高中数学 第一章 统计 1.8 最小二乘估计自主练习 北师大版必修3.DOC

高中数学 第一章 统计 1.8 最小二乘估计自主练习 北师大版必修3我夯基我达标1.设有一个回归方程y=2-1.5x,则变量x增加一个单位时()a.y平均增加1.5个单位b.y平均增加2个单位c.y平均减少1.5个单位d.y平均减少2个单位思路解析:(2-1.5x1)-(2-1.5x2)=-1.5(x1-x2),若变量x增加一个单位,即x1-x2=1,则y平均减少1.5个单位,所以应选c.答案:c2.线性回归方程y=a+bx必定过()a.(0,0)b.(,0)c.(0,) d.(,)思路解析:由公式中的a=-b,得=b+a,又(xi,yi)(i=1,2,n)的中心点(,)恰好满足方程=b+a,故线性回归方程y=a+bx必过(,)点.答案:d3.近10年来,某市社会商品零售总额与职工工资总额数据如下(单位:亿元):工资总额x23.827.631.632.433.734.943.252.863.873.4社会商品总额y41.451.861.767.968.777.595.9137.4155.0175.0建立社会商品零售总额y与职工工资总额x的线性回归方程是()a.y=2.799 1x-27.248 5b.y=2.799 2x-23.549 3c.y=2.699 2x-23.749 3d.y=2.899 2x-23.749 4思路解析:利用计算器容易求得,xi,yi,xi2,xiyi,代入公式求出a、b得方程为y=2.799 2x-23.549 3.答案:b4.针对某工厂某产品产量与单位成本的资料进行线性回归分析如下:月份产量(千件)xi单位成本(元/件)yixi2xiyia=71-(-1.818 2)77.3712734146则产量每增加1 000件,单位成本下降_元.思路解析:由上表可得y=-1.818 2x+77.37,产量每增加1千件,则单位成本下降1.818 2元.答案:1.818 25.某地区某种病的发病人数呈上升趋势,统计近四年这种病的新发病人数的线性回归分析如下表所示:年份(xi)该年新发病人数(yi)=1 997.5,=2 540.25b=94.7a=-b=-186 62319962 40019972 49119982 58619992 684如果不加控制,仍按这个趋势发展下去,请预测从2000年初到2003年底的四年时间里,该地区这种病的新发病总人数约为_.思路解析:由上表可得:y=94.7x-186 623,当x分别取2 000,2 001,2 002,2 003时,得估计值分别为:2 777,2 871.7,2 966.4,3 061.1,则总人数约为2 777+2 871.7+2 966.4+3 061.111 676.答案:11 6766.在10年期间,一城市居民的年收入与某种商品的销售额之间的关系有如下数据.第n年12345居民年收入x(亿元)32.231.132.935.837.1某商品销售额y(万元)25.030.0343739.0第n年678910居民年收入x(亿元)38.039.04344.646.0某商品销售额y(万元)4142424851.0(1)画出散点图;(2)如果它们具有线性关系,请用excel软件求出回归直线方程.思路分析:通过散点图检验两个变量是否具有线性相关关系后,再求回归方程.从散点图能看出它们有较好的线性关系.解:(1)根据数据画出散点图.(2)从散点图看出它们具有线性关系,可以用最小二乘估计方法或用excel软件求出回归直线方程y=1.447x-15.843.7.某城区为研究城镇居民月家庭人均生活费支出和月人均收入的相关关系,随机抽取10户进行调查,其结果如下:月人均收入x(元)3003904205045707007608008501 080月人均生活费y(元)255324330345450520580650700750利用上述资料:(1)画出散点图;(2)如果变量x与y之间具有线性相关关系,求出回归直线方程;(3)测算人均收入为280元时,人均生活费支出应为多少元?思路分析:这是一个实际应用的回归分析问题,其实就是找出回归方程,通过回归直线方程来分析月人均收入与月人均生活费的关系.解:(1)散点图如图所示.(2)回归直线方程为y=0.707 61x+39.371 03.(3)测算人均收入为280元时,人均生活费支出应为237.5元.我综合我发展8.每立方米混凝土的水泥用量x(单位:kg)与28天后混凝土的抗压强度(单位:kg/cm2)之间的关系有如下数据.x150160170180190200y56.958.361.664.668.171.3x210220230240250260y74.177.480.282.686.489.7(1)利用散点图判断它们的相关性;(2)如果y与x之间具有线性相关关系,求回归直线方程.思路分析:求回归直线方程和相关系数,通常是用计算器来完成的.在有的较专门的计算器中,可通过直接按键得出回归直线方程的系数和相关系数,而如果要用一般的科学计算器进行计算,先列出相应的表格,有了表格中的那些相关数据,回归方程中的系数和相关系数就都容易求出了.解:(1)画出散点图.(2)从散点图看出y与x具有线性关系,可以用计算机或计算器求出线性回归方程y=0.304x+10.283.9.以下资料是一位销售经理收集来的每年销售额和销售经验年数的关系:销售经验(年)13446810101113年销售额(千元)809792102103111119123117136(1)依据这些数据画出散点图并作直线y=78+4.2x,计算(2)依据这些数据由最小二乘法求回归直线方程,并据此计算(3)比较(1)和(2)中的平方和的大小,谁更好一些?思路分析:由回归方程的系数的计算公式进行计算.通过本题的解答体会最小二乘估计的优越性.解:(1)散点图与直线y=78+4.2x的图形如下图所示,对x=1,3,13,有y=82.2,90.6,94.8,94.8,103.2,111.6,120,120,124.2,132.6,=178.48.(2)=568,所以b=4,a=-b=108-47=80,故=4x+80.=84,92,96,96,104,112,120,120,124,132.(3)比较可知,用最小二乘法求出的较小,用最小二乘估计的算法优越一些.10.一机器可以按各种不同速度运转,其生产的物件有一些会有问题,每小时生产有问题物件的多寡,随机器运转的速度而变化,下列即为其试验结果:速度 每小时生产有问题物件数8 512814916 11(1)求出机器速度影响每小时生产有问题物件数的回归直线方程;(2)若实际生产中所允许的每小时最大问题物件数为10,那么,机器的速度不得超过多少转/秒?思路分析:把题中的量用回归分析的专用术语改写后再顺着回归分析的一般步骤解题.解:(1)用x来表示机器速度,y表示每小时生产的有问题的物件数,那么有:(x1,y1)=(8,5),(x2,y2)=(12,8),(x3,y3)=(14,9),(x4,y4)=(16,11),则x=12.5,y=8.25.回归直线的斜率为b=0.728 6.截距a=-0.857 1.所以所求的回归方程为y=0.728 6x-0.857 1.(2)根据公式y=0.728 6x-0.857 1,要使y10,即0.728 6x-0.857 110,x14.901 3,即机器的速度不能超过14.901 3转/秒.11.一个工厂在某年里每月产品的总成本y(万元)与该月产量x(万件)之间有如下一组数据.x1.081.121.191.281.361.48y2.252.372.402.552.642.75x1.591.681.801.871.982.07y2.923.033.143.263.363.50(1)画出散点图;(2)求月成本y与月产量x之间的回归直线方程.思路分析:从散点