巧证平行与垂直[文档资料]

巧证平行与垂直 本文档格式为 WORD,感谢你的阅读。 专题策划：巧解立体几何题得满分 编者按：平时在与高三学生通过面对面、电话、网络、信件交流时得知，立体几何解答题在高考试卷中属于中等难度的题目，平时练习的立体几何解答题的难度稍高于高考中的立体几何解答题的难度，因此高考中的立体几何解答题很容易得满分 .然而事实上，近两年我们与高考阅卷老师交流后得知，学生在解答立体几何解答题时丢分现象严重 .其实，高考立体几何解答题考查的知识点就是有数的几个 ，掌握了它们，不想得满分都难，关键在于你是否真正掌握了它们 . 一、平行问题 1.直线与直线平行 策略：要证明直线 a 直线 c，只要先找到直线 b，证明 ab 且 bc 即可 . 例 1 如图 1 所示，在三棱锥 P-ABQ 中， PB 平面ABQ， BA=BP=BQ， D， C， E， F 分别是 AQ， BQ， AP， BP的中点， AQ=2BD， PD与 EQ交于点 G， PC与 FQ交于点 H，连接 GH.求证： ABGH. 难度系数 0.60 分析 由 ABEF ， EFGH ，可知 ABGH. 证明 在 APQ 中， D， E 分别是 AQ， AP 的中点，则 G是 APQ 的重心，于是有 =2.同理有 =2.所以 = ，即 GHEF. 又 EF 是 PAB 的中位线，所以 ABEF. 综上可知 ABGH. 小结 三角形的重心分中线为 21 两部分 .三角形的中位线平行于底边，且等于底边的一半 . 2.直线与平面平行 策略：平面 外的一条直线 a，如果与平面 内的一条直线 b 平行，那么 a. 例 2 如图 2 所示，直三棱柱 ABC-A1B1C1 中， D 是 AB的中点， AA1=AC=CB= AB. 证明： BC1 平面 A1DC. 难度系数 0.65 分析 要证明直线与平面平行，只要证明直线与直线平行或者将其转化为证明向量的数量积为零即可 . 证明 （证法 1）连接 AC1 交 A1C 于点 F，连接 DF. 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，由 AA1=AC，可知四边形ACC1A1 为正方形，故 F 为 AC1 的中点 .在 ABC1 中，由于 D为 AB的中点，所以 DFBC1. 由于 DF？奂平面 A1DC， BC1？埭平面 A1DC，所以BC1 平面 A1DC. （证法 2）设平面 A1DC 的法向量为 n=（ a， b， c），则有 n =0 ， n =0. 由于 =（ - ， 0， - ）， =（ ， ， 0），所以 - a- c=0， a+ b=0. 于是 b=c=-a. 取 n=（ 1， -1， -1），由于 =（ 0， - ， ）， n =0 ，所以 n ，从而有 BC1 平面 A1DC. 小结 用待定系数法确定平面的一个法向量 n，再证明n ，这是理科考生要掌握的方法 . 3.平面与平面平行 策略：要证明平面与平面平行，我们只要先证明其中一个平面 内的两条相交直线与另一平面平行即可 . 例 3 如图 3 所示，在三棱锥 S-ABC 中，平面 SAB 平面 SBC， ABBC ， AS=AB.过 A 作 AFSB ，垂足为 F，点 E， G分别是棱 SA， SC的中点 . 求证：平面 EFG 平面 ABC. 难度系数 0.65 分析 欲证面面平行，先证线面平行，由中点找中点，用三角形中位线的性质解答 . 证明 由于 AS=AB， AFSB ，所以点 F 为 SB 的中点 .由于 E， G 分别是 SA， SC的中点，所以 EFAB ， EGAC. 所以EF 平面 ABC， EG 平面 ABC. 又 EFEG=E ，所以平面 EFG 平面 ABC. 小结 将证明平面与平面平行转化为证明直线与平面平行，将证明直线与平面平行转化为证明直线与直线平行，这体现了立体几何证明题的 “ 降维思想 ”. 二、垂直问题 1.直线与直线垂直 策略：由直线与平面垂直，可知直线与该平面内的任意直线垂直 .另外，也可用向量的数量积为零来证明 . 例 4 如图 4 所示，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， BAD=60. 已知 PB=PD=2， PA= .证 明： BDPC. 难度系数 0.60 分析 要证明 BDPC ，可先证明 BD 平面 APC 或证明 =0. 证明 （证法 1）连接 AC 交 BD于点 O，连接 PO. 由于底面 ABCD 是菱形，所以 ACBD ， BO=DO.由于PB=PD，所以 POBD. 又 POAC=O ，所以 BD 平面 APC，即 BDPC. （证法 2）连接 AC交 BD于点 O，连接 PO. 由于底面 ABCD 是菱形，所以 ACBD. 由于 PB=PD， O 为BD的中点，所以 POBD. 由于 = （ + ） = + =0 ，所以 ，于是有 BDPC. （证法 3）连接 AC交 BD于点 O，连接 PO.以 O 为坐标原点，以 OB所在的直线为 x 轴，以 OC所在的直线为 y 轴，以 OP所在的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系 . 由题设易知 PBD 和 BCD 是边长为 2 的等边三角形，于是可知 B（ 1， 0， 0）， D（ -1， 0， 0）， P（ 0， 0， ）， C（ 0， ， 0），从而有 =（ -2， 0， 0）， =（ 0， ， - ） . 由于 = -20+0 +0 （ - ） =0，所以 ，即BDPC. 小结 如果直线与平面垂直，那么直线与该平面内的任意直线都垂直 . 2.直线与平面垂直 策略：要证明直线与平面垂直，只要先证明直线与该平面内的两条相交直线垂直即可 . 例 5 如图 5 所示，四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形， O 为底面中心，A1O 平面 ABCD， AB =AA1= .证明： A1C 平面 BB1D1D. 难度系数 0.60 分析 找出线段 B1D1 的中点为 E1，先证明 A1CBD ，A1CE1O ，然后结论得证 . 证明 由于 A1O 平面 ABCD，且 BD？奂平面 ABCD，所以 A1OBD. 在正方形 ABCD 中，由于 ACBD ，且 A1OAC=O ，所以BD 平面 A1AC.又 A1C？奂平面 A1AC，所以 A1CBD. 在正方形 ABCD 中， AO=1； 在 RtA1OA 中， A1O=1. 设 B1D1 的中点为 E1，则四边形 A1OCE1 为正方形，所以 A1CE1O. 又 BD？奂平面 BB1D1D， E1O？奂平面 BB1D1D，且BDE1O=O ，所以 A1C 平面 BB1D1D. 小结 从图 形里的 “ 中点 ” ，再找一个 “ 中点 ” ，作出辅助线，这是经常采用的方法，值得琢磨、反思 . 3.平面与平面垂直 策略：要证明平面与平面垂直，只要证明一个平面经过另一个平面的一条垂线即可 . 例 6 如图 6 所示， AB是圆的直径， PA 垂直圆所在的平面， C 是圆上的点 .求证：平面 PAC 平面 PBC. 难度系数 0.65 分析 从半圆上的圆周角是直角入手，证明 BC 平面PAC. 证明 由 AB 是圆的直径，可得 ACBC. 由 PA 平面 ABC， BC？奂平面 ABC， 可得 PABC. 又 PAAC=A ， PA？奂平面 PAC， AC？奂平面 PAC，所以BC 平面 PAC. 由于 BC？奂平面 PBC，所以平面 PAC 平面 PBC. 小结 本题是教材中的经典题目，也是 1995 年全国高考考查过的题型 .看来，抓教材中的典型题目和往年的高考真题，对提高复习效率是很有益处的 . 安振平，陕西省特级教师，中国数学奥林匹克竞赛高级教练员 .先后