a.45b.23c.34d.56【解题指南】可先画出图形,得出f32,0,由抛物线的定义可以得出|pa|=2,从而可以得出p点的横坐标,代入抛物线方程便可求出p点的纵坐标,这样即可得出a点的坐标,从而求出直线af的斜率,根据斜率便可得出直线af的倾斜角.【解析】选d.如图,由抛物线方程得f32,0;|pf|=|pa|=2,所以p点的横坐标为2-32=12;所以y2=612,p在第一象限,所以p点的纵坐标为3;所以a点的坐标-32,3;所以af的斜率为0-332-32=-33;所以af的倾斜角为56.3.已知直线l经过抛物线y2=2px(p0)的焦点f,且与抛物线交于p,q两点,由p,q分别向准线引垂线pk,qs,垂足分别为k,s,如果|pf|=a,|qf|=b,m为ks的中点,则|mf|的值为()a.a+bb.12(a+b)c.abd.ab【解析】选d.如图,根据抛物线的定义,有|pf|=|pk|,|qf|=|qs|,易知kfs为直角三角形,故要求的是直角三角形斜边上的中线长.在直角梯形pksq中,容易求得|ks|=2ab.故|fm|=12|ks|=ab.4.已知直线l过抛物线c的焦点,且与c的对称轴垂直, l与c交于a,b两点,|ab|=12,p为c的准线上一点,则abp的面积为()a.18b.24c.36d.48【解析】选c.如图所示,设抛物线方程为y2=2px(p0).因为当x=p2时,|y|=p,所以p=|ab|2=122=6.又p到ab的距离始终为p,所以sabp=12126=36.5.(2015浙江高考)如图,设抛物线y2=4x的焦点为f,不经过焦点的直线上有三个不同的点a,b,c,其中点a,b在抛物线上,点c在y轴上,则bcf与acf的面积之比是()a.|bf|-1|af|-1b.|bf|2-1|af|2-1c.|bf|+1|af|+1d.|bf|2+1|af|2+1【解析】选a.sbcfsacf=12bch12ach=|bc|ac|=|bm|an|=xbxa=bf-1af-1.二、填空题(每小题5分,共15分)6.设抛物线y2=mx的准线与直线x=1的距离为3,则抛物线的方程为.【解析】当m0时,准线方程为x=-m4=-2,所以m=8,此时抛物线方程为y2=8x;当m0)上,且一直角边的方程是y=2x,斜边长是5,求此抛物线的方程.【解析】如图,设直角三角形为aob,直角顶点为o,ao边的方程为y=2x,则ob边的方程为y=-12x.由y=2x,y2=2px,得a点坐标为p2,p.由y=-12x,y2=2px,得b点坐标为(8p,-4p).因为|ab|=5,所以p2-8p2-(p+4p)2=5.因为p0,解得p=21313,所以所求抛物线方程为y2=41313x.10.(2016淮安高二检测)如图,已知抛物线y2=4x的焦点为f,过点p(2,0)的直线交抛物线于a(x1,y1),b(x2,y2)两点,直线af,bf分别与抛物线交于点m,n.(1)求y1y2的值.(2)记直线mn的斜率为k1,直线ab的斜率为k2,证明:k1k2为定值.【解题指南】(1)设出直线ab的方程,把直线方程代入抛物线方程中整理化简,然后根据一元二次方程根与系数的关系可求.(2)表示出斜率,根据根与系数的关系代入化简可求得定值.【解析】(1)依题意,设ab的方程为x=my+2,代入y2=4x,得y2-4my-8=0,从而y1y2=-8.(2)设m(x3,y3),n(x4,y4),k1k2=y3-y4x3-x4x1-x2y1-y2=y3-y4y324-y424y124-y224y1-y2=y1+y2y3+y4,设直线am的方程为x=ny+1,代入y2=4x消去x得:y2-4ny-4=0,所以y1y3=-4,同理y2y4=-4,k1k2=y1+y2y3+y4=y1+y2-4y1+-4y2=y1y2-4,由(1)y1y2=-8,所以k1k2=2为定值.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016成都高二检测)设f为抛物线y2=4x的焦点,a,b,c为抛物线上不同的三点,点f是abc的重心,o为坐标原点,ofa,ofb,ofc的面积分别为s1,s2,s3,则s12+s22+s32=()a.9b.6c.3d.2【解析】选c.设a,b,c三点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),因为抛物线y2=4x的焦点f的坐标为(1,0),所以s1=12|y1|,s2=12|y2|,s3=12|y3|,所以s12+s22+s32=14(y12+y22+y32)=x1+x2+x3,因为点f是abc的重心,所以x1+x2+x3=3,所以s12+s22+s32=3.2.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是()a.43b.75c.85d.3【解析】选a.设抛物线y=-x2上一点为(m,-m2),该点到直线4x+3y-8=0的距离为|4m-3m2-8|5,当m=23时,取得最小值为43.【一题多解】选a.设与4x+3y-8=0平行的直线l的方程为4x+3y+m=0,由y=-x2,4x+3y+m=0,消去y得,3x2-4x-m=0,由=0得,16+12m=0,解得m=-43.所以l的方程为4x+3y-43=0.因此抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是d=|-8-43|42+32=43.二、填空题(每小题5分,共10分)3.已知点p是抛物线y2=4x上的动点,点p在y轴上的射影是m,点a(4,6),则|pa|+|pm|的最小值是.【解题指南】将p到y轴的距离,转化为点p到焦点的距离,当a,p,f共线时,|pa|+|pm|最小.【解析】由y2=4x,得p=2,所以f(1,0),如图,|pm|=|pf|-p2=|pf|-1,所以|pa|+|pm|=|pa|+|pf|-1|af|-1=(4-1)2+(6-0)2-1=35-1.答案:35-14.(2016南昌高二检测)已知点a(2,0),抛物线c:x2=4y的焦点为f,射线fa与抛物线c相交于点m,与其准线相交于点n,则|fm|mn|=.【解析】因为抛物线c:x2=4y的焦点为f(0,1),点a坐标为(2,0),所以抛物线的准线方程为l:y=-1,直线af的斜率为k=0-12-0=-12.过m作mpl于p,根据抛物线的定义得|fm|=|pm|.因为rtmpn中,tanmnp=-k=12,所以|pm|pn|=12,可得|pn|=2|pm|,得|mn|=|pn|2+|pm|2=5|pm|.所以|pm|mn|=15,可得|fm|mn|=|pm|mn|=15.答案:15三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016长春高二检测)点m(m,4)(m0)为抛物线x2=2py(p0)上一点,f为其焦点,已知|fm|=5.(1)求m与p的值.(2)以m点为切点作抛物线的切线,交y轴于点n,求fmn的面积.【解析】(1)由抛物线定义知,|fm|=p2+4=5,所以p=2.所以抛物线的方徎为x2=4y,又由m(m,4)在抛物线上,所以m=4.故p=2,m=4.(2)设过m点的切线方程为y-4=k(x-4),代入抛物线方程消去y得,x2-4kx+16k-16=0,其判别式=16k2-64(k-1)=0,所以k=2,切线方程为y=2x-4,切线与y轴的交点为n(0,-4),抛物线的焦点f(0,1),所以sfmn=12|fn|m=1254=10.6.(2016福州高二检测)如图,抛物线e:y2=4x的焦点为f,准线l与x轴的交点为a.点c在抛物线e上,以c为圆心,|co|为半径作圆,设圆c与准线l交于不同的两点m,n.(1)若点c的纵坐标为2,求|mn|.(2)若|af|2=|am|an|,求圆c的半径.【解析】(1)抛物线y2=4x的准线l的方程为x=-1.由点c的纵坐标为2,得点c的坐标为(1,2),所以点c到准线l的距离d=2,又|co|=5.所以|mn|=2|co|2-d2=25-4=2.(2)设cy024,y0,则圆c的方程为x-y0242+(y-y0)2=y0416+y02,即x