高中数学 第一章 统计案例 1.2 独立性检验 1.2.1 条件概率与独立事件知识导航素材 北师大版选修12.doc

1.2 独立性检验1.2.1 条件概率与独立事件自主整理1.已知b发生的条件下,a发生的概率,称为_,记为_.2.一般地,对两个事件a、b,如果p(ab)=p(a)p(b),则称_.高手笔记1.解答概率问题,首先要区分是条件概率,还是无条件概率,条件概率的前提条件是:在知道事件a必然发生的前提下,只需局限在a发生的范围内考虑问题,在事件a发生的前提下事件b发生,等价于事件a和事件b同时发生,即ab发生,由古典概型知其条件概率为:p(b|a)=,其中n()为一次试验中可能出现的结果数,n(a)为事件a所包含的结果数,n(ab)为ab同时发生时的结果数.2.如果b、c是两个互斥事件,在事件a发生的前提下,互斥事件b、c有一个发生的概率为p(bc|a)=p(b|a)+p(c|a).特殊地.若事件a是一次试验的所有可能结果就与无条件的概率统一起来.3.区别事件间的“互斥”与“相互独立”概念，两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响.4.应用公式时要注意前提条件,只有对于相互独立事件才能用p(ab)=p(a)p(b),而1-p(a)p(b)是表示相互独立事件a与b中至少有一个不发生的概率,它在求概率计算中经常用到.而在一般情况下,对于n个随机事件a1,a2,an,有p(a1+a2+an)=1-p().5.如果a、b相互独立,则a与,与b,与也相互独立,如果a1,a2, ,an相互独立,则有p(a1a2an)=p(a1)p(a2)p(an).名师解惑如果a、b相互独立,证明a与,与b,与也相互独立.证明:a、b相互独立,则p(b|a)=p(b)=,从而p(|a)=1-p(b|a)=1-p(b)=p(b)=,p(a)=p(a)p().a与相互独立.同理,与b也相互独立.p(b)=p()p(b).又p(b|)=1-p(b|)=1-p(b)=p()=,p()=p()p().与也相互独立.讲练互动【例1】在由12道选择题和4道填空题组成的考题中,如果不放回地依次抽取2道题.求:(1)第一次抽到填空题的概率;(2)第一次和第二次都抽到填空题的概率;(3)在第一次抽到填空题的前提下,第二次抽到填空题的概率.分析：(1)为无条件古典概型,(2)为相互独立事件同时发生的概率,(3)为条件概率,可由(1)(2)求出.解：设第一次抽到填空题为事件a,第二次抽到填空题为事件b,则第一次和第二次都抽到填空题为事件ab.(1)p(a)=.(2)p(ab)=.(3)p(b|a)=.绿色通道 求概率时分清是否为条件概率,并弄清事件a、事件b及计算公式.变式训练1.甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有10个不同的题目,其中选择题6个,判断题4个,甲、乙两人依次各抽1题,在甲抽到选择题的前提下,乙抽到判断题的概率是多少?解:设甲抽到选择题为事件a,乙抽到判断题为事件b,则p(a)=,p(ab)=.则p(b|a)=.答:在甲抽到选择题的前提下,乙抽到判断题的概率是.【例2】10张奖券中有3张有奖,甲、乙两人从中各抽1张,甲先抽、乙后抽,求:(1)甲中奖的概率;(2)乙中奖的概率;(3)在甲未中奖的情况下,乙中奖的概率.分析：甲未中奖与甲中奖是对立事件,(3)为条件概率.解：设甲中奖为事件a,乙中奖为事件b.(1)则p(a)=,(2)p(b)=p(ab+b)=p(ab)+p(b),p(ab)=,p(b)=,p(b)=+=.(3)p()=,p(b)=,p(b|)=.答:甲中奖的概率为,乙中奖的概率为,在甲未中奖的条件下,乙中奖的概率为.绿色通道 在无任何条件下,甲、乙不论谁先、谁后中奖概率相同,但在已知甲未中奖的情况下乙中奖的概率就变大了.变式训练2.15张奖券中有5张能中奖,甲、乙、丙三人依次抽1张.解:设甲中奖为事件a,乙中奖为事件b,丙中奖为事件c,则p(a)=,p(b)=,p(c)=.设甲、乙都未中奖为事件d,则p(d)=p()=,p(cd)=,p(c|d)=.在甲、乙都未中奖的前提下,丙中奖的概率是.求:(1)甲中奖的概率;(2)乙中奖的概率;(3)在甲、乙都未中奖的前提下,丙中奖的概率.【例3】甲射击命中目标的概率是,乙命中目标的概率是,丙命中目标的概率是,现在三人同时射击目标,求目标被击中的概率.分析：甲、乙、丙分别射中目标是相互独立的,利用独立事件来求概率,目标被击中是指甲、乙、丙三人至少有一人射中目标.解：设甲击中目标为事件a,乙击中目标为事件b,丙击中目标为事件c,目标未被击中为事件,则目标被击中的概率p=1-p()=1-p()p()p()=1-1-p(a)1-p(b)1-p(c)=1-(1)(1)(1)=.答:目标被击中的概率为.绿色通道 已知事件a、事件b、事件c为相互独立事件,则a、b、c也为相互独立事件,p()=p()p()p().变式训练3.甲、乙两人各进行一次射击,如果两人击中目标的概率都是0.6.求:(1)两人都击中目标的概率;(2)其中恰有1人击中目标的概率;(3)至少有1人击中目标的概率.答案：设甲击中目标为事件a,乙击中目标为事件b,则p(a)=0.6,p(b)=0.6,p()=0.4,p()=0.4.(1)p(ab)=p(a)p(b)=0.60.6=0.36.(2)p(a+b)=p(a)+p(b)=p(a)p()+p()p(b)=0.60.4+0.40.6=0.48.(3)至少有一人击中目标的概率为p(ab)+p(a+b)=0.36+0.48=0.84或1-p()=1-p()p()=1-0.40.4=0.84.【例4】有三种产品,合格率分别为0.90,0.95,0.95,各抽取一件进行检验,(1)求恰有一件不合格的概率;(2)求至少有两件不合格的概率.分析：恰有一件不合格分三种情况,可以看成由三个基本事件构成的,三个事件之间又是相互独立的,至少有两件不合格,正面考虑情况复杂,可考虑此事件的对立事件.解：设三种产品各抽取一件,抽到合格产品的事件分别是a、b和c,p(a)=0.90,p(b)=p(c)=0.95,p()=0.10,p()=p()=0.05.(1)事件a、b、c相互独立,恰有一件不合格的概率为p(ab)+p(ac)+p(bc)=p(a)p(b)p()+p(a)p()p(c)+p()p(b)p(c)=20.900.950.05+0.10.950.95=0.176.答:恰有一件产品不合格的概率为0.176.(2)方法一:至少有两件不合格的概率为p(a)+p(b)+p(c)+p()=0.900.052+20.100.050.95+0.100.052=0.012.答:至少有两件不合格的概率为0.012.方法二:三件产品都合格的概率是p(abc)=p(a)p(b)p(c)=0.90.952=0.812,由(1),知恰有一件不合格的概率为0.176,至少有两件不合格的概率为1-p(abc)+0.176=1-(0.812+0.176)=0.012.答:至少有两件不合格的概率为0.012.绿色通道 把一个笼统事件等价转化后,分解成几个具体的相互独立的事件是解决问题的关键.变式训练4.某工人看管三台设备,在一天内不需要工人维护的概率,第一台为0.9,第二台为0.8,第三台为0.85.问一天内:(1)3台机器都要维护的概率是多少?(2)其中恰有一台要维护的概率是多少?(3)至少有一台要维护的概率是多少?解:用a、b、c分别表示事件第一、第二、第三台设备不需要维护,这三个事件是相互独立的.(1)三台机器都要维护的概率为p=p()=p()p()p()=(1-0.9)(1-0.8)(1-0.85)=0.003.(2)恰有一台要维护的概率是p(bc+ac+ab)=p(bc)+p