高中数学 第三章 基本初等函数（Ⅰ）3.4 函数的应用（Ⅱ）课堂探究 新人教B版必修1.doc

3.4 函数的应用（）课堂探究探究一 指数函数模型指数函数yax(a1)经复合可以得到指数型函数，指数型函数的函数值变化较快，例如，生活中接触的储蓄问题，也就是增长率问题，就是指数型函数指数型函数函数值的增长速度随底数不同而不同【典型例题1】 某公司预投资100万元，有两种投资方案可供选择：方案一：年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；方案二：年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)思路分析：这是一个单利和复利所获得收益多少的比较问题可先按单利和复利计算5年后的本息和分别是多少，再通过比较作答解：本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后的本息和是100(110%5)150(万元)本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是100(19%)5153.86(万元)由此可见，方案二更有利，5年后多得利息约3.86万元探究二 对数函数模型对数函数ylogax(x0，a1)经复合可以得到对数型函数，其函数值变化比较缓慢直接以对数型函数作为模型的应用问题不是很多，但我们知道，对数运算实际上是求指数的运算，因此在指数函数模型中，也常用对数计算【典型例题2】 20世纪30年代，查尔斯里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级m，其计算公式为mlg alg a0，其中，a是被测地震的最大振幅，a0是标准地震的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差)(1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪测得的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级(精确到0.1)；(2)5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍(精确到1)解：(1)依题意知mlg 20lg 0.001lg lg 20 000lg 2lg 1044lg 24.3.因此这是一次里氏约4.3级的地震(2)由mlg alg a0，可知mlg，所以10m.所以aa010m.当m7.6时，地震的最大振幅为a1a0107.6；当m5时，地震的最大振幅为a2a0105.所以两次地震的最大振幅之比是107.65102.6398，所以7.6级地震的最大振幅大约是5级地震最大振幅的398倍探究三 幂函数模型幂函数yx(0)经过复合可以得到幂函数型函数，其增长变化率也较快【典型例题3】 2014年某地官方数字显示：该地区人口约有60万，但其人口总数在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？以下数据供计算时使用：真数n1.0101.0151.0171.3102.000对数lg n0.004 30.006 50.007 30.117 30.301 0解：设每年人口平均增长率为x，n年前的人口数为y，则y(1x)n60，则当n40时，y30，即30(1x)4060.(1x)402，两边取对数，则40lg(1x)lg 2，则lg(1x)0.007 526，1x1.017，得x1.7%.探究四 建立拟合函数模型对于给出一组数据拟合函数模型的题目，应根据数据找出比较合理的函数模型根据数据特点，可能有多种结果，因此用哪一个还需结合实情选择，总之建立拟合函数模型是一个不断优化的过程【典型例题4】 某工厂今年1,2,3月生产产品分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y(万件)与月份数x的关系，模拟函数可以选用二次函数或者函数yabxc(a0)，如果已知4月份的产量为1.37万件，问用以上哪一个函数模拟比较好？理由是什么？思路分析：本题已给定两种供选择的函数模型，处理的关键就是根据已知数据求出模拟函数的具体表达式，然后分别用这两个所求的函数表达式来预测4月份的产量，看哪一个函数表达式的预测值与实际值比较接近解：设f(x)px2qxr(p0)由f(1)1，f(2)1.2，f(3)1.3，得解得p0.05，q0.35，r0.7.f(x)0.05x20.35x0.7.f(4)1.3.设g(x)abxc(a0)由g(1)1，g(2)1.2，g(3