正切函数在高中物理解题中的应用[文档资料]

正切函数在高中物理解题中的应用 本文档格式为 WORD,感谢你的阅读。 高中物理新课标中 “ 应用数学工具处理物理问题的能力 ” 是高中物理教学的重要内容，也是高考物理能力考查的重点 .数学中的正切函数反映了直角三角形中边与角之间的关系，在高中物理中，有关物理量之间的关系往往构成直角三角形，运用正切函数可使相关物理问题迎刃而解 .本文通过几个实例来说明正切函数在高中物理解题中的重要地位以及巧妙应用 . 一、正切函数在物体平衡问题中的应用 例 1 一块长木板倾斜放置，与水平面间的倾角为 . 当一个质量为 m 的木块沿着长木板匀速下滑时，试求：木块与长木板间的动摩擦因数 多大？ 分析与解木块沿着长木板匀速下滑时受力如图 1 所示，且三力的合力为零，则有 N=mgcos ， f=N=mgsin. 因此有 mgsin=mgcos, 得 =tan. 点评当物体沿斜面下滑时，比较 和 tan 的大小关系就可以判别物体运动情况 .例如：假设斜面的倾角 37 ，当 =tan37=0.75 时，物体就沿斜面匀速下滑；当=0.5ta n37=0.75 时，物体就沿斜面向下匀减速下滑直至停止 .另外，我们也可以利用上述现象来测定两物体间的动摩擦因数：只要通过调节斜面的倾角 ，恰好做到使物体沿斜面匀速下滑，测出其倾角 ，即得到动摩擦因数为：=tan. 我们把此时斜面的倾角 又称之为 “ 摩擦角 ”. 二、正切函数在临界问题中的应用 例 2 有一质量为 m 的物体静止放在水平地面上，物体与水平地面间的动摩擦因数为 . 现用一个与竖直方向成 角的推力 F 去推物体，如图 2 所示 .设最大静摩擦力等于滑动摩擦力 .试讨论当 角满足什么条件时，无论用多大 的推力 F都不能推动物体？ 分析与解物体受力如图 3 所示，要推不动物体，有：Fxfmax ，即 FsinN=(mg+Fcos), 得到 F(sin -cos)mg. 无论推力 F 多大，要使此式成立，必须有： sin -cos0, 即 tan. 点评由此可见，无论推力 F 多大，要使物体都处在静止状态，即物体不会被推动，也就是发生 “ 自锁 ” 现象 .因此发生 “ 自锁 ” 现象的条件是：推力与竖直方向的夹角满足tan. 三、正切函数在动力学问题中的应用 例 3 如图 4，一个质量为 m 的小球用细线悬挂于车厢顶板上，当车厢以加速度 a 向右做匀加速运动时，则细线偏离竖直方向的角度 为多大？ 分析小球受力如图 5 所示，由牛顿第二定律得mgtan=ma, 则 tan=ag. 四、正切函数在平抛运动中的应用 例 4 一个质量为 m 的小球以水平初速度 v0抛出，不计空气阻力，最后垂直撞在倾角为 的斜面上，求小球在空中飞行的时间为多少？ 分析小球做平抛运动，其轨迹如图 6，最后小球垂直撞在斜面上，即其速度方向与斜面垂直，而速度 v 是由水平速度 vx和竖直速 度 vy组成，则有 tan=vyvx=gtv0, 所以小球在空中飞行的时间为 t=v0tang. 点评对于平抛运动，首先想到将运动分解到水平方向和竖直方向来研究 .而最后小球垂直撞在斜面上，则表明了运动的速度方向与斜面垂直，由图可以发现其三角形中的两个分速度与角 的关系，利用正切函数得解 . 五、正切函数在偏转电场中的应用 例 5 两块长度为 L 的金属板水平、平行相对放置，相距为 d，如图 7 所示，两金属板与一个电源相连，使两板带上等量异种电荷，在板间形成一个沿竖直方向的匀强电场，其电场强度大小 为 E.有一带电量为 q、质量为 m 的带正电的粒子，以水平速度 v0从左侧垂直电场方向射入两板之间，不计带电粒子的重力，试求 （ 1）带电粒子离开电场时的偏转距离为多大？（ 2）带电粒子离开电场时的偏转角为多大？ 分析与解带电粒子在电场中只受到电场力作用，因而做类平抛运动，故将运动分解到：沿垂直于电场方向做匀速运动，速度为 v0. 沿电场方向做匀加速直线运动，加速度为 a=Fm=qEm. 所以有 L=v0t,vx=v0,y=12at2,vy=at. 带电粒子离开电场时的偏转距 离为 y=qEL22mv20. 带电粒子离开电场时的偏转角为 tan=vyvx=qELmv20. 点评带电粒子在电场中做类平抛运动，其分析、处理问题的方法与平抛运动的研究方法相似，都采用运动的分解方法 .带电粒子在电场中发生偏转，对于所发生偏转距离以及偏转角的问题，经常涉及到正切函数 .并且由上述两个结论我们进一步发现，带电粒子离开电场时的偏转距离与偏转角之间的关系有 y=L2tan ，即：带电粒子离开电场时速度的反向延长线与初速度的交点位于板长的中点 .对于一些特殊的结论，我们如果能熟练地掌握并 加以适当地利用，对我们解决有关物理问题，提高解题的速度，增强解题能力会大有帮助 . 六、正切函数在图象问题中的应用 物理图象具有形象、直观、简洁明了的特点，它能形象直观地展示出物理情景以及各物理量间的函数关系 .应用物理图象来解题可以起到简便快捷，使较为复杂的问题变得形象易懂 .通过理解、分析图像能帮助我们弄清具体的物理过程，构建物理情景，探寻物理量之间的函数关系，达到数与形相结合 .物理图象不仅是分析、计算的工具，而且对于物理概念和规律的形成以及运用物理知识来解决实际问题 .同时，图像问题也是当 前高考热点和重点 .在许多情况下，由于物理量间是线性函数关系，其物理图象往往可用一条直线来表示，解题时经常涉及到直线倾角的正切函数（即直线的斜率） . 例如，物体做匀速直线运动时我们会用到位移 -时间的图象（ x-t 图象）如图 8 所示，反映物体的位移随时间的变化关系，其斜率表示物体运动的速度， tan=xt=v ；物体做匀加速直线运动时，用到速度时间的图象（ v-t 图象）如图 9 所示，反映物体运动的速度随时间的变化关系，则斜率表示物体运动的加速度， tan=vt=a. 再如 ,一导体的电流与电压 的关系如图 10所示，其斜率 tan=UI=R ，表示导体的电阻 R.闭合电路的路端电压与电流关系如图 11所示，其斜率： tan=UI=r ，则表示电源的内电阻 r. 通过上述例子的分析表明正切函数在高中物理解题中有着广泛应用 .我们在解决实际物理问题的过程中，通过作图，建立清晰的物理情景和物理模型，除了需要牢固掌握物理概念和物理规律等